La Magia Dei Numeri Di Fibonacci

Nel Ted talk La magia dei numeri di Fibonacci, il mate-mago Arthur Benjamin esplora le proprietà nascoste di quella serie particolare e meravigliosa di numeri che è la serie di Fibonacci, fornendoci un ottimo esempio di quelle che sono le tre ragioni più importanti per studiare la matematica: calcolo, applicazione e ispirazione.
Già! E lo sottolineo per quanti dovessero storcere il naso: piaccia o no, la matematica non è solo logica, ma può essere, incredibilmente, anche fonte di ispirazione!

Guardate con attenzione il filmato, che dispone di sottotitoli in italiano.

Spira Mirabilis, La Spirale Meravigliosa

Fonte immagine

Dialogo, da me fantasiosamente concepito, tra il Maestro ed il suo discepolo Lucio sulla celebre Spira Mirabilis o spirale meravigliosa. Che cos'è, che cosa non è? Leggete il seguito se avete un minimo di curiosità al riguardo... ;)

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"Maestro, mi racconti la storia della spirale meravigliosa?"- chiese Lucio mentre seguiva, con l'indice destro, la forma a spirale della conchiglia fossile di Ammonite, che sorreggeva nel palmo della mano sinistra.

"Vorresti conoscere la storia della Spira Mirabilis, dunque? È  una lunga storia. Troviamo un posto tranquillo"- e, così dicendo, il Maestro indicò un grosso olmo dalla folta chioma, attorno al cui tronco era disponibile, a mo' di sedile, una grande aiuola a gradinata. Era una splendida giornata di fine primavera e i dardi di luce preannunciavano l'estate ormai incipiente. Si sedettero sull'ultimo gradino dell'aiuola, all'ombra del grande albero, rimanendo in silenzio per alcuni minuti. Si percepiva soltanto il fruscio delle foglie agitate dalla leggera brezza mattutina, che, spirando dal vicino mare, accarezzava le narici con un sentore di salsedine.

THE FIBONACCI IN LATERALUS

Straniti dal titolo? Ma no! Fibonacci lo avrete sentito sicuramente nominare su questo blog. Lateralus altrettanto sicuramente no.

Ma andiamo per gradi, cominciando dal secondo.

Lateralus è la title track ovvero il brano che ha lo stesso titolo del terzo album dei Tool, un arcifamoso gruppo musicale Alternative Metal formatosi a Los Angeles nel 1990.

LEONARDO PISANO (Detto FIBONACCI)

Cari ragazzi,

ancora  una scheda storica sui grandi matematici che hanno dato lustro alla matematica e ne hanno segnato la storia.

Il  matematico più celebre del XII secolo fu un brillante viaggiatore: Leonardo “figlio di Bonaccio”, o più sinteticamente il “Fibonacci”, nato a Pisa (e perciò detto anche Leonardo Pisano) intorno al 1175 e morto nel 1240 circa.

Nature By Numbers Spiega La Matematica Nella Natura

Vi propongo l'eccellente ed affascinante filmato "Nature by numbers" che spiega la Matematica nella Natura, evidenziando aspetti geometrici e numerici che si ritrovano in numerose simmetrie naturali.

Artisti e scienziati del passato, dai popoli antichi quali Egizi, Greci, Romani, sino a personaggi dello spessore di Leonardo, Michelangelo e altri, hanno fatto uso nelle loro immortali creazioni di proprietà matematiche e geometriche.

Noi ne abbiamo trattate diverse che potete ripassare nei nostri articoli, linkati di seguito:

La Più Bella Dimostrazione Della Matematica

Gli studenti di oggi: Soldati - La più bella dimostrazione della matematica via kwout

Cari lettori, (per voi ragazzi, i contenuti sono ancora di difficile comprensione) vi segnalo una serie di articoli di Zar, a partire da quello che dà il titolo al post.

Scrive Zar:

“Oh, ci ho provato e riprovato, ma non ce l'ho fatta a spingere un soldato fino alla quinta riga”.

Sulla Sezione Aurea e dintorni

La sezione aurea costituisce una problematica affascinante, piuttosto che svilupparla personalmente, dato che per la fascia di età dei miei alunni non risulta ancora proponibile utilmente (ho una classe prima e due seconde), fornisco in questo post l'indicazione di alcuni link ad articoli che la trattano in modo eccellente. Gli articoli si trovano tutti sul Michelangelo's Place, il blog del mio amico Michelangelo Fani.

Ecco i link:

1) La Sezione Aurea

Tutto cominciò quando nel XIII secolo, il matematico pisano Leonardo Fibonacci cercò di trovare una regola per lo sviluppo di una popolazione di conigli. Aveva in realtà aperto uno squarcio su un’area matematica particolarmente affascinante per la sua eleganza e bellezza.

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2) La Sezione Aurea: un'anima irrazionale

1,61803398874989484…

Non esiste fine né alcun criterio di regolarità per i decimali dopo la virgola. Ma come è possibile che il rapporto aureo, canone di tanta regolarità, abbia una forma così imperfetta?

Ogni qualvolta l’uomo si confronta con l’infinito, non può che provare un fastidioso disagio, dall’incapacità di comprenderlo. Arrivando fino al paradosso, come nel caso di Zenone.

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 3) Ramanujan, il poeta dei numeri

…da Φ a π

Quando Godfrey Hardy visitò in ospedale l’amico indiano Srinivasa Ramanujan fu, come al solito, impacciato nell’avviare una conversazione. Non sapendo cosa dire, esordì: “Mi pare che il numero del mio taxi fosse 1729. Mi sembra un numero piuttosto insulso“. Ma Ramanujan gli rispose: “Ma no Hardy! Ma no! E’ un numero molto interessante. E’ il più piccolo numero esprimibile come somma di due cubi in due modi diversi!”

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4) Leonardo Fibonacci e i conigli

Un tempo la matematica serviva soprattutto per fare affari. Il celebre matematico Leonardo Pisano, detto Fibonacci, prima di essere un matematico, fu un mercante. Viaggiò molto, toccando le sponde dell’Asia Minore e del nord Africa. Entrò in contatto con gli arabi e conobbe nuovi sistemi di calcolo e numerazione.

Come un ape che, spostandosi di fiore in fiore, permette l’impollinazione, così Fibonacci contribuì allo sviluppo della cultura europea occidentale.

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5) Fibonacci e la Sezione Aurea

Molto spesso le grandi scoperte sono idee che già sono nell’aria, oppure sono scritte nella natura, spesso sotto gli occhi di tutti. Il genio ha il merito di saperle cogliere.

Ma a volte i  tempi non sono maturi. 

Capitò che alcune conoscenze già note, tornarono sopite per poi riemergere in tempi migliori. Fu così che il Medioevo fu testiomone dell’oblio di parte della conoscenza.

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Larte de Labbacho

Riporto di seguito delle informazioni su un libro che riveste una notevole importanza  per la storia della matematica.

Leggete ragazzi, curiosi di conoscere...sono invitati anche i grandi, naturalmente.

Larte de labbacho è  il primo libro di matematica a stampa pubblicato al mondo, un manuale anonimo noto anche come l’Aritmetica di Treviso. Gli studiosi concordano sul 10 dicembre 1478 come data della sua  pubblicazione. Non c’è, invece, concordanza circa l’ignoto stampatore. Alcuni, infatti, propendono per  il fiammingo Gerardo da Lisa,  altri per Michele Manzolo, detto Manzolino. Sembra che Pace da Fabriano, indicato quale inventore della carta di lino, si stabilisse nella citta veneta, in quell'epoca.

Simboli contenuti in una pagina del libro

Si nota, inoltre, che particolarmente stretta deve essere stata la collaborazione tra l’anonimo Autore del manuale di aritmetica (scritto probabilmente da un prete e dedicato ad alcuni suoi giovani amici che lo avevano richiesto con insistenza) ed il tipografo -editore: infatti, alcune considerazioni sulle fasi lunari sono riferite al “decembrio del 1478”: ciò confermerebbe che la stesura degli ultimi capitoli dell’opera in esame avviene pressoché contemporaneamente alla stampa delle prime sezioni del libro.

Il contenuto del libro è interessante rispetto alla evoluzione del sapere matematico in occidente: in esso si usano le cifre arabe, non più la notazione romana dei numeri, raccomandata sin nel 1348 dalla Università di Padova per indicare i prezzi dei libri.

Larte de labbacho è un trattato elementare costituito da sessantadue pagine non numerate, limitato alle applicazioni commerciali dell'aritmetica. Ricalca il "Liber Abbaci" di Leonardo Pisano detto Fibonacci, scritto nel 1202, più vasto e rimasto fondamentale per quasi 300 anni, superato solo dal libro di Luca Pacioli, uscito nel 1494 a Venezia col titolo "Summa di Aritmetica, di Geometria, Proporzioni et Proporzionalità".

L’opera, dichiaratamente dedicata “a ciascheduno che vuole usare larte de la merchadantia chiamata vulgarmente larte de labbacho”, è caratterizzata da una chiara impostazione didattica, ed è impreziosita da un ricco corredo di esempi, sapientemente calibrati per difficoltà.

L’opera si apre con la precisazione di alcune definizioni: innanzitutto, viene detto numero “una moltitudine congregata [...] da molte unitade . et al meno de la do unitade : come e 2 el quale e lo primo e menore numero che se truova” (ne Larte de labbacho sono considerati esclusivamente i numeri interi non negativi). Sono indicati come fondamentali, nella pratica aritmetica, cinque “atti”:  il contare (con la numerazione in base dieci) e le quattro operazioni.

Ne Larte de labbacho non compaiono i segni con i quali, modernamente, sono indicate le operazioni aritmetiche (+, –, ×, :), in quanto, rispetto alla data di pubblicazione del manuale trevigiano (1478), l’introduzione di tali segni è più tarda . Le operazioni aritmetiche sono così denominate:

"levare, cavare” (sottrarre), operazione indicata dalla parola “de”;
“moltiplicare”, operazione indicata dalla parola “fia”;
“partire” (dividere), operazione indicata dalla parola “in”.

Dal punto di vista pratico, l’Autore, pur ricordando la validità della proprietà commutativa dell’addizione, suggerisce di eseguire l’operazione in colonna disponendo sempre l’addendo maggiore sopra l’addendo minore; all’attenzione del lettore è inoltre segnalata l’opportunità di controllare l’esattezza dei calcoli effettuati, ad esempio attraverso la “prova del nove”.

Per quanto riguarda la sottrazione, l’Autore ricorda che “mazor da menore non puo fir cavato” ed illustra numerosi esempi pratici (tratti dagli esempi già proposti per l’addizione), eseguiti in colonna.

Il libro originale esiste in pochissime copie: 8 elencate nel 1888 da Pichi e una citata da D.E.Smith nel 1958 esistente in America. Nei 500 e più anni dalla sua uscita il libro è stato oggetto di numerosi studi, ricordati nelle ristampe recenti:

Il libro Larte del Labbacho è stato ristampato in copia anastatica dall'Editore Zoppelli nel 1969. 

I "coniglietti" di Fibonacci

Cari  alunni, se talvolta, tra un bagno al mare e un’escursione in collina, vi trovate a passare da queste parti, troverete un famoso problema, noto come “I Coniglietti di Fibonacci” che propongo a voi, ma  anche ai visitatori adulti, a scopo sia ludico che conoscitivo.
Passiamo al problema, senza perderci in chiacchere.

Immaginate di possedere una coppia di giovanissimi conigli, che dopo un mese di vita diviene feconda e, da quel momento in poi, genera una nuova coppia di coniglietti al mese.
Ogni nuova coppia di coniglietti si comporterà allo stesso modo: dopo un primo mese di attesa, genererà una nuova coppia di coniglietti al mese, tutti i mesi. Seguite l’evoluzione del gruppo di coniglietti e fate attenzione al numero di coppie che avrete a disposizione, mese dopo mese.

1. All’inizio avete solo una coppia A, non feconda;

2. dopo un mese, avete ancora la sola coppia A, che è divenuta feconda;

3. dopo due mesi, A (che resta) ha generato una nuova coppia B, inizialmente non feconda;

4. dopo tre mesi, A ha generato C, inizialmente non feconda, e B è diventata feconda…

Se contate, mese dopo mese, il numero delle coppie di coniglietti, troverete la successione di Fibonacci, così denominata su proposta del matematico francese Edouard Lucas (1842-1891, inventore tra l'altro delle Torri di Hanoi, di cui abbiamo già parlato  su questo blog e di cui potete vedere una immagine animata):

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; …

I calcoli diventano sempre più fastidiosi; ci chiediamo quindi come poter  scrivere una “regola” che  aiuti a calcolare con facilità i termini di tale successione. Insomma:

"Quante saranno le coppie di coniglietti ad un mese considerato?"

Ci saranno, ovviamente, tutte le coppie del mese precedente. Ci saranno poi le coppie “neonate”: quante? Una per ogni coppia feconda (nel mese precedente al mese considerato). Ma le coppie di coniglietti diventano feconde dopo un mese di “attesa”. Quindi il numero di coppie in età feconda al momento considerato è il numero delle coppie presenti due mesi prima.

Quindi: il numero a(n) di coppie al mese n-esimo è la somma del numero delle coppie presenti nei due mesi precedenti:

a(0) = 1; a(1) = 1; a(n+2)= a (n+1)+a(n )         dove n è un numero naturale

La successione di numeri: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 15, …si ritrova in molte applicazioni.  Ad esempio, consente di tassellare un piano con una sequenza di quadrati due soli dei quali con lati uguali. Una sequenza strettamente imparentata con la spirale!

Possiamo anche rappresentare in un grafico l'andamento della nostra “popolazione” per i primi mesi (consideriamo, ad esempio, il primo anno):

Se esaminiamo il rapporto tra il numero di coppie al mese n-esimo e al mese (n+1)-esimo, troviamo che al crescere di n tale rapporto tende a “stabilizzarsi” intorno ad un valore di poco superiore a 0,6:

E' tutto. Mi auguro che vi siate divertiti un pochino.