Archimede

Cari ragazzi e cari lettori, dopo "Sulla origine delle specie per elezione naturale",  vi segnalo un'altra risorsa da Wikisource, edita nel 1923. Si tratta di Archimede di  Antonio Favaro (Padova, 21 maggio 1847 – Padova, 30 settembre 1922), un matematico e storico della scienza italiano. Qui la bibliografia.

Archimede è stato uno dei massimi scienziati della storia.

Carnevale Della Matematica # 21

Cari ragazzi e cari lettori, ieri, 14 gennaio 2010, CHARTITALIA di Michele Daniele ha ospitato la 21° edizione del Carnevale della Matematica, che ormai volge al compimento della sua seconda annualità.

Interessanti e accattivanti, come sempre, i contributi! Michele ha curato un'edizione intrisa di garbata ironia e buon gusto, piacevole a leggersi.



Matem@ticaMente ha partecipato, come abitualmente, con alcuni contributi. Ne riporto di seguito la presentazione, con le parole del padrone di casa.

Scrive Michele Daniele.

"Altra infaticabile divulgatrice di cose matematiche è Annarita Ruberto con il suo blog Matem@ticamente che è una vera e propria miniera di idee per insegnare, e far amare, la matematica nella sua interezza. Per esempio, partendo da un problema classico quale "Quanto pesa il pesce?", ne fornisce tre differenti soluzioni adatte per tutte le età (come i film di Natale).

Ciò che è intrigante del lavoro di Annarita è la ricchezza degli strumenti di rappresentazione messi in campo e l'uso di strumenti visuali efficacissimi. A titolo di esempio, osservate l'illustrazione del calcolo dell'area del trapezio, o come vengono illustrati i concetti dei vari tipi di angoli (complementari, concavi, convessi e dintorni) o le circonferenze. Il tutto grazie ad uno strumento quale Geogebra, eccellente software matematico disponibile gratuitamente per tutte le persone di buona volontà. Personalmente ritengo che dovrebbe essere obbligatorio il suo utilizzo per tutti coloro che hanno minimamente l'intenzione di dedicarsi all'insegnamento della matematica...

Ma quello di cui Annarita è (giustamente) orgogliosa è ciò che riesce a far produrre autonomamente dai propri discenti, ragazzi di scuola media. Prendete ad esempio la limpida dimostrazione della formula per il calcolo dell'area del triangolo, o lo svolgimento del tema "il comportamento dello zero e dell'uno nelle quattro operazioni". Molto godibile anche un contributo particolare ad un'orginale prova della divisione.

Nella sezione divulgazione, la prefazione e i primi tre capitoli sulla storia dei numeri sono una vera chicca perchè sono una traduzione curata espressamente per il blog di Annarita dal libretto originale, in lingua inglese, Number stories of long ago di David Eugene Smith. Il libro risale al 1919. All'interno dei tre post si può risalire all'originale e scaricarlo. La pubblicazione dei capitoli singoli continuerà nelle prossime settimane ed alla fine, l'intera traduzione del libro sarà pubblicata in un unico file. Preziossimo.

Nella stessa sezione altre tre cose d'indubbio interesse: un video con la storia del numero più famoso dell'intera matematica (così ripassate anche l'inglese), un'altra cosa sul porisma di Steiner ed una sfida in velocità del matemago Arthur Benjamin alle calcolatrici."

Il blog di Chartitalia: Carnevale della Matematica #21 via kwout

Il Comportamento Di Zero E Uno Nelle Quattro Operazioni, Secondo I Ragazzi

Dopo aver portato a termine lo studio delle quattro operazioni, prima delle vacanze natalizie, ho pensato di svolgere una piccola indagine allo scopo di verificare come le mie birbe di 1° B avessero recepito alcuni concetti fondamentali, senza ricorrere alla solita verifica standardizzata. In realtà, utilizzo più volte nella didattica quotidiana questo tipo di compito.

I Numeri Primi E Internet

Cari lettori, (ragazzi per voi questo post non è facile da capire,...però se volete leggerlo! Non si sa mai...)

Nel corso della ventesima edizione del Carnevale della Matematica, ospitato da questo blog, c'è stata una marea di contributi interessanti. Di questi, riporto integralmente il contributo di Mauretto, che ha dato il consenso.

Grazie, Mauro!

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I numeri primi e Internet

Ai matematici e filosofi greci che tanto tempo fa iniziarono a studiare i numeri primi e le loro proprietà, certo non poteva passare per la mente che, oltre duemila anni dopo, quei loro studi (con i contributi di tanti altri matematici che seguirono) sarebbero stati utilizzati per rendere più sicure le transazioni commerciali ai tempi nostri... Eppure è così, e vediamo come, attraverso questa carrellata sulla storia del numero primo...


1. I numeri primi per gli antichi greci

In principio era l’1. Da esso, aggiungendo un’unità per volta, è possibile creare tutti i numeri interi (che d’ora in poi chiamerò anche naturali) che si vogliono, basta averne il tempo e la voglia... Ma non tutti i naturali, pur avendo lo stesso progenitore, per così dire, sono uguali; per esempio esistono i pari e i dispari, i perfetti, difettivi e perfettivi ecc. Una delle caratterizzazioni principali dei naturali è quella che li suddivide in primi e composti. Vengono detti primi tutti quelli che sono divisibili soltanto per se stessi e per 1, composti tutti gli altri (l’1, di per sé, è un caso particolare: rientrerebbe nella definizione appena data, ma i matematici non lo considerano primo, per ragioni logiche, ma che qui adesso non sto a specificare).

Già Euclide, vissuto nel IV-III secolo p.e.v., si era posto il problema di quanti fossero i numeri primi, ovvero, per meglio dire, se essi fossero in numero limitato o no. Dimostrò con un procedimento semplicissimo (anche se coinvolge un tipo di ragionamento, quello per assurdo, che risulta abbastanza ostico a chi non è addentro in questioni di matematica o di logica) che essi sono in numero infinito, e che dunque non esiste un numero primo più grande di tutti. Dimostrò inoltre che ogni numero composto ammette una e una sola scomposizione in fattori primi (a meno dell'ordine dei fattori, naturalmente).

Eratostene, altro matematico greco (vissuto un secolo circa dopo Euclide) si pose il problema di determinare quali fossero i numeri primi e quali quelli composti. Inventò, a tale scopo un sistema ingegnoso; il procedimento è il seguente: si supponga di voler trovare tutti i numeri primi fino a 1000; allora, scriviamo tutti questi numeri a partire da 2 fino a 1000 in un elenco; poi, partiamo da 2 e cominciamo a cancellare tutti i multipli di 2 (il 2 escluso); poi cominciamo da 3 (il primo che ancora non è stato cancellato) e cancelliamo (setacciamo) tutti i multipli di 3; e così via, partendo dal primo numero che non è stato cancellato, cancelliamo tutti i suoi multipli (escluso lui stesso). Proseguiamo così fino ad arrivare all’ultimo numero della nostra lista, 1000. I numeri che restano sono i numeri primi non maggiori di 1000. È come se si utilizzassero dei setacci a maglie via via più larghe: il primo lascia passare soltanto i numeri non multipli di 2, il secondo soltanto i non multipli di 3, e così via. Il procedimento viene effettivamente chiamato “crivello (setaccio) di Eratostene”.

Dopo i greci, c’è stato un lungo periodo di stasi, nella ricerca sui numeri primi. Per trovare un altro matematico che se ne sia occupato, bisogna arrivare addirittura al XVII secolo, al francese Pierre de Fermat e al suo coevo e conterraneo Marin Mersenne.

I due (oltre a numerosi altri argomenti) si occuparono principalmente di trovare una formula, un procedimento che fornisse numeri primi, dato che il crivello di Eratostene era sì efficace, ma pochissimo efficiente. Fermat arrivò alla formula

Egli credeva che questa formula fornisse soltanto numeri primi, mentre già fallisce per n = 5, dando un numero composto. D’altronde non aveva certo a disposizione le moderne calcolatrici, e a mano era praticamente impossibile controllare se 4 294 967 295 (il valore dell’espressione sopra con n = 5) fosse primo o composto...

Mersenne, invece, pervenne all’ancor più efficace (ed efficiente)
 
che fornisce moltissimi numeri primi. Il più grande che sia stato a oggi trovato è 242 643 801 - 1, un numero di 12 837 064 cifre!

Ma il contributo più importante (almeno dal punto di vista dell’argomento di questo post) che Fermat diede alla teoria dei numeri primi è quello che oggi viene chiamato “piccolo teorema di Fermat” (per distinguerlo da quello più famoso, del quale ho già parlato in questo post). Tale teorema stabilisce che
 

che si legge “a alla p è congruo ad a modulo p” affermando con ciò che, prendendo un qualsiasi numero a, elevandolo a una potenza prima p, ed eseguendo infine una divisione per lo stesso p, si ottiene un resto uguale al numero originario. Questo teorema costituisce la base della moderna tecnica crittografica, della quale parlerò oltre.

Toccò poi a Eulero, un matematico svizzero, che, oltre a confutare o dimostrare alcune delle affermazioni fatte da Fermat sui numeri primi, si imbatté a un certo punto dei suoi studi nel calcolo della somma infinita (detta anche serie armonica)
 
e dimostrò che divergeva, cioè che la somma era infinita; ma, generalizzando, decise di studiare cosa avveniva se ogni termine veniva elevato al quadrato:
 
oppure, in genere, a un esponente maggiore di 1:
 
con n > 1. Ebbene, Eulero dimostrò che, nel caso in cui l'esponente fosse maggiore di 1, la serie improvvisamente convergeva.

Una serie di queste, in particolare, destò in Eulero e negli altri matematici particolare stupore; era quella in cui l’esponente valeva 2. Lo svizzero, dopo numerosi calcoli, dimostrò che
 un’espressione che legava la somma degli inversi di tutti i quadrati al rapporto tra una circonferenza e il suo diametro… una scoperta quasi mistica!

Cosa ancora più importante, però, dimostrò che la serie armonica poteva essere espressa in termini di prodotti di fattori contenenti in qualche modo i numeri primi, cioè che:
 
(dove al denominatore, nel membro di destra, compaiono tutti i numeri primi) ovvero, scritto in termini matematici più compatti,
 
Dove quel simbolo strano (una pi greca maiuscola) che vedete nel membro di destra si chiama produttorio ed è l’analogo della sommatoria (che è il simbolo a sinistra, una sigma maiuscola), ma per i prodotti.

E poi… poi arrivò Riemann, e fu tutta un’altra musica…

2. I numeri primi ai tempi nostri

Bernhard Riemann era un matematico tedesco che insegnava all’Università di Gottinga; verso la metà del XIX secolo, si occupava soprattutto di geometria non euclidea. Quasi improvvisamente nell’ambiente matematico iniziarono a circolare dei tipi di numeri, introdotti dal francese Cauchy, un po’ “strani”, che servivano a risolvere alcune equazioni polinomiali (ricordate questo post su Galois, vero? ); erano i numeri complessi, cioè i numeri della forma a + b • i, dove a e b sono numeri reali, mentre i = √(-1). Riemann ne restò talmente affascinato che iniziò a studiare il comportamento delle funzioni “normali” quando le variabili, invece che essere numeri reali, erano numeri complessi.

Tra l’altro, cominciò a studiare il comportamento di questa funzione:
 

(quel simbolo strano che vedete a sinistra è una zeta greca maiuscola, che noi matematici normalmente leggiamo “zita” per distinguerla dalla zeta dell’alfabeto latino, meno che quando la leggiamo nel caso di questa funzione, dove ridiventa “zeta”, ed esattamente “zeta di Riemann”… siamo un po’ pazzi noi matematici, vero? ). Comunque, come avrete notato, è proprio la funzione studiata da Eulero, soltanto che l’esponente dei naturali, invece di essere un numero reale, è un numero complesso (sì, coi numeri complessi si possono eseguire esattamente le stesse operazioni che sui numeri reali, a parte qualche minima eccezione…).

Insomma, Riemann iniziò a studiare questa funzione e si accorse di parecchie particolarità; innanzitutto che essa assumeva il valore 0 per certi determinati valori della variabile complessa s, e precisamente i punti 2, 4, 6 ecc. Questa caratteristica era abbastanza evidente a occhio, per così dire, e Riemann chiamò questi gli “zeri banali” della funzione zeta che da lui prese il nome (in matematica gli “zeri” di una funzione sono i valori della variabile per i quali essa assume valore 0). Molto più interessante si rivelò invece la ricerca degli “zeri non banali”.

La funzione zeta di Riemann è in effetti abbastanza sfuggente all’analisi, e soltanto dopo molte pene il tedesco si accorse che gli zeri non banali sembravano addensarsi su una particolare retta, detta poi “retta critica”, quella di ascissa ½, sicché le soluzioni sembravano essere tutte della forma ½ + b • i.

Ma torniamo ora, per un attimo, ai numeri primi. Circa mezzo secolo prima di Riemann, un altro matematico tedesco suo predecessore all’università di Gottinga, Carl Friedrich Gauss, aveva investigato sul “numero” dei numeri primi, cioè su quanti ce ne fossero in un intervallo dato. Egli, visto che fino a quel momento non si era riusciti a trovare nessuna formula che restituisse tutti e soli i numeri primi, passò all’analisi della frequenza dei numeri primi all’interno dei naturali ovvero (concetto più o meno analogo) alla probabilità che dato un numero qualsiasi, questo fosse primo.

Esaminando le tavole dei numeri primi che circolavano, e calcolandone diverse migliaia lui stesso (scrisse a un suo corrispondente: “ogni volta che ho un attimo di tempo libero mi dedico alla ricerca di numeri primi”), stimò, in prima battuta, che il numero dei primi non superiori al numero x, da lui indicato con il simbolo π(x), fosse circa uguale a
 

dove ln x rappresenta il logaritmo naturale (in base e) di x. Questa congettura di Gauss venne migliorata dal matematico francese Legendre, che approssimò la frequenza dei numeri primi con la formula
 
che, in effetti, era più aderente alla quantità richiesta. Permettetemi però questa digressione: quella di Legendre è una formula decisamente più brutta (nel senso di “pesante”), pur se migliore, di quella di Gauss, e io sono convinto che la Natura (intesa in senso spinoziano) abbia la facoltà di scegliere, tra due possibili soluzioni alle sue leggi, quella più bella, elegante e comprensibile…

Tant’è, infatti, che lo stesso Gauss trovò un’approssimazione migliore di quella di Legendre e, addirittura, infinitamente più elegante! Questa:
 
(dove il simbolo ~ vuol dire “circa uguale a”).

Anche Riemann si era dedicato allo studio della frequenza dei numeri primi e, tentando di migliorare la stima effettuata da Gauss, arrivò alla stupefacente connessione tra la frequenza dei numeri primi e la funzione zeta, nel senso che aggiungendo o togliendo alla stima di Gauss una quantità determinata in base agli zeri della funzione zeta, quel segno di “quasi uguale” diventava un “uguale” vero e proprio!

Ma… e qui sorge un grande “ma”, un immenso “ma”, starei per dire: quello che ho detto nel paragrafo precedente è vero “se e soltanto se” gli zeri non banali della funzione zeta stanno tutti su quella famosa retta “critica” di ascissa ½. Dal momento in cui Riemann enunciò questa congettura (quella sugli zeri), decine, ma che dico, centinaia di matematici hanno tentato di dimostrarla, eppure nessuno c’è riuscito.

Addirittura, nel 1900, un altro matematico tedesco, David Hilbert, il più geniale dell’epoca, inserì l’ipotesi di Riemann tra i “problemi del secolo”, quelli che nel corso del novecento, appunto, avrebbero dovuto essere risolti; ebbene, è passato un secolo e rotti, e l’ipotesi di Riemann è ancora lì, perenne “teorema di Fermat”, a sfidare i matematici. E non è che nel frattempo le cose non siano andate avanti: ormai sono stati calcolati decine di miliardi di zeri non banali della funzione zeta, e tutti giacciono sulla retta di ascissa ½; è stato dimostrato che oltre il 40% degli zeri è su quella retta; è stato dimostrato che gli zeri su quella retta sono infiniti, ma (sapete bene come vanno le cose con i “numeri infiniti”, se avete letto questo mio racconto) ancora nessuna dimostrazione può garantire che qualche zero sperduto non si trovi al di fuori di essa…

3. Numeri primi e crittografia

Compiuto questo excursus nella storia dei numeri primi, veniamo ora al cuore di quella che è la seconda parte del titolo di questi post: Internet, e più precisamente la sicurezza dei dati nella rete.

Non farò qui la storia della crittografia, ma dimostrerò semplicemente perché la trasmissione dei dati in Internet può (ancora?) considerarsi sicura.

Il metodo attraverso il quale si realizza tale sicurezza si chiama RSA (dalle iniziali dei cognomi dei suoi inventori: Ron Rivest, Adi Shamir e Leonard Adleman). È un sistema “a chiave pubblica”, nel senso che lo strumento per codificare un qualsiasi messaggio può essere noto a tutti, mentre è “privato”, ovvero nascosto, lo strumento per decodificarlo: quest’ultimo è noto soltanto al destinatario del messaggio stesso. Vediamo in pratica come funziona, con un esempio costruito appositamente. Supponiamo che ci siano due persone, Alice e Bruna, e che la seconda debba spedire un messaggio cifrato alla prima; per comodità di calcolo, farò semplicemente consistere tale messaggio nel numero “7”.

Prima di tutto, Alice costruisce la “chiave pubblica”; la crea prendendo due numeri primi ed eseguendone il prodotto; nella realtà i numeri scelti sono molto grandi, ma noi, sempre per comodità di calcolo, supponiamo che siano 5 e 11: la prima parte della chiave pubblica è allora 55 e questo numero viene comunicato a Bruna, senza alcun timore che qualcun altro lo possa scoprire, perché, come vedremo è, con quasi assoluta certezza, inutilizzabile. Secondariamente, Alice esegue il prodotto (5 – 1) • (11 – 1) = 40; questo numero costituisce la sua “chiave privata” e viene tenuto segreto perché è quello che serve a decodificare il messaggio.

Dopodiché Alice cerca il minimo naturale che non abbia fattori comuni con la chiave privata (40); in questo caso è il numero 3: questo costituisce la seconda parte della chiave pubblica e anch’esso viene comunicato a Bruna.

Infine Alice calcola il numero inverso di 3 (la seconda parte della chiave pubblica) nell'aritmetica modulare di ordine 40 (la prima parte della chiave privata), cioè il più piccolo numero x per il quale vale 3 • x ≡ 1 (mod. 40) , vale a dire il minimo numero che, moltiplicato per 3, dia resto 1 quando diviso per 40; in questo caso x = 27, e questa sarà la seconda parte della chiave privata.

A questo punto Bruna conosce la chiave pubblica (divisa in due parti) e la utilizza per eseguire il seguente calcolo: 73 mod. 55, cioè eleva 7 alla terza potenza e calcola il resto della divisione del risultato per 55, ottenendo 13, che costituisce il “messaggio cifrato” da inviare ad Alice.

Questa, una volta ricevuto il numero 13, esegue il calcolo 1327 mod. 55, cioè eleva 13 alla ventisettesima potenza e calcola il resto della divisione per 55 (in realtà non c’è proprio bisogno di elevare a quella potenza enorme, c’è un sistema più rapido, ma tralascio volutamente alcuni tecnicismi). Il risultato è 7, cioè il messaggio originario di Bruna!

Tutto questo procedimento, che mi ha richiesto quasi una pagina per l’esposizione, e a voi qualche minuto, più o meno, per la lettura, in realtà viene eseguito in pochi millesimi di secondo da un qualsiasi calcolatore, anche di media potenza.

E allora, per concludere, vediamo la caratteristica fondamentale del sistema RSA reale, quella che lo rende praticamente inespugnabile. Nel mio esempio ho volutamente utilizzato numeri piccoli, ma le aziende che commerciano su Internet (nonché i servizi segreti, grandi utilizzatori di crittografia!) utilizzano attualmente “chiavi pubbliche” che sono il prodotto di due numeri primi di 160-320 cifre (e i servizi segreti utilizzano, quasi sicuramente, numeri primi di 600 cifre e oltre…); dunque, se è facile, dato il numero 55 del mio esempio, scoprire che i suoi fattori primi sono 5 e 11, per i numeri “reali” di centinaia di cifre tale compito è decisamente al di là delle attuali possibilità, anche con i supercalcolatori che ci sono oggi in circolazione; e senza “fattorizzazione” non si può in alcun modo risalire alla chiave privata e al messaggio non cifrato.

Quest’ultima considerazione vale però finché perdura lo stato di relativa incertezza riguardante l’ipotesi di Riemann; nel momento in cui venisse scoperto uno “zero non banale” al di fuori della “retta critica” (ipotesi altamente improbabile) oppure quando (più probabilmente, in un futuro forse non troppo lontano) verrà dimostrata matematicamente la validità dell’ipotesi, il problema della fattorizzazione di numeri con parecchie centinaia di cifre sarà enormemente più facile e bisognerà trovare un altro sistema per codificare i messaggi che debbono rimanere segreti. Ma, nel frattempo, non è che i crittografi (coloro che si occupano di tecniche di occultamento di messaggi) stiano con le mani in mano: altri metodi di crittazione sono in fase di studio avanzata, e sono basati su “biliardi ellittici”, “tamburi quantistici”, “calcolatori cellulari” e altri aggeggi simili, direttamente dai romanzi di fantascienza!

4. Considerazioni finali (con una sorpresina)

Un’ultima annotazione, che non so quanto sia originale (anche se lo spero vivamente); mentre stavo scrivendo questo post, mi sono messo un po’ a giocherellare con il crivello di Eratostene (quello menzionato all’inizio); sorseggiavo l’ennesimo caffè della giornata (dato che sono un pedissequo sostenitore dell’affermazione del matematico ungherese Paul Erdős, secondo il quale “un matematico è una macchina semplice che trasforma caffè in teoremi…”), quando ho scoperto una cosa che non mi pare di aver trovato altrove nella letteratura da me consultata; è una sciocchezzuola, ma ve la propongo così come m’è venuta in mente.

Dunque: dopo secoli di studio sui numeri primi non si è arrivati a una formula che restituisca soltanto numeri primi; esistono formule complicatissime che dànno numeri primi: quelle di Fermat e Mersenne, per esempio, ma non solo; ben quattro matematici (tali Jones, Sato, Wada e Wiens, sconosciuti, credo, per altro che non sia il motivo che vi vado a esporre…) nel 1976 si sono messi insieme per creare questo mostro di espressione
 
in 26 variabili (le lettere a, b, …, z) e di grado 25! Sostituendo alle lettere numeri naturali qualsiasi, se il risultato è un numero positivo, allora è anche un numero primo (ed esistono valori delle variabili che ritornano ogni primo possibile); peccato che il più delle volte quell’espressione ritorni un numero negativo…

A parte le mostruosità, dicevo che non sembra esistere un sistema per sapere a priori, dato un numero primo, quale sarà il successivo. A me sembra, tuttavia, di aver trovato un metodo a posteriori, che consiste in questo: esaminiamo con attenzione il metodo del crivello di Eratostene (amo molto, casomai non si fosse capito, questo ritorno alle origini, alla matematica “semplice”…).

Se osserviamo attentamente cosa succede quando cancelliamo i multipli di ogni numero, notiamo questo fatto: il primo a venire cancellato è il quadrato del numero stesso (il 4 è il primo multiplo del 2, il 9 è il primo multiplo del 3 − dato che il 6 è già stato cancellato come multiplo di 2 −, il 25 è il primo multiplo del 5 e così via).

Il fenomeno particolare si nota quando si va a cancellare il secondo multiplo: per il 2 il secondo multiplo è il 6 (= 2 • 3), per il 3 è il 15 (= 3 • 5), per il 5 è il 35 (= 5 • 7), per il 7 è il 77 (= 7 • 11)… Il secondo a essere sottoposto a cancellazione è un numero che, diviso per quello da cui ha origine l’eliminazione, restituisce il numero primo successivo!

È come se la Natura (intesa sempre nel senso spinoziano del termine), fornendoci i numeri primi e celandoci contemporaneamente la loro distribuzione, avesse nascosto dentro ognuno una traccia che porta al successivo; come se, consigliata magari da Charles Perrault, ci avesse detto: “Non ti dico come sono distribuiti i numeri primi, ma, come Pollicino, briciola dopo briciola, da ogni numero primo puoi risalire al successivo!” o ancora come se, consigliata da un botanico quale Lamarck, ci fornisse, insieme con ogni numero primo, il seme dal quale far nascere il successivo, o ancora come se, su suggerimento di un grande von Karajan, ogni numero primo desse il “la” a un altro numero primo, a un altro strumento di quell’orchestra infinita; dato che, come ebbe ad affermare il matematico e logico tedesco Leopold Kronecker, “Dio [ anche se io direi la Natura…] ha creato i numeri interi, tutto il resto è opera dell’uomo”.

Conta...: Tool On line Per I Più Piccini

Segnalo ai colleghi interessati un tool completamente web based, utile per muovere i primi passi nell'approccio alla matematica, nell'ambito della scuola primaria, ma anche per i bambini più grandi portatori di disabilità o comunque in difficoltà di apprendimento.

Una "Prova" Della Divisione (Ah! Queste Benedette Divisioni!)

La mia amica Giulia, madre di un bimbo che frequenta la terza primaria, qualche giorno fa mi ha sottoposto un quesito che ho deciso di condividere con voi, ragazzi e lettori, perché mi sembra didatticamente utile.

Storie Di Numeri Di Tanto Tempo Fa [Prefazioni 1 e 2]

Cari ragazzi e cari lettori, ricordate il pdf ebook  di David Eugene Smith  "Number Stories of long ago", che segnalai il 20 gennaio scorso? Chi non ne è a conoscenza, vada a leggere il post perché di lì può scaricare liberamente l'ebook in lingua originale. Il libro è del 1919.

Da oggi, grazie alla collaborazione dell'amica Anna Cascone, che ne ha curato la traduzione in lingua italiana, inizierò a pubblicarne il contenuto, ogni domenica.

Cominciamo dalle due prefazioni, una dedicata ai piccoli e la seconda rivolta ai grandi.

Lo Zero E Le Sue Tante Storie

Cari piccoli di 1° B, oramai ci siamo addentrati nello studio dell'insieme dei numeri naturali e siamo in procinto di "affrontare" la divisione e le sue proprietà.

Che ne dite di conoscere un po' più da vicino lo zero? Avete già iniziato a comprendere quale ruolo fondamentale esso rivesta in Matematica.

Robert Kaplan, nella prefazione denominata "La lente" (Zero. Storia di una cifra, Rizzoli, Milano, 1999)  inizia con le seguenti parole: "Guardate lo zero, e vedrete niente; guardate attraverso lo zero, e vedrete il mondo" e, prima di passare al "Capitolo 1", conclude così: "Sempre più prossimo, quasi a portata di mano, ma mai realmente afferrabile: è questa, forse, la definizione meno inadeguata dell'intima natura dello zero".

Lo zero, ignoto ai greci e ai romani, giunge in Occidente nel Medioevo attraverso gli arabi che a loro volta ne avevano appreso la nozione dagli indiani. Con i grandi rivoluzionari della matematica moderna, Newton e Leibnitz, lo zero assume nuovi significati e conquista un ruolo centrale non solo nel pensiero matematico, ma nella nostra stessa visione dell'universo.

Ce n'è abbastanza per invogliarvi a leggere i seguenti articoli già presenti su questo blog? Mi auguro di sì! Leggete, leggete! E non provate a barare che poi vi chiedo il riassunto!
Scherzo! Mi piacerebbe, però, avviare in classe una discussione su questo numero incredibile!

Riporto l'introduzione di ciascun articolo. Leggete il seguito cliccando sui link.

Primo articolo: Lo Zero "0" E' Un Numero Naturale, Sì o No?

Cari ragazzi e cari colleghi, in questo periodo di vacanze estive, oltre a proporre  giochi di tipo matematico, paradossi e puzzle, curiosità e notizie storiche, ho pensato di fornire delle risposte a domande che sia voi alunni, ma anche adulti e colleghi, mi avete rivolto in sedi e tempi diversi.

La domanda che stiamo per affrontare in questo post è la seguente:"Lo zero può essere considerato un numero naturale o no?"

La domanda non banale, in base alla mia esperienza, viene posta quasi sempre in prima, ma anche negli anni successivi.



D'altronde i testi scolastici forniscono indicazioni differenti in proposito. In alcuni di essi si legge che Z_o è l'insieme dei numeri interi compreso lo 0 mentre in altri si legge che è l'insieme dei numeri interi escluso lo 0.

Secondo articolo: La Straordinaria Storia Dello Zero - 1° Parte

Abbiamo visto quanta matematica si rileva, scavando nel passato – mettiamo nelle fondamenta di una città come quella di Torino romana. Potremmo tentare questa strada per ampliare l'orizzonte della questione provocatoria dello zero, se naturale o no, posta dalla prof Annarita Ruberto, tanto più che gli accademici della matematica sembrano essere in discordia tra loro su questa cosa.
Infatti, alle diverse opinioni, che potrebbero scaturire, si aggiungerebbe il lato interessante del venire a conoscenza della radice “naturale” dato ai numeri in discussione, ai quali non si sa se lo zero appartenga.

Perché non parlare della straordinaria storia dello zero?

<>.

Con questa domanda, inizia il capitolo dedicato alla storia dello zero nel libro “Intelligenza matematica” (di Brian Butterworth) già presentato in questo blog.

Terzo articolo: La Straordinaria Storia Dello Zero - 2° Parte: Lo Zero Dei Maya

In modo assolutamente indipendente dall'invenzione dello zero avvenuta nella Valle dell'Indo, e diverse centinaia di anni prima, la straordinaria civiltà dei Maya usava il disegno di una conchiglia per indicare lo zero in un sistema di notazione posizionale. I Maya usavano due segni, il punto per «1» e la linea orizzontale per il «5».
Nel loro sistema di conteggio ordinario vigesimale (in base 20) essi usavano questi simboli per i multipli di 20^0 (=1), di 20^1 (=20), 20^2 (=400), e così via. A differenza dei nostri simboli numerici, le posizioni erano ordinate dal basso verso l'alto invece che da sinistra verso destra.

Quarto articolo: La Storiella Di Zero Che Preferiva restare Anonimo

C'erano dieci numeri compresi da 1 a 9, e con loro anche Zero, che erano compagni di classe. Zero, per via della sua nullità, era assai timido e anche per questo nessuno badava a lui. Ma Zero sentiva il forte bisogno di far valere la sua personalità e cercava di dire la sua ai compagni. Tentava continuamente di vincere la propria timidezza senza, però, riuscirci. Ciò che cercava di dire gli rimaneva sempre dentro ed era come fosse lo scritto, se pur amabile, di una lettera anonima.
Un giorno, i nove numeri, e naturalmente anche Zero, decisero di fare un gioco diverso dal solito, tanto per cambiare. Dissero: "Componiamo delle coppie come per fare un ballo". E così trovarono un modo assai geniale di attuarlo: 1 si unì a 9, 2 a 8, 3 a 7, e 4 a 6, divenendo 4 magnifici 10, con loro sorpresa.

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Beh, credo ne abbiate abbastanza, vero?

Il Mistero Dei Numeri Primi A Teatr0inMatematica

Cari grandoni di  2° B e 3°B, ricordate che cosa sono i numeri primi? Sono i numeri naturali divisibili soltanto per se stessi e per 1. Ad esempio, 11, 13, 17 sono numeri primi mentre non lo sono 24, 15, 27.

Euclide, circa 23 secoli fa, riuscì a dimostrare che esistono infiniti numeri primi, ma ancora oggi non esiste una formula che permette di calcolare al variare di n tutti i numeri primi.

Divisioni con 1, 2, 3 Cifre Al Divisore

Cari ragazzi di 1° B, in questi primi giorni di attività scolastica abbiamo avuto modo di constatare che la divisione non è proprio il forte per alcuni di voi, vero? Come vi ho anticipato ieri, ho preparato una breve presentazione in power point, in cui ho sintetizzato la modalità di svolgimento analizzata in classe. Sia il dividendo che il divisore sono numeri naturali, e sono state considerate divisioni con resto 0  e  con resto diverso da 0.

Potete guardare la presentazione direttamente sul blog oppure scaricarla sul pc per disporne off line.

Addizioni Puzzle

Cari ragazzi e cari lettori, segnalo un'ottima risorsa a firma di Giorgio Musilli. Si tratta di Addizioni Puzzle, un programma adatto agli alunni della scuola primaria.

Segue la scheda tecnica.

I Divisori E I Multipli [Sfide Per La Mente]

Cari ragazzi di 1° B (dovrei dire della futura 2° B, ormai!), vi lascio  alcuni  quesiti per tenervi in allenamento sui multipli e i divisori, divertendovi nello stesso tempo.

Riduzione Di Frazioni Ai Minimi Termini [La Nostra Prima Video - Lezione]

Ebbene, cari ragazzi di 1° B, ecco in linea la nostra prima video-lezione sulla riduzione di frazioni ai minimi termini.

Per i lettori affezionati: la lezione è stata ripresa in maniera quasi estemporanea senza nulla di programmato. Davide ha portato la sua macchinetta fotografica digitale e ha iniziato la ripresa. Ha fatto tutto da solo, realizzando 10 piccoli filmati.

Frazioni Equivalenti

Una scheda sulle frazioni equivalenti, cari ragazzi di 1°B. Provate a svolgerla. Ormai ci siamo addentrati nello studio delle frazioni ed esercitarsi nelle tecniche e negli algoritmi è importante per acquisire una certa sicurezza operativa.

Riduzione Ai Minimi Termini [Schede Di Lavoro]

Schede di lavoro sulla riduzione ai minimi termini per voi, cari ragazzi di 1°B.

Ci saranno, come sapete, alcuni giorni di interruzione delle lezioni, così, oltre al compito assegnato, se qualche volenteroso avrà voglia di esercitarsi, troverà questo materiale a disposizione.

PROBLEMI

Problemi, problemi, problemi, cari ragazzi di 1°B! Guardate che interessante problema ha preparato maestra Renata.

Quadrato Veloce Di Numeri Che Finiscono Per 5 E Moltiplicazione Per 11

Cari ragazzi e cari lettori, vi propongo un fimato da Metacafe, segnalatomi dall'amica di rete e collega Paola. Il video illustra con semplicità e chiarezza due operazioni: come calcolare in modo rapido il quadrato di un numero che termina per 5 e la moltiplicazione, di altrettanta rapida esecuzione, di un numero per 11.

Guardatelo con attenzione e provate ad eseguire le operazioni. Non è difficile!

Prima di lasciarvi al filmato, vi ivito a leggere alcuni post.

La Moltiplicazione Vedica [Video- Risorsa]

La Moltiplicazione Araba o Graticola o Gelosia

La Divisione Canadese: Una Divisione Per Sottrazioni Progressive

Ed ecco a voi il filmato.

 

Fast Square Of Number Ending In 5 And Fast Multiplication By 11 - video powered by Metacafe

Le Frazioni, Dal Papiro Di Rhind A Fibonacci

Cari ragazzi di 1°B, da poco abbiamo iniziato lo studio delle frazioni e avete compreso come esse  permettano di risolvere  il problema del resto nella divisione. Sappiamo, infatti, che, se eseguiamo una divisione tra due numeri interi, non sempre otteniamo come quoto un numero intero. Abbiamo anche trattato la frazione come operatore, avete appreso che cos'è una unità frazionaria e classificato le frazioni in proprie, improprie e apparenti.

Prima di continuare con la loro applicazione ai problemi e con le operazioni, ho pensato di proporvi una sintetica storia delle frazioni.

La Girandola Delle Tabelline

Cari colleghi e cari lettori interessati, sottopongo alla vostra attenzione la "Girandola delle tabelline", un sussidio didattico segnalatomi dal suo ideatore, il prof. Renato Montemurro. Il sussidio può essere utilmente impiegato nell'apprendimento delle tabelline sia dai bambini della primaria sia dai primini della secondaria, che non di rado evidenziano difficoltà nel ricordare le tabelline.

Esso permette di esercitarsi sulle tabelle della moltplicazione, in modo accativante e curioso. E', infatti, molto pratico e semplice da utilizzare.

Dal Microcosmo Al Macrocosmo Con Le Potenze Di Dieci [Video - Risorsa]

Cari ragazzi di 1° B, abbiamo trattato in classe, all'inizio della settimana, le potenze di 10 e la notazione scientifica  dei numeri molto grandi e di quelli molto piccoli. Abbiamo anche studiato la notazione scientifica e la scrittura polinomiale dei numeri.

L'argomento vi è piaciuto e...siete stati bravi!

Ho trovato in rete un filmato sulle potenze di 10, che rappresenta un viaggio immaginario dall'infinitamente grande all'infinitamente piccolo, scalando una potenza di 10 ogni 2 secondi, dai confini dell'Universo all'interno degli atomi.

Guardatelo con attenzione perché è molto efficace.

Qui di seguito, consultate i link agli articoli sulle potenze, che sono stati scritti l'anno scorso dai vostri compagni dell'attuale  classe 2° A,  perché  sono utili ai fini del ripasso del concetto di potenza e delle proprietà delle potenze, in vista della verifica di lunedì prossimo.

1. La Potenza ...Delle Potenze [Una Storia Vera?]

2. Il Concetto Di Potenza E Le Potenze Di Base 2

3. Potenza Di Un Numero Naturale [Learning Object da scaricare]

4. Potenze: Le Proprietà Fondamentali

Maestra Renata di Splash ragazzi ci segnala un sito dedicato alle potenze di 10.

E adesso il video da gustare!