Matematicamente

mercoledì 22 febbraio 2012

Il Millenario Problema Dello Scivolamento Del Palo E Il Teorema Di Pitagora

Ragazzi di 2° B, ci stiamo addentrando sempre di più nello studio del Teorema di Pitagora e, non volendo accontentarci delle sole relazioni aritmetiche con cui si calcola un lato del triangolo rettangolo, noti gli altri due, abbiamo cercato di comprenderne il suo più profondo significato geometrico.

Da tale punto di vista, infatti, abbiamo compreso che il Teorema di Pitagora è un importantissimo problema di equiestensione (vedere il post dedicato). Abbiamo visto l'altro giorno come Bronowski ne spiega il significato in un video tratto dalla fortunata trasmissione della BBC degli anni settanta  "The Ascent of Man" (vedere il post Bronowski sul Teorema di Pitagora).
Ma non ci basta ancora perché vogliamo saperne di più, vogliamo arrivare al millenario diagramma di argilla, che ci aspetta nel nostro laboratorio scolastico (leggere Lettera dello scriba).

Ma prima analizziamo il millenario problema dello scivolamento del palo o della canna, di cui ci parla il nostro caro amico Aldo Bonet nel suo splendido lavoro "Genesi del  teorema di Pitagora" (leggere il post specifico).

Riporto dal documento le parole con cui lo introduce Aldo:
Il “Teorema di Pitagora”, uno dei due tesori della geometria, come scrisse Keplero, è un argomento ancora dibattuto dagli storici riguardo alla sua origine e paternità.
Anche se ormai è chiaro che è una leggenda quella del teorema legato al nome di Pitagora in quanto era conosciuto, non come “teorema generale” ma in forma di “regola generale”, almeno 1000 anni prima di Lui, dalle civiltà mesopotamiche che lo applicavano per la soluzione di un diffusissimo problema, noto come  “ il problema dello scivolamento del palo o della canna” conosciuto peraltro in tutte le antiche civiltà potamiche: Sumeri, Indiani, Cinesi ed Egizi, (Ved. Storia dell’Algebra, S. Maracchia, Liguori, 2005/09, da pag.102 a pag.107); un problema che ho matematicamente dimostrato essere legato (o forse meglio generato) alla contemplazione del diagramma d’argilla a modulo quadrato, l’antico e primigenio strumento algebrico di risoluzione in uso comune presso le sopracitate antiche civiltà.

Forse, il motivo del legame di questo teorema al nome di Pitagora è dovuto al fatto che fu il primo a tentarne uno svincolo di sudditanza al millenario diagramma d’argilla, a cui era vincolato, per adattarlo al più pratico papiro (l’internet dell’antichità) col solo uso dei più “moderni” strumenti quali erano all’epoca: riga e compasso. Un “teorema” che Pitagora trovò ampiamente applicato nelle rinomate e millenarie scuole mesopotamiche durante i suoi viaggi, importandolo così nella Magna Grecia, e precisamente a Crotone; ecco ciò che probabilmente vide e importò Pitagora dall’antica Babilonia..."
Ebbene, è arrivato il momento di affrontare  l'arcaico problema dello scivolamento del palo o della canna, così intimamente connesso con il Teorema di Pitagora. Ve ne ho parlato proprio oggi e vi ho detto che il nostro Marco, altro grande amico, ci ha fatto la sorpresa di realizzare un applet interattivo con GeoGebra su questo problema. (Il link alla fine del post)
Marco, infatti, ha raccolto il suggerimento venuto da Aldo, in un commento al post sull'Inverso del Teorema di Pitagora con applet  interattiva,  circa la possibilità di realizzare un applet anche per il problema dello scivolamento del palo.

Leggete prima con attenzione l'intero problema preso da "Genesi del teorema di Pitagora" di Aldo.

 UN NOTO PROBLEMA DELLE CIVILTÀ ARCAICHE: TAV. B.M. 85196 N°9
Vi è indubbiamente una somiglianza incredibile tra la matematica babilonese, quella cinese, egizia e indiana (anche tra la stessa matematica babilonese seleucida (III sec a.C.) e quella più antica (II millennio a. C.) tanto che ha fatto avanzare ad alcuni storici, e in modo particolare, a B.L. van der Waerden, un’origine matematica comune, anteriore a quella babilonese più antica, la quale, aveva già una matematica sviluppata e che fa pertanto presupporre l’esistenza di una matematica addirittura ancora più antica o pre-babilonese, forse di origine sumerica; personalmente, anche le mie ricerche vanno decisamente in questa direzione, nella direzione di un'unica e forse più vasta Civiltà Madre delle origini.
Una delle notevoli somiglianze che vanno a sostegno di questa ipotesi è l’applicazione, nonché la risoluzione pressoché identica tra le civiltà potamiche sopra indicate,  di un primitivo e particolare problema, assai diffuso già nell’alta antichità e noto come: il problema dello scivolamento del palo o della canna.
 
Un problema che implica, per la sua soluzione, la conoscenza precisa del “Teorema di Pitagora” e, come vedremo, perfettamente applicato. Il problema n°9 che si trova ad esempio, nella tavoletta babilonese BM 85196, considerata tra le più antiche, propone di calcolare di quanto si discosta alla base di un muro, un palo di canna inizialmente accostato verticalmente o aderente ad esso e di lunghezza nota d, se questo scivola verso il basso di una certa misura n anch’essa assegnata. Dello stesso tipo è il 24° problema del papiro del Cairo (I sec a.C)

 
Testo n° 9 BM 85196: Un palo (o una canna) lunga 30 posto verticalmente contro un muro, è disceso di 6 verso il basso. Di quanto si è allontanato alla base del muro?
 TAVOLA G


Dati del problema: n = 6; d = 30; Y =?

Questi sono i calcoli algebrici dello Scriba, tradotti da Thureau-Dangin, Textes Mathématiques Babyloniens, 1938, pag 42, 43, che traduco qui di seguito algebricamente:
 Il testo si conclude con queste parole: “Questo è il modo di operare”.
Fin qui, l’antico Scriba babilonese (antenato di Pitagora) dimostra una perfetta applicazione e la sua conoscenza del “Teorema di Pitagora”, ma, poiché i teoremi a quell’epoca, come Pitagora di Samo, non esistevano ancora, questa applicazione era meglio conosciuta come una regola, quella che io ho coniato come: la regola generale babilonese, la quale a mio parere, fu scoperta e visualizzata, attraverso l’arte costruttrice o edile, col diagramma d’argilla a modulo quadrato come abbiamo esaurientemente visto nelle TAVOLE A e B precedenti e quelle allegate alla fine di questo articolo.
Lo Scriba, avrebbe preventivamente preso e quadruplicato un modellino in scala del palo, ottenendone quattro per farli coincidere imprimendoli nelle rispettive diagonali di quattro mattoni rettangolo d’argilla fresca, e mettendoli poi in gioco dentro il noto diagramma d’argilla risolvente.

 
Un diagramma che, secondo il mio pensiero, dagli ingombranti mattoni originari con cui si materializzò, fu sostituito poi nel tempo con laterizi di minor ingombro e spessore, fino a quando, con la maggiore diffusione del papiro e della carta, i Cinesi lo sostituirono con il più comodo cartoncino colorato che veniva ritagliato in figure geometriche movimentabili e sovrapponibili al diagramma, il quale, riecheggiava la memoria del più antico e tradizionale diagramma d’argilla progenitore, mantenendo così inalterati, sia il modello, sia la tecnica, sia un metodo di tassellatura a movimento rigido che determinò l’antichissima regola generale babilonese, fatta coi mattoni e che fu l’archetipo algebrico-geometrico quale patrimonio comune a tutte le arcaiche civiltà potamiche.

Leggere Karine Chemla, Matematica e cultura nella Cina antica, Matematica, i luoghi e i tempi, a cura di C. Bartocci e P. Odifreddi, Einaudi Editore, 2007, da pag.91 a pag. 137; vedere inoltre:


Teorema di Pitagora su Wikipedia

oppure su Progetto Polymath.
 E adesso l'immagine esportata dall'applet realizzata da Marco con GeoGebra.


Avviate l'applet interattiva sul problema dello scivolamento del palo.


27 commenti:

  1. Che bel post! In effetti in questo antichissimo problema dello scivolamento del palo si vede perfettamente applicato il teorema di Pitagora!
    Che meraviglia! e presso civiltà così antiche...sembra incredibile.

    Annarita stai facendo un lavoro meraviglioso con i tuoi alunni.

    Molto bella l'applet realizzata da Marco. E che dire dei lavori di Aldo? Semplicemente straordinari.

    Complimenti a tutti.

    Ruben

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  2. bello questo post ! è molto interessante e istruttivo ciao chiara a.

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  3. Parlavo via mail di collaborazioni costruttive con l'amico Aldo, ecco, questo post ne è una prova concreta.
    Un lavoro certosino di ricostruzione storica e di analisi algebrica, studio minuzioso ed accurato dello storico della matematica Aldo; una divulgatrice scientifica di enorme caratura e docente con la didattica nel sangue Annarita. Qualcuno direbbe: "attenti a quei due". E si, da questi due ci si può aspettare di tutto, ma di quel tutto strettamente connesso con la conoscenza e la condivisione della stessa, il tutto condito con una passione sconfinata per la Matematica. Beh, è un onore per me essermi intrufolato tra questi due con una piccola "briciola tecnologica".

    Oggettivamente parlando, credo che si possa tranquillamente dire che chi davvero vuol conoscere Pitagora (prima, durante e dopo), non può non passare qui su Matem@ticamente e godersi le numerose e preziose risorse sull'argomento. Si può tranquillamente affermare che "quei due" hanno rivoltato Pitagora come un calzino, il tutto a favore dei lettori, ragazzi ed adulti che siano.

    Post bellissimo. Complimentissimi agli amici Aldo ed Annarita.
    Un salutone
    Marco

    PS:
    @ ragazzi di 2° B
    Approfittate di queste risorse, "triangolate rettangolarmente" tra i vari post della Prof. e Pitagora (ma la Matematica in generale) non avrà più segreti. La storia della Matematica non solo chiarisce tempistiche e dinamiche, ma aiuta a comprendere i vari processi mentali che si sono evoluti nel tempo, gli stessi processi mentali che noi dobbiamo imparare a mettere in moto.

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  4. Ambra, 2° Liceo Scientifico22 febbraio 2012 22:22

    Buonasera! Sono due ore che sto incollata alle pagine di questo meraviglioso blog! Non ho mai visto delle pagine di così alta qualità.

    Il problema dello scivolamento del palo è straordinario. Non ne conoscevo l'esistenza, come non conoscevo tante cose sul Teorema di Pitagora.

    Leggerò i lavori segnalati nei link. Mi incuriosisce molto il diagramma d'argilla che ho sentito decantare in queste pagine.
    Ma perché non se ne parla a scuola?

    Penso che la matematica fatta in questo modo attirerebbe molto di più gli studenti.

    Complimentissimi.

    A presto.
    Ambra

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  5. @ Ambra
    Hai perfettamente ragione: la Matematica non va "imposta" ed alimentata solo da fredde formule. Noi studenti abbiamo bisogno di essere incuriositi e stupiti ed in questo la Matematica riesce perfettamente; purtroppo molto dipende anche da chi te la racconta (non spiega, racconta). Troppo spesso il rapporto prof-studente si limita ad un travaso di dati ed informazioni senza il minimo "fuoco" che invece dovrebbe alimentare il desiderio di conoscenza. La scuola ha grossi limiti molti dei quali neanche dovuti a lei ma a tanti fattori esterni ed interni che intervengono, noi però non dobbiamo prendere questi problemi come delle scusanti. Oggi, soprattutto grazie ad Internet, ci si può auto-informare e quindi compensare le lacune che troviamo nella scuola. Il consiglio però è quello di farsi guidare perchè di informazione ne circolano a uffa e molte possono essere "farlocche". La blogsfera scientifica è un ottimo strumento che permette a noi studenti di approfondire. Naviga un po' e scegliti quei due o tre blogger che possono aiutarti ad orientarti nel marasma di informazioni di cui la rete è piena. Io ho fatto così e Annarita è la mia "guida" insostituibile.
    Ciao
    Marco

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  6. Ciao Annarita, anche se con difficoltà del P.C. come vedi riesco a commentare anch’ io.

    Intanto grazie ad Annarita e vorrei innazitutto ringraziare il professor Ruben per il suo costante interesse verso questi argomenti che sono anche le mie fatiche di una vita giovanile spese per la conoscenza….spese appunto. E’ confortante sapere che ci sono ancora professori così attenti alle vere novità culturali.

    La Genesi del Teorema di Pitagora si potrebbe definirlo, dopo il teorema di Pitagora secondo Jacob Bronowski: il teorema di Pitagora secondo Aldo Bonet”…..L’originale!

    Anche per rispondere ad Ambra, vorrei dire senza voler sembrare presuntuoso, che i miei lavori i miei studi meriterebbero certamente un premio Abel per la matematica che in questa vita, più solerte ai vizi capitali, certamente non avrò. Einstein diceva: “ Una teoria non si afferma con le prove, ma quando la vecchia classe di professori se ne va in pensione”

    Nel mio caso la vecchia classe è rappresentata dalla comunità degli storici della matematica ( SISM) che sperava in un silenzio che portasse i miei lavori in un dimenticatoio, in una mia scomparsa tanto per metterci le mani sopra, recentemente ci avevano già provato, però ho avuto la fortuna di incontrare prima, una onesta presidente di sezione della Mathesis Nazionale, direttori, professori, filosofi, poeti dotati di ottimi Siti e Blog, e poi la fortuna di aver incontrato casualmente la prof.ssa Annarita Ruberto che, lentamente, post su post, mi ha accolto queste fatiche che ora sono qui nei suoi Blog e di pubblico vantaggio nella speranza che anche la didattica scolastica si interessi veramente.

    Per ora mi fermo qui perché questo P.C. che ho in sostituzione , va da solo per i fatti suoi e gli occhi ora mi ballano.

    Un abbraccio, scusami Marco, a dopo.

    Aldo

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  7. è molto interessante prof! bravissimo Marco! Tampi=)

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  8. Ruben, dici bene! Quelle antiche civiltà sapevano applicare la relazione pitagorica. Il problema dello scivolamento del palo ne è una chiara evidenza. Non si può non rimanere affascinati di fronte a tutto ciò.

    Il merito è di Aldo, che ci ha offerto l'opportunità di venirne a conoscenza.

    Un salutone!

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  9. Ciao Chiara A. Mi fa molto piacere che sia venuta a leggere e apprezzare il post.

    RispondiElimina
  10. Caro Marco, l'intrusione con la tua "briciola tecnologica" ha evidenziato la modernità dell'antico problema dello scivolamento del palo!

    Gli arcaici studenti e scribi saranno lieti di sapere che i loro strumenti sono ora nelle mani degli studenti e degli scribi del terzo millennio: una continuità da brivido, non trovi?

    In quanto al fatidico "Duo", è lietissimo di diventare trio, quartetto e intera comunità che ama la conoscenza.

    Un salutone e grazie dell'applet.

    Annarita

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  11. Benvenuta, Ambra!:) Mi fa piacere conoscere un'altra ragazza in gamba che ama la matematica e la sua storia.

    Mi chiedi perché la matematica a scuola non usufruisca di risorse come quelle regalateci da Aldo Bonet? Uhm una domanda che richiederebbe molto spazio per la risposta. Diciamo, per sintetizzare, che se perle come questa e il diagramma di argilla etrassero nei manuali scolastici e se questi ultimi valorizzassero la storia della matematica, invece di lasciarla a margine, nelle note, cambierebbe l'approccio a questa splendida disciplina...perché significherebbe che è cambiato il punto di vista intorno alle cose.

    Un salutone e a presto!

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  12. Marco, sei sempre carino tu! Sono orgogliosa di essere la "tua guida insostituibile" nella giungla internettiana.

    Grazie anche per i validi consigli che elargisci ai lettori e ai miei ragazzi!

    Un salutone!

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  13. Caro Aldo, abbiamo discusso tante volte intorno agli episodi del tuo passato e posso comprendere la tua amarezza.

    Ma oggi si è aperta una porta: la grande porta di Internet, che sono sicura ti darà quanto merita la tua ricerca di una vita.

    La scuola sta cambiando...sta cambiando anche il modo di attingere alla conoscenza. I libri di testo, dal prossimo anno scolastico, dovranno essere utilizzati in formato digitale, scaricabile da Internet; tutto ciò comporterà inevitabilmente un cambiamento nel paradigma in cui verrà fruita la conoscenza.

    Guardiamo al futuro, dunque, con speranza, nonostante tutto!

    Un abbraccio
    Annarita

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  14. Sì, Tampi! E' molto interessante, Marco è bravissimo e Aldo Bonet insostituibile!
    Brava ad essere passata!

    Un salutone:)

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  15. Molto interessante !
    Complimenti a Marco per l'applet

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  16. @ Annarita
    "Gli arcaici studenti e scribi saranno lieti di sapere che i loro strumenti sono ora nelle mani degli studenti e degli scribi del terzo millennio: una continuità da brivido, non trovi?"
    Wow! Non l'avevo vista da questo punto di vista.
    "In quanto al fatidico "Duo", è lietissimo di diventare trio, quartetto e intera comunità che ama la conoscenza"
    E qui c'è una bella comunità vogliosa di apprendere e partecipare, qualche volta anche attivamente, ma il "Duo" è inarrivabile


    @ Aldo
    Speriamo che il tuo PC riparta al più presto e soprattutto che tu riesca a salvare tutti i tuoi preziosi contenuti.


    @ Tampi e Simone
    Sono contento che l'applet vi sia piaciuto, anche se è ben poca cosa e sono sicuro che con un po' di impegno anche voi potreste farlo. Quello che davvero merita è il lavoro di Aldo. Spero che voi troviate un po' di tempo per leggerlo perché c'è davvero molto da imparare e se qualcosa non dovesse esservi chiarissima, sono sicuro che sia Aldo che la Prof saranno ben lieti di rispondere ai vostri dubbi.

    Un salutone a tutti
    Marco

    RispondiElimina
  17. stefano pini 2b23 febbraio 2012 22:27

    molto bello e interessante prof ma soprattutto bravo marco!!

    RispondiElimina
  18. Marco è un ragazzo tecnologico giovanissimo, molto bravo direi e molto maturo per la sua giovane età. Marco ha accolto la mi sfida lanciata con un mio commento sul post precedente di Annarita: Inverso del teorema di Pitagora, così come Annarita stessa ha indicato qui nel presente post.

    E, come mi aspettavo per la sua fervida passione, il caro Marco ha raccolto subito questa mia sfida tecnologica tanto d’aver fatto un ottimo applet. Però Marco, io l’avrei chiamato più compiutamente, così come avevo indicato nel commento nel post soprindicato, il problema dello scivolamento del palo o della canna integrato al criterio dello scivolamento del quadrato.

    Marco, se credi, ti lancio allora un'altra sfida per completare meglio l’ottimo applet:

    Riusciresti a creare un applet integrativo ( in più) per inserirlo meglio dentro il criterio dello scivolamento del quadrato?

    Per avere un’idea di cosa intendo dire, puoi vedere in: Genesi del teorema di Pitagora, la seconda tavola di pag 21.

    Ovvero, con Geogebra, dovresti fare in modo di costruire sul palo il diagramma di argilla a modulo quadrato e farlo scivolare assieme (assieme al palo) visualizzando così il variare dei quadrati costruiti sui cateti ( come hai già fatto in questo tuo ottimo applet) e far vedere di conseguenza il variare sincrono delle dimensioni dei rettangoli interni che lo compongono; anche per rientrare con quello che mi avevi chiesto oggi sulle dimensioni dei rettangoli e della evidente generalità che il diagramma esprime.

    Il quadratino interno del diagramma (X-Y), quello della differenza dei due lati dei rettangoli componenti, giusto per intenderci, dovrà, a causa dello scivolamento, ingrandirsi o rimpicciolirsi, a seguito del variare dello scostamento (o scivolamento)….ok?...Sono stato chiaro Marco?...Sono sicuro che ci riuscirai alla grande!....Grazie Marco.

    Annarita cara, il tuo fervido ottimismo mi riempie il cuore ( tu vedi il bicchiere mezzo pieno!) e fai bene ad esserlo per il delicato lavoro che svolgi quotidianamente. Io invece, sono diventato uno scottato realista (vedo solo un bicchiere riempito a metà.) e posso dire per esperienza fatta, che il mondo mi appare proprio così: esattamente come ci è stato anticipato per bocca dei profeti….. di tutte le scienze e di tutti i tempi.

    Un forte abbraccio e un grazie di cuore Annarita e, un buon saluto a tutti.

    Aldo.

    RispondiElimina
  19. Mi scuso per ilritardo nella risposta ai commenti, ma non mi è stato possibile prima.

    Comincio, ringraziando Simone per essere passato a lasciare i suoi complimenti a Marco. Simo avresti dovuto apprezzare anche il lavoro di Aldo che ha ispirsto l'applet di Marco.

    Un salutone.

    RispondiElimina
  20. Wow! Non l'avevo vista da questo punto di vista.

    E' una riprova, ancora una volta, di quanto lo scambio sia proficuo,Marco!

    "In quanto al fatidico "Duo", è lietissimo di diventare trio, quartetto e intera comunità che ama la conoscenza"
    E qui c'è una bella comunità vogliosa di apprendere e partecipare, qualche volta anche attivamente, ma il "Duo" è inarrivabile.


    Per il duo inarrivabile, bontà tua Marco!

    Un salutone

    RispondiElimina
  21. Soprattutto bravo Marco e anche Aldo, Stefano!

    A domani!

    RispondiElimina
  22. Caro Aldo, hai ragione! Per mestiere sono portata a vedere sempre il bicchiere mezzo pieno altrimenti non potrei essere una buona insegnate!

    Non devi ringraziarmi.

    Sono io a dover sempre ringraziare te!

    Un abbraccio.
    Annarita

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  23. Annarita, sei meravigliosa Tu e i tuoi post dove si tocca con mano l'amore che hai per questa disciplina.
    Ma ti è toccata un'amica che legge tutto ma capisce poco.
    Un bacione ciao.

    RispondiElimina
  24. Grazie dell'apprezzamento, Rosaria. Lo so che leggi tutto, ma non è vero che capisci poco...

    Un abbraccio

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  25. E' stato bello leggere questo post (mi rammarico che l'applet dal mio pc non funziona) perchè piace vedere prof così impegnate nel loro lavoro.

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    Risposte
    1. @trovascuole: buongiorno e grazie dell'apprezzamento. L'applet non funziona perché non hai Java oppure il programma ha bisogno di essere aggiornato. E' gratuito e basta un clic per scaricarlo o per aggiornarlo.

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    2. Proverò ad aggiornarlo.
      ciao

      Elimina

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