Problemi Di Allenamento

Propongo, per quanti fossero interessati, tre problemi di allenamento: i primi due sono adatti alla fascia di età 11-14 anni e sono di media difficoltà, il terzo è più impegnativo e, pertanto, più indicato per studenti della secondaria di 2° grado o per studenti particolarmente dotati della secondaria di 1° grado.

Dopo i testi dei tre problemi, seguono le soluzioni.

Buona esercitazione!

Enigmi Numerici: Il Mistico Undici

"Il mistico undici" è uno degli enigmi numerici, messo a punto dall'inglese Henry Ernest Dudeney (1857-1930), considerato, insieme all'americano Sam Lloyd, uno dei maggiori inventori di enigmi matematici di tutti i tempi.

Facendo un paragone tra questi due geni dell'enigmistica, Martin Gardner ha scritto: "Lloyd fu un brillante e prolifico inventore di enigmi, con una particolare abilità nel far emergere gli aspetti più sorprendenti, però, quando si tratta di problemi di natura più matematica, Dudeney lo supera largamente".

L'enigma e soluzione, presentati di seguito, sono tratti da "I gatti del mago- Passatempi matematici II" (titolo originale: Amusements in Mathematics) della collana "SFIDE MATEMATICHE- I classici della matematica ricreativa".

L'enigma può essere utilmente proposto a scuola sia nell'ambito della divisibilità che per stuzzicare la curiosità dei ragazzi, favorendo un approccio ludico che aiuta l'apprendimento.

► Potete scaricare gratuitamente Amusements in Mathematics, in diversi formati, da questo link>>

http://www.gutenberg.org/ebooks/16713

Puzzle: Scrivere Il Numero 2011 Utilizzando Solo La Cifra 4

Ragazzi, di 3°B in particolare, ecco per voi un puzzle abbastanza facile. Con un po' di impegno potete farcela a risolverlo tutti, anche voi di 1° e 2° B.
La soluzione tra qualche giorno, diciamo giovedì prossimo.

Leggete con attenzione il testo e cimentatevi.

Scrivere il numero 2011 utilizzando solo la cifra 4 e una qualsiasi delle operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, radice quadrata e fattoriale. È possibile utilizzare qualsiasi numero composto dalla cifra 4, anche se è decimale, quindi 44 e 44,44 sono entrambi autorizzati. Si possono utilizzare anche le parentesi. 

L'autore del puzzle è Paulo Ferro.

Trova Il Numero Misterioso

Trova il numero misterioso x che soddisfa le due seguenti proprietà: 

1. la somma delle cifre di x è un numero y, che, moltiplicato per il numero ottenuto invertendo le sue cifre, dà come prodotto x. 

2. Trovando i fattori primi del numero ottenuto invertendo le cifre di x, poi calcolando la semisomma dei quadrati di questi fattori primi, e, infine, rimuovendo la cifra 0 dal nuovo numero, si otterrà il numero x.

Il puzzle non è di facile soluzione. Qui potete trovare un aiutino.

Posso solo aggiungere che si tratta di un numero famoso.

Domenica (se farò in tempo) pubblicherò la soluzione, il nome dell'autore del puzzle ed altri dettagli.

Come al solito, potete lasciare la soluzione con un commento al post o inviandola mediante posta elettronica a: annaritar5@gmail.com

Studenti E Matite: La Soluzione Del Problema

Dal web

Come promesso, pubblico la soluzione del problema: "Studenti e Matite...Possono Creare Un problema!".

Il testo è qui per coloro che se lo fossero perso.

Delle sette soluzioni pervenute tramite email, risultano esatte quelle di: Ilaria, Lorenzo, Filippo e Giada.
Mediante i commenti al post è pervenuta una sola soluzione, quella di Vincenzo Sicari, che risulta esatta.
Grazie a tutti per aver partecipato.

Di seguito la soluzione.

Indichiamo con C il costo di una matita, espresso in centesimi, con N il numero di matite acquistato da ogni studente, con S il numero di studenti che ha acquistato delle matite. 

Allora C x N x S = 1771 = 7 x 11 x 23, e C > N > 1.

Poiché la maggior parte degli studenti ha acquistato delle matite,

 30 > (o uguale)S > 30/2 = 15.

Quindi S = 23, N = 7,  e C = 11.

Studenti E Matite...Possono Creare Un Problema!

"Studenti E Matite...Possono Creare Un Problema!"...non di quelli esistenziali fortunatamente, ma un piccolo problema da risolvere con i numeri. 

Facciamo che, come al solito, mi inviate le soluzioni tramite commenti al post o tramite indirizzo email: annaritar5@gmail.com

Avete tempo sino a sabato, data in cui pubblicherò la soluzione.

Non siate timidi e buttatevi nella mischia!;)

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AGGIORNAMENTO: qui la soluzione.

Il Problema Dei Due Quadrati: Soluzione E Generalizzazione

Pubblico, come promesso, la soluzione del problema dei due quadrati, proposto la settimana scorsa. Qui il testo.

Sono pervenute diverse soluzioni, di cui alcune esatte ed altre errate. Pubblico, però, soltanto la soluzione di Ilaria e la generalizzazione del problema, svolta da Marco Cameriero, perché significative e di indubbia validità didattica.

Potete consultarle entrambe nel seguente widget di Drive, e scaricarle da questo link (cliccare). 

Grazie a tutti per aver partecipato...e a presto, con un'altra proposta.

Il Problema Dei Due Quadrati

Propongo il problema, che ho denominato dei due quadrati, a quanti si vogliono cimentare nella sua risoluzione. Leggete con attenzione il testo e costruite la figura relativa.
La difficoltà è media per i più grandicelli, mentre per i ragazzi di terza media l'impegno richiesto è maggiore.

Pubblicherò tutte le soluzioni che mi perverranno entro martedì 11 febbraio. Potete lasciarle con un commento al post oppure inoltrarle al mio indirizzo di posta elettronica: annaritar5@gmail.com

Suvvia non siate timidi e partecipate:)

AGGIORNAMENTO: qui la soluzione e la generalizzazione del problema.

Due Semicerchi Ricoprono La Metà Di Un Cerchio: La Soluzione

Pubblico, come anticipato, la soluzione del problema: "Due Semicerchi Ricoprono La Metà Di Un Cerchio". Il testo è qui.

Il "risolutore", che rigrazio, è Marco Cameriero. Prima, però, vi indico il sito, su cui è presente la soluzione, e da cui ho tratto, ovviamente, il testo del problema: cut-the-knot.org

Il testo in inglese è il seguente:

Assume AB and CD are parallel chords in a circle (O), with center O. Let M and N be the points of intersection of the diameter perpendicular to the chords with the chords. Assume, in addition, that the semicircles formed on the chords as diameters touch each other in point P on MN. Then the sum of the areas of the two semicircles is half the area of (O).

Haberdasher's Puzzle o Problema Del Merciaio

Henry Ernest Dudeney (10 aprile 1857-23 aprile 1930) è stato uno scrittore e matematico inglese, specializzato in puzzle di logica e giochi matematici.
Egli è noto come uno dei più importanti creatori di enigmi matematici britannici. Non vi è dubbio che abbia contribuito, con i suoi giochi logici, alla diffusione della matematica ricreativa. 

È autore di The Canterbury Puzzles and Other Curious Problems, un libro di puzzle matematici, risalente al 1907, in cui è descritto il primo problema sui pentamini.

Dudeney si è interessato, tra le altre cose, di problemi sulla scomposizione di poligoni in parti riassemblabili in altri poligoni equivalenti. Uno dei problemi più interessanti tra questi, è il noto "Haberdasher's Puzzle" o problema del merciaio, così da lui denominato.

Un Modo Intelligente Per Stimare Grandi Numeri- Problema Di Fermi

Esiste davvero un modo intelligente per stimare grandi numeri? E in quali situazioni potrebbe tornare utile tale metodo, se dovesse esistere?

Vediamo un po'!

Ad esempio, avete mai provato ad indovinare quanti pezzi di caramelle ci sono in un barattolo? O affrontato un rompicapo come questo: "Quanti accordatori di pianoforte ci sono a Chicago?". Vi chiederete chi si porrebbe un problema del genere, vero? Non ci credereste mai, ma il grande fisico Enrico Fermi è stato molto bravo nel porre e risolvere problemi del genere, che sono conosciuti come problemi di Fermi, appunto.

IL TAGLIO DI BIANCANEVE [Per I Giochi Matematici]

Ragazzi delle categorie C1 e C2, che parteciperete il 16 marzo alle semifinali dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici, ecco un altro quesito per voi. 

Si tratta del "Taglio di Biancaneve".

"Ciascuno dei sette nani ha posato una mela sulla superficie piana di una griglia.Le mele sono identiche e, viste da sopra, sono disposte come in figura.

La griglia è regolare, il lato di un quadratino e il raggio di un cerchio hanno la stessa lunghezza. Ogni cerchio è centrato in un vertice della griglia.

Biancaneve vuole dividere l'area grigia della figura in due parti (superfici) uguali.

Trova questo taglio, sapendo che si tratta di un segmento che passa per almeno due vertici della griglia."

L'ADDIZIONE MISTERIOSA [Per I Giochi Matematici]

Un quesito abbastanza impegnativo per i ragazzi della categoria C2, che parteciperanno alle semifinali dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici, il 16 marzo.

Possono tentare la soluzione anche i ragazzi della categoria C1 ovviamente. Non può fare che bene anche a loro.

Di seguito il testo, considerando la figura data.

"In questa addizione, ogni simbolo rimpiazza sempre la stessa cifra e due simboli diversi rimpiazzano due cifre diverse. Ritrovate l’addizione. 

Nota: la scrittura decimale di un numero a più cifre non comincia mai con 0."

Forza ragazzi...il giorno si avvicina! E quando il gioco si fa duro, i duri iniziano a giocare!;)

Come sempre, soluzione e illustrazione del procedimento!

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Qual è L'area Del Quadrilatero? [Per I Giochi Matematici]

Riprendiamo gli allenamenti per i Campionati Internazionali di Giochi Matematici con un quesito, in cui si propone di calcolare qual è l'area del quadrilatero che vedete nell'immagine seguente:

Sapete già come procedere. Lasciate soluzione e procedimento in un commento al post. Terrò, come al solito, i vostri commenti in moderazione sino  a quando tutti voi ragazzi, che avete deciso di partecipare alle selezioni di marzo, non avrete risolto il quesito.

Difficoltà medio/alta.

Due Quesiti Per I Giochi Matematici 2013

Ecco a voi, ragazzi del corso B, due quesiti per i Giochi Matematici 2013! Allenarsi, allenarsi...

1° Quesito

Quanti numeri interi, compresi tra 1000 e 2000, hanno tutti e tre 15, 20 e 25 come fattori?

2° Quesito

Ogni punto del grafico rappresenta un compagno di classe di Sarah. I compagni di classe suoi amici sono connessi con un segmento. Per la sua festa di compleanno, Sara decide di invitare soltanto i seguenti: tutti i suoi amici e tutti i compagni di classe che sono amici di almeno uno dei suoi amici. Quanti compagni di classe non sono stati invitati alla festa di Sarah? 

 La difficoltà di entrambi i quesiti è da ritenersi medio/alta.

Lasciate la vostra soluzione, come al solito, con un commento al post, specificando il procedimento che avete seguito.

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AGGIORNAMENTO: LE SOLUZIONI DEI RAGAZZI

I ragazzi hanno trovato tutti la soluzione esatta. Riporto le soluzioni di Simone e di Daniele perché più complete.

Le soluzioni di Simone

Allora, per il primo quesito, direi 3:
1200 (1200:15=80 / 1200:20=60 / 1200:25=48)
1500 (1500:15=100 / 1500:20=75 / 1500:25=60 )
1800 (1800:15=120 / 1800:20=90 / 1800:25=72)
perchè sono multipli di 300 (il minimo comune multiplo dei tre)

Per il secondo quesito, sono 6:
il primo è un punto senza segmenti che partono da esso,
poi vi è una triangolo non collegato a Sarah (1+3=4)
i due rimanenti sono collegati soltanto ad amici di amici di amici di Sarah (e non amici degli amici (4+2=6)

Le soluzioni di Daniele

1°quesito
il minimo comune multiplo dei tre è 300.Quindi 0-300-600-900-1200-1500-1800-2100.Tra 1000 e 2000 sono compresi 1200 1500 e 1800.Quindi la mia risposta è tre.

2°quesito
nel secondo quesito c'è un compagno isolato,un triangolo pure e poi ci sono 2 compagni che sono collegati però con amici di amici di Sarah,e quindi non amici con lei o con suoi amici. quindi la risposta è 6.

Quanti Sono I Cubi? [Problema Per Allenamento]

Ragazzi, riprendiamo l'allenamento per i Giochi Matematici con un nuovo problema, che ha a che fare con i cubi!

Vediamo qual è questa volta il testo su cui dovete riflettere.

"Una figura è formata da cubi unitari. Ciascun cubo condivide almeno una faccia con un altro cubo. Qual è il minimo numero di cubi necessario a costruire una figura, avente la prospettiva frontale e quella laterale mostrate in figura?"

Lasciate la soluzione in un commento al post. 

Media, Mediana, Valore Massimo [Allenamenti]

Da Wikipedia

Dopo una breve interruzione, riprendono gli allenamenti per i Campionati Internazionali di Giochi Matematici 2013, con la seguente proposta:

"La media di un insieme di 5 diversi numeri naturali è 15. La mediana è 18. Qual è il massimo valore possibile che può assumere il più grande dei cinque numeri considerati?"

Ragazzi di tutte le classi, ricordate che la mediana di una distribuzione di numeri (se il numero dei termini è dispari), ordinata in ordine crescente (o decrescente), è il valore centrale. In questo caso, vi suggerisco di considerare l'ordine crescente per la nostra distribuzione formata da 5 numeri.

Provate a risolvere il problema, lasciando la soluzione ed il procedimento in un commento al post.

Difficoltà: medio-alta

Per i visitatori:

Consultate il tag "giochi matematici" per trovare altri problemi di allenamento.

Allenamenti Matematici Del 9/11 E 11/11: Le Soluzioni

Pubblico le soluzioni degli allenamenti matematici dei giorni 9/11/2012 e 11/11/2012, riportando alcuni commenti, e relative soluzioni esatte, dei ragazzi che hanno partecipato.

- Allenamento dell'undici novembre : "Calcolate il prodotto delle frazioni" (cliccare qui per il testo del quesito).

1. Soluzione di Celeste (la nostra nuova amica):

"In ogni frazione il numeratore è uguale al denominatore della frazione successiva, per cui si semplificano tutti. Rimane soltanto 2006/2 che dà 1003."

Calcolate Il Prodotto Delle Frazioni [Allenamento]

Il  quesito che vi propongo dovrebbe essere piuttosto facile. In ogni caso, esercitarvi affinerà le vostre abilità nel calcolo delle frazioni.

Si tratta di determinare qual è il seguente prodotto:

3/2  x  4/3  x  5/4...x  2006/2005

Non vi fornisco alcun aiutino questa volta.

Chi non si è ancora cimentato con il quesito precedente, si dia da fare perché martedì fornirò le soluzioni di entrambi i quesiti.

Come al solito, non basta il risultato, ma è richiesto anche il procedimento che adotterete.

Forza con i commenti e le vostre soluzioni!

Qual E' L'Area Del Triangolo? [Problema Per Allenamento]

Eccomi qui con un altro problema per allenarsi in vista dei futuri Campionati Internazionali di Giochi Matematici.

Questa volta si tratta di calcolare l'area di un triangolo, costruito come indicato nel testo del problema. Attenzione alla figura!

Testo del problema:
"L'area del rettangolo ABCD è di 72 cm^2. Unendo il suo vertice A con il punto medio del lato BC e con il punto medio del lato CD, si ottiene un triangolo. Qual è l'area del triangolo?"

Aiutino: fate attenzione ai tre triangoli rettangoli confinanti con il nostro triangolo!

Il problema è più indicato per i ragazzi di 3°B, ma possono cimentarsi tutti! Forza! Provate!!!

La soluzione, che fornirete nei commenti, deve essere giustificata dal vostro procedimento.