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Una scheda sulle frazioni equivalenti, cari ragazzi di 1°B. Provate a svolgerla. Ormai ci siamo addentrati nello studio delle frazioni ed esercitarsi nelle tecniche e negli algoritmi è importante per acquisire una certa sicurezza operativa.
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) sono: Alessia, Jessica, Giulia, Jacopo e Mattia. Il post è stato elaborato a metà ottobre, ma per diversi motivi viene pubblicato solo oggi.Ti invito a promuovere, condividere, segnalare questo articolo, se lo hai apprezzato.
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Cari ragazzi e cari lettori,
oggi è tempo di segnalazioni! Colpa degli amici blogger che scrivono articoli così interessanti da risultare irresistibili!!!
Sul suo blog "Bloggare Matematica", Stefania Desiderio tratta lo spinoso argomento dei numeri decimali illimitati periodici. Correte a leggere: non vi annoierete!
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Inizialmente gli Egizi, per rappresentare il concetto di frazione, mettevano un puntino o un ovale sopra il numero, che esprimeva l’unità frazionaria; per esempio, per indicare 1/3 scrivevano 3 sormontato da un ovale, e 1/5 veniva scritto con 5 sormontato da un ovale. 
Il papiro di Rhind è il più importante documento egizio di matematica e risale al 1650 a.C.Ti invito a promuovere, condividere, segnalare questo articolo, se lo hai apprezzato.
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Cari ragazzi delle seconde A e B,
ho scelto in rete per voi dei test, da svolgere completamente online sulle diverse tipologie di numeri razionali: decimali finiti, illimitati periodici semplici e misti, operazioni con le frazioni. Non c'è bisogno di carta e penna perché gli esercizi proposti sono di facile soluzione.
Mi direte:"Ma non sono sufficienti quelli che ci hai già assegnato?
Avete ragione! Questi sono una alternativa per chi ama lavorare online oppure consideratela una proposta aggiuntiva per i più volenterosi. Vedete voi! Una cosa è certa! Non si va in esaurimento per qualche esercizio in più!
Cliccando sui due link, che trovate dopo gli screenshot, raggiungerete le pagine web che ospitano i test.
Nei post correlati, alla fine dell'articolo, si possono consultare, per il ripasso, argomenti inerenti.
Ubi Math Point - Test sulle frazioni e sul calcolo con le frazioni - Frazioni e operazioni in Q via kwout
***
POST CORRELATI
- Dalle frazioni equivalenti ai numeri razionali assoluti
- Le quattro operazioni con le frazioni e con i numeri decimali
- Riduzione ai minimi termini e addizione di frazioni
- [Guida operativa] Costruzione di frazioni
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Cari ragazzi e lettori,
ecco, per voi, un nuovo contributo dell'amico Gaetano, che è un gingillo per la sua originalità.
Nel file allegato, è sviluppata l'idea di Gaetano di poter disegnare una specifica parabola, da lui denominata aurea perché attinente la nota sezione aurea. Il contenuto, cari ragazzi, è alla vostra portata soltanto per quel che riguarda l'elaborazione grafica del metodo illustrato. E, infatti, lo affronteremo in classe.
Il resto, oltre ai grafici, vale per gli amici adulti, appassionati di Matematica e in possesso delle necessarie competenze strumentali per poter seguire il metodo illustrato.
Riporto, di seguito, l'introduzione del documento, che potrete scaricare alla fine del post.
***************
LA PARABOLA AUREA
L'ALBA DELL'INTELLIGENZA MATEMATICA
La vita, in questo contesto, può intravedersi in quei due rivoli sgorganti dall'anfora nella destra del nobile dignitario. La ravvisata vita dà l'idea che provenga dal suo strano indumento, visibilmente intonato ad una geometria monumentale nota in Egitto, la piramide: quella di Cheope in particolare. A questo punto non ci vuole molto per immaginare una scienza in azione in tutto ciò, a cominciare dai rivoli parabolici e per completare il perfezionamento con la sezione aurea cui è congegnata la piramide. Ma come capire l'arcano della genialità che vi si sprigiona se non attraverso il segno del cuore che è nella destra del servitore fedele?
Qui occorre possedere immaginazione per supporre un altro sgorgare, ma dall'ignoto. Ecco dove inizia la nobile funzione del dignitario dei due rivoli energetici, della matematica, in questo caso, e dove risiede il potenziale della funzione regale del genio del suo inaccessibile mondo delle cause: proprio nel cuore degli uomini, appunto.
Che dite? Se il segno della piramide della sezione aurea è la fonte e meccanica intermediatrice dell'armonia di tutte le energie, le due parabole da cui esse sembrano transitare per riversarsi nei due slanciati contenitori, non possono che ritenersi auree anch'esse.
Ma sappiamo della sezione aurea, del rettangolo aureo, della spirale aurea, di un angolo aureo, ma non di una parabola aurea.
Ed è appunto l'intravisione di questa aurea parabola il tema del presente scritto, ma sorge subito nel lettore questa domanda a ragione del titolo “La parabola aurea”:
"Perché i due rivoli energetici nell'immagine egizia e non uno, se la mia introspezione allegorica è sostenibile?"
La risposta verrà alla fine nel far capire la doppia natura della sezione aurea, il segno della sua regalità.
UNA E-MAIL INASPETTATA
Una inaspettata e-mail giunta da un giovane studioso della sezione aurea, di Padova, ha riaperto in me una parentesi nuova su questa concezione antica quanto il mondo. Me se sono occupato tanto che credevo di ritenere appagato il mio interesse su di essa, invece no. In seguito, dopo aver letto lo scritto pervenutomi ho capito che la visione che avevo della sezione aurea era incompleta: occorreva capire che la sua auricità, quale attributo regale, non poteva sussistere senza una meravigliosa corte di peculiari numeri intorno a sé per farle da auro manto.
Il messaggio diceva proprio questo, con merito che riconosco nel suo latore preso dall'entusiasmo di costatare a modo suo “il primato della sezione aurea” che così titolava il suo studio matematico.
Niente di meglio, allora, che intraprendere un ulteriore attrattivo viaggio nel mondo di questa illustre concezione matematica e cominciare a riparlarne, iniziando naturalmente dai noti ragionamenti matematici sulla sezione aurea e così procedere poi a trattare le cose nuove che il dottor Andrea Salmaso, il latore della suddetta e-mail, mi ha gentilmente recapitato e che doverosamente allego al presente scritto [1].
LA CORTE DEI NUMERI INTERI
DELLA SEZIONE AUREA
La geometria della sezione aurea parla del segmento aureo, parla del rettangolo aureo e poi della spirale aurea che vi deriva. Ma parla ancora dell'angolo aureo (come quello che è servito per far delineare la piramide di Cheope, per esempio).
Tutto questo è meraviglioso e non si è fatto che redigere libri che ne hanno diffuso i dettami, ma c'è da chiedersi: è tutto qui il suo top?
Se è stata capace di ispirare, prima d'altro la natura per plasmare il creato e il creatore dell'uomo stesso, e poi gli artisti e architetti per strutturare in anteprima le loro opere, tanto più la scienza matematica che grazie ad essa ogni cosa esistente vi è meravigliosamente intonata.
Dunque la geometria della sezione aurea deve andare ben oltre le suddette geometrie, e perché non rivelarsi attraverso qualche peculiare curva a mo' di emiciclo regale, oltre alla spirale aurea suddetta?
Con il mio saggio «L'angolo aureo» si è visto che la sezione aurea è presente in tutte le curve geometriche a partire dalle note coniche, ellisse, parabola e iperbole. Ma della concezione della sezione aurea, incuriosisce non poco la peculiarità matematica che vi riguarda e che si concentra sul suo valore (1+√5)/2, a tutti noto. Infatti è su questo che il dottor Andrea Salmaso ha concentrato tutta la sua attenzione per dar luogo a interessanti singolarità, come dirò fra poco.
Sappiamo già che il 5 sotto radice di questa formula deve essere speciale, tant'è che dalla sezione aurea deriva la costruzione del pentagramma. E gli altri numeri interi oltre al 5 che fanno? Viene da chiedersi incuriositi. Vi sono estranei o vi concorrono?
Intanto si può sapere facilmente che, attraverso la stessa formula del 5 sostituito con altri numeri interi, non sembrano riscontrarsi relazioni con quello della sezione aurea. Tuttavia col pervenirmi del messaggio di Salmaso, si rischiara l'orizzonte sul nesso dei numeri suddetti col 5 della sezione aurea.
Ma facciamo un passo alla volta per giungere poi a questa scoperta di Salmaso che è poi una cosa sotto gli occhi di tutti ma che non vi si è dato mai rilevanza.
Intanto non guasta ripescare le arcinote nozioni di base della sezione aurea, poi tutto sarà più facile per procedere oltre.
In matematica, la sezione aurea o media ragione di un segmento AB, è quella parte AX che è media proporzionale tra l’intero segmento e la rimanente parte XB. In particolare si può definire questa concezione con la seguente espressione di calcolo:
AB:AX=AX:XB
Ora, omettendo il dettaglio matematico del calcolo della sezione aurea e della relativa esecuzione grafica, il valore che se ne ricava si sintetizza nella semplice equazione
AX=(1+√5)/2
di cui AX, tradotto in cifre, è 1,618...
Ma si deve ritenere aureo anche il suo inverso, ovvero 2/(1+√5), perché non cambiano le cifre decimali ma solo l'1 iniziale che diventa 0.
Finalmente si ha modo di riprendere il ragionamento sul nesso dei numeri interi sostituibili al 5 sotto radice della AX=(1+√5)/2 e inversa della sezione aurea. Giusto in relazione della suddetta missiva in merito di Andrea Salmaso.
Ma cosa dice di così interessante Salmaso in merito a questi numeri interi sotto radice in relazione al 5 della formula suddetta, normale e inversa?
Per ciò che interessa il tema del nesso in causa, si può sintetizzare, come segue, la cosa.
Egli parte da AX = (1+√5)/2, che sappiamo e che per semplicità indicheremo con(1+√5)/2 = x, di quà poi Salmaso rileva che x^2–x =1.
Fin qui nulla che non si sapeva, ma non si sapeva esplicitamente che sostituendo al 5 sotto radice altri numeri interi si presentava – secondo Salmaso – un quadro assai interessante e vedremo poi perché.
Ecco riepilogato una serie di casi, limitata ai numeri sotto radice da 2 a 9.
1. [(1+√2)/2]^2–(1+√2)/2=1/4;
2. [(1+√3)/2]^2–(1+√3)/2=1/2;
3. [(1+√4)/2]^2–(1+√4)/2=3/4;
4. [(1+√5)/2]^2–(1+√5)/2=1;
5. [(1+√6)/2]^2–(1+√6)/2=1+1/4;
6. [(1+√7)/2]^2–(1+√7)/2=1+1/2;
7. [(1+√8)/2]^2–(1+√8)/2=1+3/4;
8. [(1+√9)/2]^2–(1+√9)/2=2.
Pitagora sembrava essere stato sconfitto dal fatto che l'ipotenusa del quadrato di lato 1 dava per risulato √2, ossia un numero irrazionale, ma poi si scopre che il numero intero lo si ritrova col 2 generando un successivo quadrato di lato √2 attraverso la sua diagonale.
Con meraviglia però, ora c'è molto di più, i numeri irrazionali compreso quello della sezione aurea, si ricompongono in un singolare panteon di numeri interi, se pur sotto frazione alcuni.
A buon ragione si può immaginare che questi numeri facciano da corte al numero 1 che riguarda la discussa sezione aurea.
Questo è, in sintesi, il “tesoro del campo” scoperto da Andrea Salmaso, ma come fare per servircene così come è stato per la geometria della sezione aurea, del rettangolo aureo e così via?
Ovvero per i valori suddetti – mettiamo quelli da 2 a 9 – può trovarsi una geometria confacente tale da poterla realizzare con l'uso di riga e compasso?
La risposta è sì decisamente ed ora lo dimostro.
Seguite la dimostrazione, leggendo il file allegato.
Scarica il file .pdf.
_____________________________________
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- L'irrazionalità del pi greco, una dimostrazione per i più grandi
- La Radice Approssimata Di Un Numero [Learning Object]
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Cari lettori,
io sono Lisa, un’alunna di 2° B! In questo articolo, vorrei parlarvi delle frazioni equivalenti e dei numeri razionali…così come io ho compreso l’argomento, in classe.
Prendiamo in considerazione le frazioni: 2/4; 4/8; 8/16
Se le rappresentiamo su di una semiretta orientata, possiamo notare che indicano tutte la stessa parte dell’intero: ½. Infatti, si "addensano" tutte sul medesimo punto della semiretta orientata.
A questa frazione (½) si può arrivare riducendo ai minimi termini le frazioni prese in considerazione:
2/4= 2:2/4:2= ½
4/8= 4:4/8:4= ½
8/16= 8:8/16:8= ½
Quello che abbiamo fatto per le tre frazioni considerate, possiamo farlo per infinite frazioni, tutte equivalenti tra loro. Si formerà, quindi, una classe di infinite frazioni equivalenti a ½ , ciascuna delle quali può indicare non solo se stessa ma anche le infinite frazioni a essa equivalenti. La frazione ½ è l’unica frazione primitiva dell’insieme di frazioni considerato e viene assunta come rappresentate della classe di equivalenza.
Scriveremo:
E(1/2)= [ ½; 2/4; 3/6; 4/8; …; 10/20;…; 24/48;…]
Questa classe di infinite frazioni equivalenti costituisce un numero razionale assoluto.
Allo stesso modo, costruiremo un altro numero razionale assoluto a partire dalla frazione primitiva ¾:
E(3/4)= [ ¾; 6/8; 9/12; …;30/40;…; 90/120;…]
In definitiva, un numero razionale assoluto è un insieme di infinite frazioni tra loro equivalenti, che in genere viene per semplicità rappresentato dall’unica frazione primitiva dell’insieme.
Ad esempio, i due numeri razionali precedenti si possono rappresentare semplicemente con le frazioni ½ e ¾. Dobbiamo solo e sempre ricordare che, quando diciamo che ½ e ¾ sono due numeri razionali assoluti, stiamo indicando non solo le singole frazioni, ma anche gli insiemi di frazioni ad esse equivalenti.
Possiamo quindi concludere che il concetto di numero razionale è più generale di quello di frazione e in pratica d’ora in avanti tutte le volte in cui troveremo una frazione (sia o no ridotta ai minimi termini) dobbiamo sempre pensarla come numero razionale assoluto, cioè come frazione che indica tutte le altre ad essa equivalenti.
Per rendere graficamente il concetto, possiamo pensare ad un numero razionale come ad una scatola. Sul coperchio, una frazione indica il contenuto della scatola: le infinite frazioni ad essa equivalenti.
Con questo concludo il mio articolo.
Saluti a tutti, Lisa 2° B.
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Cari ragazzi di 1° e 2° ho trovato in rete dei giochi istruttivi da svolgersi con i numeri naturali, le frazioni, i numeri decimali e le percentuali. Sono facili e divertenti e potete giocare online in questi giorni di vacanze, ma anche dopo.
Le risorse possono essere utilizzate anche dagli alunni della scuola primaria. I maestri interessati decideranno come utilizzarle.
Questi sono i link:
1) il primo gioco è un quiz sulle frazioni, i numeri decimali e le percentuali. Questa è la sua interfaccia, molto intuitiva anche se in lingua inglese.
2) Addizioni e sottrazioni di frazioni.
3) Riconoscimento di frazioni.
4) Addizioni e sottrazioni con tecnologia Flash
5) A partire da questo link e sino al settimo, i giochi riguardano le quattro operazioni di base con i numeri naturali, presentate in modo veramente accattivante. E' stato scelto un ambiente naturalistico dove un pescatore deve cliccare sul pesciolino che rappresenta il risultato, in questocaso, della moltiplicazione richiesta. Si può resettare il gioco e riprenderlo quante volte si vuole.
6) Qui troviamo l'addizione con i numeri naturali.
7) Qui troviamo la sottrazione con i numeri naturali.
8) Qui troviamo la divisione con i numeri naturali. Il gioco non è realizzato con tecnologia Flash.
9) Addizioni e sottrazioni rapide per migliorare la velocità di esecuzione dei calcoli.
Ho finito! Non c'è che l'imbarazzo della scelta
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Ecco qui cari ragazzi un Learning Object di tipo verifica, con un set nutrito di esercitazioni, per il ripasso dei numeri razionali, il che non guasta. Se trovate difficoltà a scaricarlo, nessun problema. Vuol dire che vi indicherò come fare al ritorno dalle vacanze.
Il LO può risultare utile anche ai colleghi interessati. Gli argomenti trattati sono i seguenti:
dalle frazioni ai numeri decimali. I numeri decimali. Caratteristiche generali dei numeri decimali. Dalle frazioni ai numeri decimali limitati e viceversa. Dalle frazioni ai numeri decimali periodici. Dai numeri decimali periodici alle frazioni generatrici. Riconosci le frazioni decimali e quelle ordinarie. Riconosci i diversi tipi di numeri decimali. Completa gli spazi. Ricombina le coppie. Frazioni ordinarie equivalenti a frazioni decimali. Generatrice di un numero periodico semplice. Generatrice di un numero periodico misto. Frazione generatrice e numero periodico.
Questa è l'immagine della homepage del LO:
Anche questo LO, come gli altri pubblicati in precedenza, è stato realizzato per Garamond nell'ambito del progetto ministeriale "Apprendere Digitale".
Trovate le indicazioni riguardo al progetto, i LO, le modalità di navigazione e altro a questo solito link.
Cliccate sull'icona per il download del LO sul PC e scompattate il file zip in una cartella. Successivamente cliccate sul file html "start" per lanciarlo.
Alla prossima!
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Pubblico, per voi ragazzi e per i visitatori interessati, un Learning Object sulle quattro operazioni con i numeri razionali, frazioni e numeri decimali.
Il Learning Object è stato prodotto per Garamond nell'ambito del Progetto Apprendere Digitale (consultare questo post per i dettagli).
Questi sono gli argomenti trattati:
1 Numeri razionali ; 2 Nel paese delle frazioni ; 3 Somma di frazioni ; 4 Addizione e sottrazione; 5 Somma di frazioni; 6 Un numero intero e una frazione; 7 Addizione e sottrazione; 8 Moltiplicazione di frazioni; 9 La moltiplicazione; 10 Moltiplicazione di frazioni; 11 Moltiplicazione; 12 Divisione di frazioni; 13 Divisione; 14 Operazioni con i numeri decimali ; 15 Operazioni con i numeri decimali ; 16 Operazioni con i numeri decimali; 17 Da numero decimale a frazione; 18 Operazioni con i numeri decimali .
Il Learning Object può essere fruito individualmente dall'alunno, che troverà pagine tutoriali, di approfondimento e di glossario, una simulazione interattiva e test di verifica dell'apprendimento da svolgere.
Ecco come si presenta la Home.
Cliccare sull'icona seguente per scaricare il file zip. Vi ricordo che non occorre installare nulla in qanto il LO è autoconsistente, grazie alla specifica SCORM. Basta scompattare il file zip, dopo aver effettuato il download, e lanciare il file html "start" per avviare il LO. Troverete una pagina contenente le indicazioni per la navigazione.
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