Tre Rettangoli Aurei In Un Icosaedro Regolare

Ragazzi, con questo post approfondiremo la conoscenza dell'icosaedro regolare, uno dei cinque solidi platonici che già conoscete.
Sapete già che questo particolare poliedro regolare è formato da 20 triangoli equilateri congruenti, ha inoltre 30 spigoli, ovviamente congruenti, e 12 vertici.

Non sapete, invece, che i 12 vertici dell'icosaedro regolare possono essere ottenuti intersecando tre rettangoli aurei reciprocamente ortogonali.

Ma vediamo prima che cos'è un rettangolo aureo.

In geometria, un rettangolo aureo è un rettangolo le cui lunghezze dei lati sono tra di essi nel rapporto aureo 1: (1 + sqrt (5))/2, cioè 1: φ (la lettera greca phi), dove φ vale approssimativamente 1.618.

Nella figura (a + b) / a = a/ b = 1, 618 = φ

Rettangolo aureo

Il Problema Dei Due Quadrati

Propongo il problema, che ho denominato dei due quadrati, a quanti si vogliono cimentare nella sua risoluzione. Leggete con attenzione il testo e costruite la figura relativa.
La difficoltà è media per i più grandicelli, mentre per i ragazzi di terza media l'impegno richiesto è maggiore.

Pubblicherò tutte le soluzioni che mi perverranno entro martedì 11 febbraio. Potete lasciarle con un commento al post oppure inoltrarle al mio indirizzo di posta elettronica: annaritar5@gmail.com

Suvvia non siate timidi e partecipate:)

AGGIORNAMENTO: qui la soluzione e la generalizzazione del problema.

Area Dell'Aquilone Con Applet

Dalla Rete

Continuando nella trattazione dell'equivalenza di figure piane, calcoliamo l'area dell'aquilone con l'applet che ho realizzato per voi, ragazzi di 2°B.

Come già specificato in classe, per aquilone, in geometria, si intende un quadrilatero con le diagonali perpendicolari, in cui una sola diagonale dimezza l'altra.
Di conseguenza, tale quadrilatero possiede due coppie di lati consecutivi congruenti ed una sola coppia di angoli opposti congruenti.

Delle due diagonali, quella che dimezza l'altra è anche asse di simmetria della figura. L'area dell'aquilone si calcola con la stessa formula utilizzata per calcolare l'area del rombo:

Quadrato Inscritto E Circoscritto Alla Circonferenza

Dopo il triangolo equilatero, continuiamo lo studio delle relazioni riguardanti il quadrato inscritto e circoscritto alla circonferenza mediante l'ennesimo applet realizzato con l'impagabile GeoGebra.

Agendo sulle caselle di controllo contenute nel foglio dinamico di lavoro, potete osservare le relazioni tra gli elementi delle due circonferenze e quelli del quadrato, mentre, agendo sui vertici A e B, potete modificare la grandezza delle figure e rilevare come tali relazioni rimangano invariate.

Triangolo Equilatero Inscritto E Circoscritto Alla Circonferenza

Ragazzi di 3°B, vi propongo un applet realizzato con GeoGebra per rendere più chiare le relazioni tra un triangolo equilatero e la circonferenza inscritta e circoscritta.

Agite sulle caselle di controllo una alla volta, per facilitare la comprensione di tali relazioni.

Ricordate che, essendo il triangolo equilatero un poligono regolare, il raggio della circonferenza inscritta coincide con l'apotema, che è la distanza fissa tra l'incentro e ciascuno dei lati.

Dalla Poligonale Random All'Ellisse

Vi illustro di seguito un procedimento che fa "andare" dalla poligonale random all'ellisse. Tale procedimento, che ho trovato sul tumblr di Matt Henderson, è il seguente:
tracciate alcuni punti a caso su un foglio di carta e uniteli per ottenere una poligonale casuale. Trovate adesso i punti medi di ciascun segmento della poligonale e uniteli per ottenere una seconda poligonale. Continuando così più volte, la poligonale diventerà sempre più piccola  tendendo ad un'ellisse!

L'animazione, che vi propongo, illustra il procedimento prima indicato.

Circocentro E Incentro Dei Triangoli In Una Animazione

Ancora sul circocentro e l'incentro dei triangoli, questa volta in un'unica animazione, ragazzi di 1°B.

Lo scopo è quello di mettere in evidenza che questi due punti notevoli dei triangoli coincidono rispettivamente con il centro della circonferenza circoscritta e con il centro della circonferenza inscritta.

Ciò significa che i triangoli sono poligoni sempre inscrittibili e circoscrittibili ad una circonferenza, informazione questa che tornerà molto utile quando affronteremo lo studio sistematico del cerchio e della circonferenza.

Per il momento, analizzate con attenzione l'applet di GeoGebra, in cui verificherete ancora una volta che:

- il circocentro può essere interno ed esterno se un triangolo è rispettivamente acutangolo o ottusangolo; coincidere con il punto medio dell'ipotenusa, se il triangolo è rettangolo;

- l'incentro è sempre interno a qualsiasi triangolo, essendo il punto di intersezione delle sue tre bisettrici.

Triangoli: Circocentro In Movimento

E così siamo arrivati al Circocentro, il quarto punto notevole dei triangoli, che potete vedere in movimento in questo applet dinamico, da me realizzato con GeoGebra.

Come potete osservare, il circocentro può essere interno, esterno oppure trovarsi nel punto medio dell'ipotenusa secondo che il triangolo è acutangolo, ottusangolo oppure rettangolo. Il motivo di tale comportamento è da ritrovarsi nel fatto che il circocentro è il punto di intersezione degli assi dei lati del triangolo.

Ricordiamo che l'asse di un segmento è la retta perpendicolare nel suo punto medio! 

Di seguito i link agli applet degli altri tre punti notevoli:

- ortocentro
- baricentro
- incentro

Triangoli: Incentro In Movimento

Dopo l'ortocentro ed il baricentro dei triangoli, è la volta dell'incentro in movimento, ragazzi di 1°B! Siamo così arrivati all'applet del terzo punto notevole.

Ricordiamo che l'incentro è il punto di intersezione delle tre bisettrici  degli angoli di un triangolo. Le bisettrici, a loro volta sono le semirette che dividono ciascun angolo del triangolo in due angoli congruenti, come potete osservare nell'applet. L'incentro è il secondo punto notevole, come già il baricentro, che rimane sempre interno al variare del tipo di triangolo (acutangolo, rettangolo e ottusangolo).

L'incentro coincide, inoltre, con il centro della circonferenza inscritta nel triangolo, come vedremo in seguito, studiando la circonferenza.

E adesso l'applet dinamico di GeoGebra.

Triangoli: Baricentro In Movimento

Dopo l'ortocentro, ecco il baricentro in movimento in un applet di GeoGebra. E così siamo a due dei quattro punti notevoli dei triangoli.

Come potete osservare, ragazzi di 1°B, il baricentro rimane sempre all'interno del triangolo via via che questo, da acutangolo, diventa rettangolo e poi ottusangolo.

Il motivo è chiaro, vero?

In ogni caso, ribadiamolo! Il baricentro è il punto di intersezione delle tre mediane, segmenti che hanno per estremi un vertice del triangolo ed il punto medio del lato opposto.

Triangoli: Ortocentro In Movimento

Oggi abbiamo visto a scuola i segmenti ed i punti notevoli dei triangoli, ragazzi di 1°B.

Ho pensato di realizzare un applet con GeoGebra, dove potete osservare l'ortocentro in movimento. Notate come questo cada all'interno, nel vertice dell'angolo retto e al di fuori del triangolo via via che il triangolo da acutangolo diventa rettangolo ed ottusangolo.

Ho anche inserito la traccia attiva, che vi fa vedere la curva descritta dall'ortocentro al variare della sua posizione.

Vi lascio, per il ripasso complessivo, il link al post "Gli elementi notevoli dei triangoli", che abbiamo analizzato questa mattina a scuola.

Ettagono Regolare: Proprieta' E Costruzione

Da Wikipedia

Il progetto "Geometria senza curve" di Marco Cameriero continua nel suo percorso.
Questa volta vi segnalo il lavoro riguardante l'ettagono regolare, le sue proprietà e le modalità di costruzione.

Ragazzi del corso B siete invitati a visitare questo link (cliccare) e a leggere. L'esplorazione della nuova risorsa vi farà sicuramente del bene! Suvvia dunque.

Rappresentazione Interattiva Dei Quadrilateri Con I Diagrammi Di Eulero-Venn

Abbiamo da qualche tempo concluso lo studio dell'insieme dei quadrilateri (domani c'è la verifica scritta!). Vi ho preparato come sintesi, ragazzi di 2°B, una rappresentazione interattiva con i diagrammi di Eulero-Venn, grazie all'onnipresente GeoGebra.

Spuntando le caselle di controllo, presenti nel foglio dinamico di lavoro, si osserveranno comparire le diverse famiglie dei quadrilateri:

- quadrilateri generici;
- trapezi (quadrilateri aventi almeno una coppia di lati paralleli);
- parallelogrammi (quadrilateri aventi due coppie di lati paralleli;
- rettangoli (parallelogrammi aventi i quattro angoli congruenti);
- rombi (parallelogrammi aventi i quattro lati congruenti);
- quadrati (parallelogrammi che hanno le caratteristiche sia dei rombi che dei rettangoli).

L'Insieme Dei Parallelogrammi, Con Applet Di GeoGebra

Ragazzi di 2°B, proseguiamo con l'esplorazione, all'interno dell'insieme dei parallelogrammi, con un applet di GeoGebra, che vi farà osservare dinamicamente le proprietà di questi quadrilateri.

Ricordiamo che il parallelogramma è "un quadrilatero avente due coppie di lati paralleleli".

L'Insieme Dei Trapezi [Applet Di GeoGebra]

Ragazzi di 2°B, ecco qui per voi una breve sintesi sull'insieme dei trapezi, accompagnata da un applet interattivo di GeoGebra per visualizzarne dinamicamente le proprietà.

Ricordiamo che il trapezio è un quadrilatero avente almeno una coppia di lati paralleli, denominati basi (maggiore e minore).

Si hanno tre tipi di trapezi:

• trapezio scaleno;
• trapezio isoscele;
• trapezio rettangolo.

Costruiamo Le Diagonali Di Un Poligono [Applet GeoGebra]

Ragazzi di 1° B, come vi ho anticipato questa mattina a scuola, ecco l'applet di GeoGebra sulle diagonali di un poligono. Iniziate a guardarlo e a interagire, seguendo le indicazioni.

Potrete osservare sia il numero totale di diagonali che può contenere un poligono qualsiasi, sia il numero di diagonali uscenti da ciascun vertice. Troverete anche le due formule relative, ma prima di spuntare le caselle di controllo, che le renderà note, provate ad arrivarci da soli a queste due formulette. Non è difficile!

E' Sempre Possibile Costruire Un Triangolo? [Applet GeoGebra]

E' sempre possibile costruire un triangolo? Probabilmente, ragazzi di 1°B, vi suonerà strana questa domanda.

E invece non lo è  perché, come vedrete nell'applet di GeoGebra che ho approntato, dati tre segmenti, questi devono avere una determinata lunghezza per poter costruire un triangolo.

L'immagine che vedete di seguito è stata esportata dall'applet.

Somma Degli Angoli Interni Di Un Poligono Con Applet

Ragazzi di 1°B, continuiamo con lo studio delle proprietà generali di un poligono. Questa volta ho realizzato un applet, sempre con GeoGebra, riguardante la somma degli angoli interni.

Seguendo le indicazioni contenute nel foglio dinamico di lavoro, giungerete a comprendere che tale somma è data dalla seguente formula:

S =  (n - 2) * 180°

Costruiamo Il Tangram Con GeoGebra

Mezzani di 2°B, questa mattina a scuola abbiamo iniziato a studiare l'estensione superficiale dei poligoni, che l'anno scorso abbiamo analizzato dal punto di vista della lunghezza dei lati, delle diagonali e dell'ampiezza degli angoli.

Sempre stamane, abbiamo visto che figure non congruenti, ma composte dallo stesso numero di parti congruenti, hanno la stessa estensione superficiale ovvero risultano equiestese (o equivalenti). Abbiamo analizzato anche figure equistese per somma e differenza di parti congruenti.

Gli Elementi Notevoli Dei Triangoli [GeoGebra]

Ragazzi di 1° B, vogliamo farla una bella ripassata degli elementi notevoli dei triangoli?

Ho preparato quattro applet con Geogebra, in cui troverete definizioni e precisazioni oltre alla possibilità di interagire con le animazioni e osservare il comportamento di ortocentro, baricentro, incentro e circocentro, agendo sui vertici dei triangoli.