GeoGebra E Arte

Le interconnessioni tra Matematica e Arte non sono una novità. Esistono indiscutibilmente, anche se alcuni (purtroppo non pochi!) non ci credono e continuano a negare l'evidenza.

A supporto di quanto precedentemente affermato, vi invito a leggere i seguenti post, ospitati su questo blog:

► La Bellezza Della Matematica, L'Arte E La Musica Attivano La Stessa Area Cerebrale

► The First Six Books of The Elements of Euclid (1847): Un Capolavoro di Matematica E Arte

► L'Arte Dell'Arabesco E La Geometria

Sarebbe auspicabile favorire negli studenti l'instaurarsi di tale consapevolezza, cogliendo ogni occasione atta allo scopo. Tra l'altro, la Matematica presenta profonde intersezioni con tutti gli ambiti della conoscenza e spesso costituisce una base irrinunciabile per altre discipline. Pertanto, sarebbe una scelta lungimirante tenerne conto nell'insegnamento in modo da far percepire questa bistrattata e temuta materia per quel che veramente è: una attività squisitamente umana, caratterizzata nella sua essenza dalla libera creatività, e non una mera, semplicistica e riduttiva manipolazione di formule e simboli, come generalmente viene trasmessa a scuola.

Due Semicerchi Ricoprono La Metà Di Un Cerchio

Propongo il seguente puzzle: "Dimostrare che l'area complessiva dei due semicerchi in colore è uguale all'area del semicerchio grande"!

Il risultato sorprendente è che i due semicerchi reciprocamente tangenti, i cui diametri sono corde parallele di uno stesso cerchio, occupano metà dell'area del cerchio qualunque siano le lunghezze delle corde.

Il problema non è facile, quindi è rivolto a ragazzi grandi e ad adulti. Però se voi di 3°B volete cimentarvi nella soluzione...nulla osta!

Lasciate il risultato del vostro ragionamento con un commento al post. Diciamo che, tra qualche giorno, sarà pubblicata la soluzione.

AGGIORNAMENTO: trovate la soluzione a questo link.

Area Dell'Aquilone Con Applet

Dalla Rete

Continuando nella trattazione dell'equivalenza di figure piane, calcoliamo l'area dell'aquilone con l'applet che ho realizzato per voi, ragazzi di 2°B.

Come già specificato in classe, per aquilone, in geometria, si intende un quadrilatero con le diagonali perpendicolari, in cui una sola diagonale dimezza l'altra.
Di conseguenza, tale quadrilatero possiede due coppie di lati consecutivi congruenti ed una sola coppia di angoli opposti congruenti.

Delle due diagonali, quella che dimezza l'altra è anche asse di simmetria della figura. L'area dell'aquilone si calcola con la stessa formula utilizzata per calcolare l'area del rombo:

Retta Di Eulero Con Applet Di GeoGebra

In Geometria Euclidea, la retta di Eulero è la retta passante per l'ortocentro, il baricentro ed il circocentro, che sono tre dei quattro punti notevoli di un triangolo. Il quarto, come sappiamo, è l'incentro.

Nell'applet, che ho costruito con GeoGebra, potete osservare che, muovendo i vertici e modificando il triangolo, la retta di Eulero passa sempre per i tre punti notevoli citati.

Il fatto che questi tre punti notevoli siano allineati viene dimostrato dal Teorema di Eulero:

In ogni triangolo l'ortocentro, il baricentro ed il circocentro sono allineati su una retta, detta retta di Eulero, e la distanza tra i primi due punti è doppia della distanza tra il baricentro ed il circocentro.

Quadrato Inscritto E Circoscritto Alla Circonferenza

Dopo il triangolo equilatero, continuiamo lo studio delle relazioni riguardanti il quadrato inscritto e circoscritto alla circonferenza mediante l'ennesimo applet realizzato con l'impagabile GeoGebra.

Agendo sulle caselle di controllo contenute nel foglio dinamico di lavoro, potete osservare le relazioni tra gli elementi delle due circonferenze e quelli del quadrato, mentre, agendo sui vertici A e B, potete modificare la grandezza delle figure e rilevare come tali relazioni rimangano invariate.

Triangolo Equilatero Inscritto E Circoscritto Alla Circonferenza

Ragazzi di 3°B, vi propongo un applet realizzato con GeoGebra per rendere più chiare le relazioni tra un triangolo equilatero e la circonferenza inscritta e circoscritta.

Agite sulle caselle di controllo una alla volta, per facilitare la comprensione di tali relazioni.

Ricordate che, essendo il triangolo equilatero un poligono regolare, il raggio della circonferenza inscritta coincide con l'apotema, che è la distanza fissa tra l'incentro e ciascuno dei lati.

Una Animazione Sulla Circonferenza

Futuri ragazzi di 3°B, questa animazione sulla circonferenza è per voi! 

Alla fine dello scorso anno scolastico ne abbiamo iniziato lo studio, che continueremo all'inizio del prossimo, ovvero tra un mesetto circa.

La circonferenza ed il cerchio sono impegnativi, come avete avuto modo di verificare, ma niente paura affronteremo agevolmente il loro studio. Parola di Prof!

Per il momento, guardate questa animazione, realizzata con il solito software amico GeoGebra, e, se avete domande, sono qui (ehm, ammesso che passiate da queste parti: cosa assai improbabile dato il periodo!).

Niente altro per il momento! Iniziamo con dolcezza...manca ancora un mese;)

Sfera In Movimento

Ragazzi di 3°B, ecco per voi l'applet "Sfera in movimento", che ho realizzato con GeoGebra. Lo so che le lezioni sono terminate, ma ci sono gli esami, vero? Un ripassino, pertanto, è sempre utile!

La sfera si ottiene dalla rotazione completa di un semicerchio attorno alla retta alla quale appartiene un diametro del semicherchio stesso.

I punti dello spazio restano suddivisi, dalla sfera generata, in tre sottoinsiemi:

- l'insieme dei punti interni alla sfera;

- l'insieme dei punti appartenenti alla superficie sferica;

- l'insieme dei punti esterni alla sfera.

La superficie della sfera è  espressa dalla seguente formula:

As = 4 * pi greco * r^2

Il suo volume è espresso dalla formula:

Vs = 4/3 * pi greco * r^3

Area Totale E Volume Del Cilindro In Movimento

Ecco a voi, ragazzi di 3°B, un applet di GeoGebra sull'area totale ed il volume del cilindro in movimento, per ripassare quanto già svolto da un po' di tempo.

L'animazione consente di "vedere le formule" e nello stesso tempo  il calcolo dinamico di area e volume, al variare dell'altezza del cilindro e del suo raggio di base.

Mi auguro che possa esservi di aiuto! Spuntando le caselle di controllo una alla volta, o tutte assieme, potete focalizzare l'attenzione sugli elementi che vi interessano di volta in volta.

Triangolo Emiequilatero: Applicazione Del Teorema Di Pitagora

Ecco per voi, ragazzi di 2°B, un applet di GeoGebra in cui potete seguire l'applicazione del Teorema di Pitagora al triangolo emiequilatero, ovvero il triangolo rettangolo con un angolo acuto di 30° e l'altro di 60°. Come ben sapete, tracciando una delle tre altezze del triangolo equilatero, si ottengono due triangoli emiequliateri congruenti appunto.

Il teorema di Pitagora ci consente di determinare l'altezza h del triangolo equilatero, nota la lunghezza del lato l, secondo la formula:

h = l/2 * 3^1/2

Nell'applet di GeoGebra potete osservare come cambia il valore dell'altezza al variare del lato del triangolo equilatero, grazie al testo dinamico che ho inserito.

Divisibilita' E Scomposizione In Fattori Primi- Risorse Video

Abbiamo già terminato il lungo ed impegnativo argomento della divisibilità, ragazzi di 1°B! Avete appreso la scomposizione in fattori primi, a riconoscere la divisibilità di un numero, a calcolare il MCD ed il mcm e a risolvere problemi con l'applicazione di tali concetti.

Non vi resta che prepararvi per l'ultima verifica di questo anno scolastico, che abbiamo già fissato;).
A tale scopo, vi propongo una serie di risorse che vi torneranno utili. Cominciamo con tre ottimi filmati della Khan Academy: sono tradotti in italiano dalla voce narrante che ascolterete. Quindi forza...tocca a voi!

Scopri Il Rosso E Il Nero [Applet GeoGebra]

"Scopri il rosso e il nero" è un applet che ho realizzato con GeoGebra. Osservate attentamente l'animazione e cercate di scoprire come viene ottenuta sia l'area di colore rosso che l'area di colore nero.

 Occhio al segmento di colore giallo!

Lasciate la vostra soluzione con un commento al post!

Circocentro E Incentro Dei Triangoli In Una Animazione

Ancora sul circocentro e l'incentro dei triangoli, questa volta in un'unica animazione, ragazzi di 1°B.

Lo scopo è quello di mettere in evidenza che questi due punti notevoli dei triangoli coincidono rispettivamente con il centro della circonferenza circoscritta e con il centro della circonferenza inscritta.

Ciò significa che i triangoli sono poligoni sempre inscrittibili e circoscrittibili ad una circonferenza, informazione questa che tornerà molto utile quando affronteremo lo studio sistematico del cerchio e della circonferenza.

Per il momento, analizzate con attenzione l'applet di GeoGebra, in cui verificherete ancora una volta che:

- il circocentro può essere interno ed esterno se un triangolo è rispettivamente acutangolo o ottusangolo; coincidere con il punto medio dell'ipotenusa, se il triangolo è rettangolo;

- l'incentro è sempre interno a qualsiasi triangolo, essendo il punto di intersezione delle sue tre bisettrici.

Triangoli: Circocentro In Movimento

E così siamo arrivati al Circocentro, il quarto punto notevole dei triangoli, che potete vedere in movimento in questo applet dinamico, da me realizzato con GeoGebra.

Come potete osservare, il circocentro può essere interno, esterno oppure trovarsi nel punto medio dell'ipotenusa secondo che il triangolo è acutangolo, ottusangolo oppure rettangolo. Il motivo di tale comportamento è da ritrovarsi nel fatto che il circocentro è il punto di intersezione degli assi dei lati del triangolo.

Ricordiamo che l'asse di un segmento è la retta perpendicolare nel suo punto medio! 

Di seguito i link agli applet degli altri tre punti notevoli:

- ortocentro
- baricentro
- incentro

Triangoli: Incentro In Movimento

Dopo l'ortocentro ed il baricentro dei triangoli, è la volta dell'incentro in movimento, ragazzi di 1°B! Siamo così arrivati all'applet del terzo punto notevole.

Ricordiamo che l'incentro è il punto di intersezione delle tre bisettrici  degli angoli di un triangolo. Le bisettrici, a loro volta sono le semirette che dividono ciascun angolo del triangolo in due angoli congruenti, come potete osservare nell'applet. L'incentro è il secondo punto notevole, come già il baricentro, che rimane sempre interno al variare del tipo di triangolo (acutangolo, rettangolo e ottusangolo).

L'incentro coincide, inoltre, con il centro della circonferenza inscritta nel triangolo, come vedremo in seguito, studiando la circonferenza.

E adesso l'applet dinamico di GeoGebra.

Triangoli: Baricentro In Movimento

Dopo l'ortocentro, ecco il baricentro in movimento in un applet di GeoGebra. E così siamo a due dei quattro punti notevoli dei triangoli.

Come potete osservare, ragazzi di 1°B, il baricentro rimane sempre all'interno del triangolo via via che questo, da acutangolo, diventa rettangolo e poi ottusangolo.

Il motivo è chiaro, vero?

In ogni caso, ribadiamolo! Il baricentro è il punto di intersezione delle tre mediane, segmenti che hanno per estremi un vertice del triangolo ed il punto medio del lato opposto.

Triangoli: Ortocentro In Movimento

Oggi abbiamo visto a scuola i segmenti ed i punti notevoli dei triangoli, ragazzi di 1°B.

Ho pensato di realizzare un applet con GeoGebra, dove potete osservare l'ortocentro in movimento. Notate come questo cada all'interno, nel vertice dell'angolo retto e al di fuori del triangolo via via che il triangolo da acutangolo diventa rettangolo ed ottusangolo.

Ho anche inserito la traccia attiva, che vi fa vedere la curva descritta dall'ortocentro al variare della sua posizione.

Vi lascio, per il ripasso complessivo, il link al post "Gli elementi notevoli dei triangoli", che abbiamo analizzato questa mattina a scuola.

Trova I Fattori Primi Di Un Numero [Applet]

"Trova i fattori primi di un numero" è un applet realizzato con l'onnipotente (un po' esagerato lo so!) GeoGebra, che permette di trovare i fattori primi di un numero, compreso tra 2 e 500.

In realtà, avrei potuto allargare l'intervallo numerico a piacere, ma va bene così. Eheheheh, non mi fido sino in fondo di qualcuno, che potrebbe utilizzare l'app in senso opportunistico.

Scusatemi, ma ho i miei buoni motivi per affermare ciò! L'algoritmo di fattorizzazione manuale è, invece, didatticamente indispensabile per apprenderne la procedura. L'app deve essere utilizzata soltanto come controllo! Fatene buon uso, quindi.

Come utilizzare l'app: muovendo a piacere il cursore dello slider verde, è possibile trovare casualmente un nuovo numero compreso tra 2 e 500. Successivamente, muovendo il cursore sullo slider rosso, è possibile regolare il medesimo sul numero, trovato con il primo slider. A questo punto, vedrete comparire i fattori primi del numero tra le parentesi graffe di colore verde, poste immediatamente al di sotto dello slider rosso.

Piramide Interattiva Con Sviluppo Nel Piano

Ancora una piramide interattiva per i ragazzi di terza media. In questo applet, avete la possibilità di ingrandire e rimpicciolire il poliedro, muovendo lo "zoom", oppure di osservarne lo sviluppo nel piano, agendo sullo slider "apriechiudi".

Potete anche interrompere l'animazione, cliccando sul bottone, che trovate nell'angolo in basso a sinistra dell'applet. Anzi è consigliabile che lo facciate per apprezzare al meglio lo sviluppo nel piano. Potete far ruotare la piramide anche manualmente, agendo sui punti dei due cerchi.

Teorema Di Pitagora E Triangoli Rettangoli [Applet]

Poiché, come risaputo, il Teorema di Pitagora è valido per i triangoli rettangoli, la relazione pitagorica tra i lati di tali triangoli (il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti) può essere utilizzata per verificare che, considerato un qualsiasi triangolo, questo è un triangolo rettangolo se tale relazione è verificata per i suoi lati.

Allo scopo, ho realizzato un applet con GeoGebra. Muovendo i vertici del triangolo, questo si modificherà: potrete così verificare che la relazione pitagorica è valida soltanto per un qualsiasi triangolo rettangolo.
(Attenzione: l'angolo retto  è indicato con un quadratino!)

Ho realizzato l'applet a beneficio di tutti i ragazzi volenterosi che si trovassero a passare da queste parti.

Cliccando sul seguente link, troverete altre risorse sul Teorema di Pitagora:

http://www.lanostra-matematica.org/search/label/pitagora