Siamo arrivati al nono capitolo dell'ebook "Storie di numeri di tanto tempo fa". Oramai manca poco alla fine.
I capitoli sono la traduzione del libretto originale di David Eugene Smith "Number Stories Of Long Ago", svolta specificamente da Anna Cascone per Matem@ticaMente.
Alla fine del post, troverete i link agli otto capitoli già pubblicati.
Buona lettura!
STORIE
DI NUMERI
DI TANTO TEMPO FA
di
David Eugene Smith
(Traduzione di Anna Cascone)
CAPITOLO IX
I rompicapi numerici davanti al focolare
«Così questa è la nostra ultima notte» esordì il Cantastorie.
«Proprio l’ultima» disse Burlona.
«Ne sei sicuro?» chiese il Cantastorie.
«Sicuro!» rispose la Folla, con l’intento di non perdersi le conseguenze della domanda.
«Bene, cosa ci sarà stasera? Vi piacerebbe una lunga storiellina sulla radice quadrata o sulla radice cubica?»
«La radice cubica non sembra molto interessante» disse Charles.
«I logaritmi?» chiese il Cantastorie.
«Non ne abbiamo mai sentito parlare» disse Maude.
«Raccontaci qualcosa di interessante.»
«Bene, poiché abbiamo un bel ceppo acceso qui, forse vi farà piacere ascoltare la storia dei “Rompicapi numerici davanti al focolare”. Ascoltate, poi, e cercate Ching e Chang e An-am e tutti i nostri amici, perché verranno tutti a trovarci stanotte.
Una cosa strana accadde in una fredda notte, in un posto confinante con una fitta foresta non molto distante da qui, in una casa fatta di ceppi, in una stanza bassa e con un enorme caminetto, l’arredamento consistente in una serie di comode sedie sistemate accanto al fuoco, e al lume di candela.
Si potrebbe giustamente pensare che all’interno della foresta ci fosse una grande curiosità su come il fuoco bruciasse vivacemente in una casa senza anima viva, su come tante candele illuminassero una stanza senza un motivo apparente; per gli animali la vita della foresta suscita quasi la stessa curiosità che proviamo io, voi e molti altri, e questo è il motivo per cui dalla finestra si affacciarono scoiattoli, gufi e conigli che costruirono le loro case sugli alberi o nelle tane delle foreste.
Dietro la pesante porta della casa dei ceppi qualcuno aveva scritto negli anni passati queste parole: “Non lasciare che qualcuno privo di immaginazione entri qui”. E quindi la porta è chiusa per voi e per me e per tutti, a meno che non lavoriamo di immaginazione. Per noi il focolare è spento e le candele non bruciano e la pesante porta è chiusa se facciamo parte di quella noiosa classe che non sogna mai a occhi aperti. Voi, allora, che non avete immaginazione e che appartenete a quegli sfortunati che credono solo a quello che vedono, fermatevi sulla soglia. Per voi il fuoco non ha interesse e le sedie vuote non avranno occupanti.»
Al di là del Grande Sconosciuto del Tempo e dello Spazio, giungono, uno ad uno, nella stanza della casa dei ceppi, portando ognuno una sedia di fronte al grande caminetto, i nostri amici di tanto tempo fa: Ching, Chang e Wu dalla Terra del Dragone Giallo; An-am e Lugal dal Tigri e dall’Eufrate; Menes e Ahmes dalle rive del Nilo; Hippias dalla Grecia; Titus e Caius dai sette colli di Roma; Daniel dal monte degli Ulivi; Gupta, Mohammed, Gerbert e molti altri di cui abbiamo letto nelle nostre storie della Terra dei Numeri, ― estranei gli uni agli altri, estranei alla nostra attuale civiltà, ma uniti dal loro interesse nei rompicapi del mondo dei numeri.
Per questo motivo sarà una notte di rompicapi numerici, e ognuno porterà il suo contributo, ognuno susciterà l’interesse di ragazzi e ragazze su alcune delle strane cose che si sono verificate in migliaia di anni durante i quali il mondo ha giocato e ha lavorato nel regno dell’aritmetica. Immaginate, quindi, Ching nei suoi abiti in pelle di leopardo, e An-am con il suo mantello in pelle di montone, e Ahmes con un abito di lino grezzo, e Gupta con la pelle marrone e l’abito marrone, e Mohammed con il lungo abito bianco, e tutti gli altri, ognuno nell’abito della propria terra e della propria epoca, tutti seduti di fronte ai ceppi scoppiettanti, tutti intenti ad ascoltare alcuni rompicapi numerici delle varie epoche.
«Nella mia terra» disse Ching «c’è un vecchio libro, forse il libro più vecchio del mondo, e il suo nome è Yih King. Fu scritto migliaia di anni fa e racchiude uno delle prime cose strane legate ai numeri, dal momento che afferma che una volta dal fiume Giallo sbucò una grossa tartaruga, e sulla sua schiena vi erano alcuni strani segni che sconcertavano chiunque li vedesse. Questo l’ho scritto sulla carta perché voi lo vedeste.»
Poi Ching fece circolare, in modo che tutti potessero vederlo, un foglio con scritte sopra alcuni strane simboli.
«So di cosa si tratta» disse Gupta, «è un quadrato magico, e i punti sono numeri. Le colonne addizionate danno 15 e lo stesso fanno le file e le diagonali. È il mistero numerico più vecchio del mondo. È usato come amuleto in tutti i territori dell’Est; e nel Medioevo, molto tempo dopo la mia morte, veniva usato in molte parti d’Europa per scacciare il male e portare la buona sorte.»
Gupta aveva ragione, perché il quadrato magico è una delle più vecchie e interessanti curiosità sul numero da trovare ovunque nel mondo.
«Quando vivevo agli albori dell’Egitto» disse Menes, «non avevamo molti rompicapi numerici, fino a quando ho visto il mondo e ho visto accadere alcune cose strane. Una delle più strane riguarda i numeri ora usati in Europa e America e in tutti i posti sottoposti alla loro influenza. Se prendete qualsiasi numero, ad esempio 3476 e lo capovolgete, 6743, e poi fate la differenza, 6743-3476=3267, questa differenza sarà sempre perfettamente divisibile per 9. Qualsiasi numero prendete, sarà sempre valido. Potreste pensare di trovare un numero per il quale non sia valido, come 2222, ma noterete che la differenza sarà sempre divisibile per 9.»
L’intera compagnia tentò di scoprire se Menes avesse ragione, usando numeri diversi, ma ogni volta il risultato era perfettamente divisibile per 9. Chang, tuttavia, fece un errore. Avendo iniziato con 3827, mescolò semplicemente le cifre e ottenne 2783, ma si accorse che la differenza era ancora divisibile per 9.
«Sì,» disse Menes, «potresti mescolare le cifre in ogni modo e la regola ha sempre valore.»
Alcuni della compagnia conoscevano il motivo; alcuni di voi potrebbero conoscerlo; tutti voi lo capireste dopo aver studiato un po’ di algebra, poiché l’algebra è come una grande lampadina ― rivela molti dei curiosi segreti dell’aritmetica.
«Una delle curiosità che ho notato oservando il mondo di duemila anni fa» disse Heron, «è visibile in un semplice esempio di addizione. Se scrivete tre numeri qualsiasi, ad esempio numeri di quattro cifre ciascuno, scriverò stavolta tre numeri sotto di essi e vi dirò prima di tirarla la somma dei sei numeri. Non fa differenza quali numeri prendiate, né se questi siano diversi o uguali.»
Questa cosa molto strana scioccò la compagnia, soprattutto quando Heron aggiunse, «qualsiasi numero scriviate, la somma dei sei numeri sarà 29.997.»
Adriaen scrisse poi su un pezzo di carta i tre numeri 2376, 4152 e 3804.
Una volta messi in colonna, Heron scrisse i numeri 7623, 5847 e 6195.
Disse poi al gruppo di addizionare i sei numeri e, con sorpresa di tutti, la somma era quella predetta da Heron.
Cuthbert Tonstall disse di conoscere il trucco. Voi lo conoscete?
Se Adriaen avesse scritto quattro numeri, Heron ne avrebbe scritti quattro, ma avrebbe messo in atto lo stratagemma allo stesso modo, sebbene avesse ricavato un’altra somma.
«Una cosa curiosa mi venne mostrata quando da ragazzo andai a Barcellona» disse Gerbert, «più di novecento anni fa, e ve lo mostrerò perché potrebbe essere interessante. Se scriverete sul foglio qualsiasi numero con il numero di cifre che volete, io scriverò una singola cifra alla fine del vostro numero, e il numero sarà esattamente divisibile per 11.»
Questo non sembrava possibile, e così Jacob scrisse 74.289.
Gerbert si limitò a dare una rapida occhiata al numero, scrisse 6 dopo di questo e disse, «Ora noterete che 742.896 è perfettamente divisibile per 11, e vi ho dato la regola giusta, poiché l’ho reso anche divisibile per 22, 33 e 99.»
L’intero gruppo tentò e vide che Gerbert aveva ragione.
Poi Titus scrisse 66.742 e Gerbert scrisse 5 alla fine dicendo, «Noterete che 667.425 è perfettamente divisibile per 11, e stavolta l’ho reso anche divisibile per 33 e 55.»
Ora la domanda è, Gerbert come faceva a mettere in atto quello stratagemma?
«Credo» disse Hippias, «che vi potrebbe interessare una curiosità che ho notato qualche centinaio di anni fa. Due ragazzi si assegnavano rompicapi a vicenda e uno di loro disse, “Pensa a qualsiasi numero che vuoi, moltiplicalo per 2, aggiungi 18, dividi il risultato per 2, e sottrai al numero iniziale.”»
«L’ho fatto» disse l’altro.
«Il risultato è 9» disse il primo ragazzo.
«Adesso» proseguì Hippias, «propongo che l’intero gruppo provi questo trucco.»
Allora ognuno prese un numero, e ognuno fece come ordinato, e con sorpresa di tutti, il risultato era in tutti i casi 9.
«Conosco il trucco» disse Jacob. Lo conosceva di sicuro, perché conosceva l’algebra. «Ve ne darò un altro ancora migliore» continuò. «Prendete qualsiasi numero, moltiplicatelo per 6, aggiugete 12, dividete per 3, sottraete 2, dividete per 2, sottraete al numero iniziale, e aggiungete 9.»
«Bene,» disse Adriaen, «allora?»
«Il risultato è 10» disse Jacob.
Allora tutto il gruppo rise, poiché ognuno aveva iniziato con un numero diverso, e ancora tutti si trovavano 10.
«Ricordo» disse Leonardo «che un vecchio maestro aveva l’abitudine di chiedere ai nuovi scolari cosa fosse esatto, 6 più 7 fanno 14 o 6 più 7 fa 14»; ma i ragazzi erano troppo rapidi per farsi confondere da cose come queste.
«Vi siete mai imbattuti in questo ridicolo problema?» disse Filippo. «Se 6 gatti mangiano 6 ratti in 6 minuti, quanti gatti mangeranno 100 ratti in 100 minuti, alla stessa velocità? A Firenze ci lasciava perplessi quattro o cinque secoli fa.»
«Lo so» disse Wu, «occorrono 100 gatti.» Aveva ragione?
«Da ragazzo» disse Michael Stifel, «avevamo un distico che diceva così:
Dieci dita ho su ogni mano
Cinque e venti su mani e piedi.
Sapete che dicevamo cinque e venti al posto di venticinque. L’affermazione è perfettamente vera, ma come la spiegate?»
A questo punto il gruppo sprofondò nel silenzio per un po’.
«Ma io non ho cinque e venti unghie sulle mani e sui piedi» insistette Wu.
«Dovete immaginare che le vostre dita dei piedi siano dita delle mani» disse Robert.
«È abbastanza semplice se solo sapeste come» disse Michael.
Poi Heron disse, «La spiegazione è ―»
«Non dirla!» gridarono molte voci. «Vogliamo arrivarci da soli.» Allora la lascerò a voi.
«Qualcuno di voi sa scrivere uno stesso numero, usando solo cifre dispari?» chiese Adriaen.
«Io lo so fare» disse Cuthbert. «È facile come scrivere cento senza lo zero.»
«Bene, non dircelo» disse Gupta. «Anche a questo vogliamo arrivarci da soli.»
«Credo» disse Jacob, «che una delle cose più strane che abbia mai visto riguardo ai numeri sia una serie di prodotti che ho scritto su questo foglio»; e così dicendo, fece circolare il foglio nella stanza così che tutti potessero vederlo:
«Ora» disse, «quanti di voi sanno dirmi il prodotto di 18 x 37 e quale delle somme delle tre cifre è la risposta? Inoltre, quali sono i prodotti di 21 x 37, di 24 x 37, e di 27 x 37, e quali sono le somme delle cifre nelle diverse risposte?»
Sapete rispondere a queste domande?
Wu scrisse quanto segue su di un foglio:
Poi fece circolare il foglio nella stanza in modo che tutti i ragazzi potessero vederlo.
«E ora chiedo» disse, «i risultati di 28 x 15.873, di 35 x 15.873, di 42 x 15.873 e di 49 x 15.873.»
Molti potrebbero dire i risultati. Sapete dirmi quali sono?
Wu li lasciò pensare per alcuni minuti e poi chiese: «Qualcuno di voi sa dirmi per cosa dovrei moltiplicare 15.873 per ottenere 888.888? E per ottenere 999.999?»
Circa metà del gruppo seppe rispondere. Voi lo sapete?
«Mentre parli di queste curiosità,» disse An-Am, «vi mostrerò qualcosa di interessante.»
Poi scrisse le figure sopra indicate su un pezzo di carta e lo fece circolare nella stanza.
«Sì,» disse Menes «è interessante, ma vi mostrerò qualcosa che mi sembra ancora più strano.»
Poi prese un pezzo di carta e scrisse:
«Mi sembra» disse Ahmes, «che queste cifre inventate molti secoli dopo la mia morte siano davvero strane. Non potreste mai farlo con i numerali che ho imparato in Egitto quattromila anni fa.»
«No» rispose Cuthbert, «e si sa che non potreste farci niente, erano talmente brutti!»
«Bene,» rispose Ahmes «non dovete essere tanto orgogliosi dei vostri numerali; provate a scrivere dodicimila milleduecento dodici.»
Ciò suscitò l’interesse della compagnia, e anche voi lo trovereste interessante se ci provaste.
«A proposito di dozzine,» disse Leonardo «qual è più grande, due dozzine per sei o due dozzine per metà?» Qual è?
«Quando ero un ragazzo» disse Titus, «mi diedero un rompicapo da risolvere ma che io modificherò un pochino per rendervelo più comprensibile. Sottraete nove da sei, dieci da nove e cinquanta da quaranta e dimostrate che il resto è sei.»
Questo esercizio diede da pensare alla compagnia per alcuni minuti. Poi Caius disse, «È molto semplice; tutto quello che dovete fare è -»
«Non dircelo» gridò la compagnia.
«Ho qualcosa di altrettanto curioso come le moltiplicazioni di An-am e Menes» disse Lugal. «Guardate questo» e scrisse i seguenti numeri e segni sulla carta:
Ciò colpì l’intera compagnia in quanto i numeri a sinistra erano 9, 98, 987, 9876; i numeri aggiunti erano 7, 6, 5 e 4 mentre il prodotto era sempre costituito da 8.
«Sapete dirmi» aggiunse Lugal, «il valore di ciascuna operazione che scriverò sulla carta?»
Detto ciò, scrisse i seguenti numeri:
molti seppero dire subito il risultato. Voi ci riuscite?
«Mi sono imbattuto in una cosa strana sul numero 45 quando vivevo in Spagna alcune centinaia di anni fa» disse Gerbert.
«Quale?» chiesero in molti.
«Be’, 45 è uguale a 8+12+5+20 e questi quattro numeri, 8, 12, 5 e 20 hanno una strana combinazione col 2, perciò:
8+2=10, 12-2=10, 2x5=10, 20÷2=10,
dove il risultato di queste quattro diverse operazioni è sempre 10. Conoscevate qualcosa di più strano?»
«Questo è davvero molto strano» rispose Leonardo, «ma conosco un’altra cosa strana sul 45. Se prendete il numero 987.654.321, costituito da nove cifre, lo capovolgete e sottraete in questo modo, avrete tre numeri – il minuendo, il sottraendo e il resto – e la somma delle cifre di ciascuno è esattamente 45.»
Tutti pensarono che il 45 fosse davvero un numero molto strano. «Eccone un altro» disse Adriaen. «Illustrate come scrivere cento utilizzando solo nove cifre e i segni aritmetici.»
Diede da pensare a tutti, così Adriaen mostrò alla compagnia quanto segue:
100=1+2+3+4+5+6+7+8x9.
«Piuttosto semplice, non è vero?» disse Adriaen. «Conosco anche un altro modo. Prendete -»
«Non dircelo! Dacci un po’ di tempo per pensare» proruppero in molti.
«Mentre alcuni di voi riflettono sul problema di Adriaen,» disse Johann, «forse altri vorrebbero trovare un numero di due cifre uguale a due volte il prodotto delle stesse.»
«Io lo so, » disse Ching «è 12.»
«No,» disse Johann «perché 12 non è uguale a due volte il prodotto di 1 e di 2.»
«Be’, io lo so,» disse Chang. «È -»
«Non dircelo» dissero quelli che cercavano di capire mettendolo su carta.
Wu trovò per primo la risposta. Qual è?
«Qui c’è un problemino carino per voi» disse Michael: «Una lumaca che striscia su una pertica alta 10 piedi si arrampica di 3 piedi ogni giorno e scivola di 2 piedi ogni sera. Quanto tempo ci impiegherà per raggiungere la cima?»
«Dieci giorni» disse Wu – ma aveva torto.
«Qui c’è un trucchetto» disse Jackob: «Scrivete le cifre al posto delle lettere in modo che la moltiplicazione sia corretta. Visto che ci metterete un po’ di tempo per trovare queste cifre, eccovi due trucchetti anche per le divisioni.»
«Ci vorrà un bel po’ di tempo» continuò Jackob, «quindi fareste meglio a lasciarvele per domani. Al posto di queste, potete risolvere questo piccolo rompicapo: Un cocomero pesa 4/5 del suo peso e 4/5 di una libbra. Quante libbre pesa?»
«Mi ricorda» disse Lugal, «questo problema: Se un’aringa e mezza costa un centesimo e mezzo, quanto costerà una dozzina e mezza di aringhe?»
«Mi chiedo» disse Gupta, «quanti di voi sanno scrivere diciannove, utilizzando solo quattro 9.»
«È troppo facile» disse Hippias. «Non è più difficile che scrivere due con quattro 9. Perché non ci chiedi quanti di noi sanno scrivere venti, utilizzando solo quattro 9? Quello sì che è un rompicapo per cui vale la pena riflettere.»
«Questo mi ricorda una cosa che ho sentito molti anni fa» disse Titus. «Una bottiglia e un tappo costano $1.10 e la bottiglia costa $1 più del tappo. Quanto costano ciascuno?»
«La bottiglia costa $1 mentre il tappo costa 10 centesimi» disse Ching.
«Sbagliato» disse Titus. «Penso che non sapresti dirmi neanche cosa pesa di più, se una libbra d’oro o una libbra di piume.»
«Pesano uguale» disse Ching.
«Ti lo avevo detto che non lo avresti saputo» disse Titus. «Credo che non sapresti dirmi neanche quanti minuti ci vogliono per tagliare un pezzo di stoffa da 50 iarde di lunghezza in strisce da 1 iarda di lunghezza se ogni taglio richiede un minuto.»
«Ci vogliono» iniziò Ching; ma poi si ricordò che l’altra volta aveva parlato senza riflettere, quindi si fermò.
«Questo problema» disse Caius «mi ricorda una cosa che sentii molti anni fa. Dopo aver tagliato 1/10 di un pezzo di stoffa, ad un mercante rimangono 100 iarde. Quante iarde aveva all’inizio?»
«Aveva 110 iarde» disse Ching. Ma Ching parlò prima di aver trovato la soluzione giusta.
«Faresti megli a prenderti un altro po’ di tempo» gli fece notare Caius. Mentre Ching pensava, Hippias raccontò una storia che gli era successa.
«Fui attirato» disse «circa duemila anni fa da una domandina semplice. La mia insegnante ad Atene mi chiese quanti quadrati da un quarto di pollice ci volessero per ottenere un quadrato da un pollice. Fin qui tutto bene; ma quando mi chiese quanti cubi da un quarto di pollice ci volessero per formare un cubo da un pollice, non glielo seppi dire. Voi lo sapete?»
«Mentre ci penso,» disse Daniel, «potreste interessarvi a questo problema: Se una mela pesa ¾ di una mela della stesso peso e ¾ di un’oncia, quanto pesa la mela?»
«Parlando di mele,» disse Ahmes «due padri e due figli si divisero tre mele, ricevendo ciascuno una mela. Com’è possibile?»
«Non lo è» dissero in molti.
«Oh sì, lo è» disse Ahmes «se voi -»
«Non dircelo» proruppe l’intera compagnia.
«Mi ricorda» disse Mohammed, «un rompicapo che ho sentito circa mille anni dopo aver vissuto a Bagdad. In una famiglia c’erano 1 nonno, 2 padri, 1 nonna, 2 madri, 4 figli, 3 nipoti, 1 fratello, 2 sorelle, 2 figli, 2 figlie, 2 sposi, 2 spose, 1 suocero, 1 suocera e 1 nuora. Quanti erano in tutto?»
«Fammi capire» disse Wu; «1+2+1+2+4+3+1+2+2+2+2+2+1+1+1 fa 27.»
«Non ci sei andato neanche vicino» rispose Mohammed.
«Allora quanti erano secondo te?» chiese Wu.
«Io lo so quanti erano» disse Daniel, «vedi, era in questo modo: erano -»
Ma proprio in quel momento una campana martellante nella foresta rintoccò la mezzanotte e quando il gufo guardò attraverso la finestra, il fuoco era spento, le sedie erano vuote e non c’era neanche un’anima nella stanza; l’unico rumore era quello del battito di ciglia del gufo, il respiro dello scoiattolo e il passo felpato del coniglio, il quale si avviava verso la tana ai piedi della quercia vicino al capanno della legna.
SEZIONE DOMANDE
1. Che cos’è il quadrato magico? Dov’è stato rinvenuto per la prima volta? Com’è stato utilizzato?
2. Sapreste organizzare un quadrato di nove cifre in modo diverso da quello mostrato da Ching e Gupta?
3. Se prendete un numero a due cifre e lo capovolgete, la differenza tra i numeri è sempre divisibile per nove? Elencate cinque casi in cui ciò risulta essere vero.
4. Sapreste capire, senza dividerlo, se un numero è divisibile o meno per nove?
5. Trovate un numero che se moltiplicato per 3, il risultato aggiunto a 8 diventa 35.
6. Spiegate questo vecchio rompicapo:
Ogni signora di questa terra
Ha venti unghie su ciascuna mano
Cinque e venti su mani e piedi
Ed è vero, non c’è inganno
7. Scrivete 78 usando solo il numero 7, ripetendolo tante volte quante volete.
8. Quando la campana nella foresta ha segnato la mezzanotte, dopo aver scandito il tempo ogni ora da ventiquattro, quanti rintocchi ha segnato a partire dalla mezzanotte precedente?
9. Se ci sono 2 padri e 2 figli in una stanza e nessun altro, qual è il numero più piccolo di persone che ci possono essere nella stanza?
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Capitoli già pubblicati
Prefazione 1 e Prefazione 2
