Il Problema dei Tre Raggi

Il Problema dei Tre Raggi è l'apprezzabile lavoro svolto da Tamar Barabi, una studentessa israeliana del primo anno di scuola superiore. ll risultato dei suoi sforzi è stato pubblicato su Pi in the Sky* (Numero 20, 2017), alle pagine 26 e 27.

L'intraprendente fanciulla racconta come un bel dì, dopo aver risolto un esercizio di geometria, si rese conto che la risoluzione poteva esserne facilitata applicando un semplice teorema...che scoprì in seguito, con somma meraviglia, non essere stato ancora formulato!
Consultò, infatti, il suo insegnante e alcuni suoi parenti impegnati nel campo della matematica fuori del suo paese di origine, e alla fine- d'accordo con i suoi genitori- si mise in contatto con un professore universitario e altri esperti. 
Appurato che il teorema non era stato ancora formulato, nonostante la sua evidente semplicità e valenza logica, decise di elaborarne la formulazione con relativa dimostrazione, un po' aiutata in questo dal suo insegnante e da suo padre, insegnante pure lui.

Ecco a voi il teorema, in inglese.

Il Radiante e la sua Relazione con il Cerchio

In base alla mia esperienza di insegnante, il concetto di radiante non è così immediato per gli studenti della Scuola secondaria di 1° grado. Questa ottima animazione di Lucas V. Barbosa (fonte) può rappresentare un aiuto per la comprensione di tale concetto.

Un Po’ Di Cose Su Pi Greco

Fonte immagine

Vi propongo un video, che presenta Alex Bellos, scrittore, divulgatore, appassionato di matematica (ha studiato matematica e filosofia), e il professor Roger Bowley dell’Università di Nottingham. Il filmato è, purtroppo per quanti non lo masticano, in inglese. Dico purtroppo perché il contenuto è veramente interessante.

Alex Bellos ha dedicato a pi greco un intero capitolo del suo libro Alex's Adventures in Numberland. All’inizio del video ricorda che questo celebre numero esprime il più semplice rapporto possibile per la più semplice forma possibile: il cerchio. Pi greco, infatti, è ottenuto dal rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro.
Alla semplicità di tale rapporto non corrisponde, però, un numero altrettanto semplice perché pi greco è un numero irrazionale. Il che significa che, se si dovesse esprimere come un decimale, le cifre dopo la virgola sarebbero infinite. Le cifre decimali sembrano essere distribuite in modo casuale, tuttavia, ad oggi, non è stata scoperta alcuna prova in proposito.

Tale antitesi tra semplicità e caos ha affascinato da sempre le persone. Pi greco è stato il primo numero a disporre di un proprio simbolo…perché non si può scrivere 3, 1415…ogni qual volta lo si utilizza. Il simbolo è diventato, quindi, fortemente iconico.

Due Semicerchi Ricoprono La Metà Di Un Cerchio: La Soluzione

Pubblico, come anticipato, la soluzione del problema: "Due Semicerchi Ricoprono La Metà Di Un Cerchio". Il testo è qui.

Il "risolutore", che rigrazio, è Marco Cameriero. Prima, però, vi indico il sito, su cui è presente la soluzione, e da cui ho tratto, ovviamente, il testo del problema: cut-the-knot.org

Il testo in inglese è il seguente:

Assume AB and CD are parallel chords in a circle (O), with center O. Let M and N be the points of intersection of the diameter perpendicular to the chords with the chords. Assume, in addition, that the semicircles formed on the chords as diameters touch each other in point P on MN. Then the sum of the areas of the two semicircles is half the area of (O).

Due Semicerchi Ricoprono La Metà Di Un Cerchio

Propongo il seguente puzzle: "Dimostrare che l'area complessiva dei due semicerchi in colore è uguale all'area del semicerchio grande"!

Il risultato sorprendente è che i due semicerchi reciprocamente tangenti, i cui diametri sono corde parallele di uno stesso cerchio, occupano metà dell'area del cerchio qualunque siano le lunghezze delle corde.

Il problema non è facile, quindi è rivolto a ragazzi grandi e ad adulti. Però se voi di 3°B volete cimentarvi nella soluzione...nulla osta!

Lasciate il risultato del vostro ragionamento con un commento al post. Diciamo che, tra qualche giorno, sarà pubblicata la soluzione.

AGGIORNAMENTO: trovate la soluzione a questo link.

Un'Altra Utile Animazione Sull'Area Del Cerchio

Propongo a tutti, e in particolare ai ragazzi di 3°B, un'altra utile animazione sull'area del cerchio.
Una immagine o una buona animazione, in base alla mia esperienza, possono essere più evocative di tante parole, ai fini dell'apprendimento.

Il link che porta all'animazione è questo (cliccare). In realtà, si tratta di un mio post che ho pubblicato su G+, ma non posso incorporarlo qui sul blog perché ho avuto la "brillante idea" di pubblicarlo nella community "Mathematics" di G+. E a quanto pare, le community non consentono di esportare i post. Buono a sapersi!

Altre buone animazioni, riguardanti l'area del cerchio, le trovate nei seguenti post di Matem@ticaMente:


L'Area Del Cerchio In Una Visualizzazione Animata


Area del cerchio e metodo degli indivisibili

Come si ottiene la formula dell'area del cerchio?

E se ne volete sapere di più sul cerchio e dintorni, vi consiglio il post:

Sulla quadratura del cerchio e la trascendenza di pi greco

L'Area Del Cerchio In Una Visualizzazione Animata

Propongo, ai ragazzi di 3°B, l'area del cerchio in una visualizzazione animata. Osservando con attenzione il widget di G+, si può rilevare che si tratta di una visualizzazione molto intuitiva.

Infatti, l'animazione consiste di due GIF:
- nella prima, un disco è diviso in sedici settori circolari congruenti e srotolato lungo la circonferenza. La fila risultante viene, quindi, suddivisa in due parti, di cui una metà è ruotata e posizionata ad incastro sulla prima.
- Nella GIF in basso, un altro disco, uguale al primo, viene srotolato in un gradiente, che simula settori circolari infinitesimali. Tale disco, come il primo, viene anch'esso suddiviso allo stesso modo, poi ruotato, ed infine fuso con la prima metà.

Pertanto, l'area del cerchio, così riarrangiata, approssima l'area di un rettangolo, avente come base la semicirconfernza e come altezza il raggio.

Quadrato Inscritto E Circoscritto Alla Circonferenza

Dopo il triangolo equilatero, continuiamo lo studio delle relazioni riguardanti il quadrato inscritto e circoscritto alla circonferenza mediante l'ennesimo applet realizzato con l'impagabile GeoGebra.

Agendo sulle caselle di controllo contenute nel foglio dinamico di lavoro, potete osservare le relazioni tra gli elementi delle due circonferenze e quelli del quadrato, mentre, agendo sui vertici A e B, potete modificare la grandezza delle figure e rilevare come tali relazioni rimangano invariate.

Triangolo Equilatero Inscritto E Circoscritto Alla Circonferenza

Ragazzi di 3°B, vi propongo un applet realizzato con GeoGebra per rendere più chiare le relazioni tra un triangolo equilatero e la circonferenza inscritta e circoscritta.

Agite sulle caselle di controllo una alla volta, per facilitare la comprensione di tali relazioni.

Ricordate che, essendo il triangolo equilatero un poligono regolare, il raggio della circonferenza inscritta coincide con l'apotema, che è la distanza fissa tra l'incentro e ciascuno dei lati.

Area Del Cerchio E Metodo Degli Indivisibili

"Area del cerchio e metodo degli indivisibili" è un post per voi, 3°B! L'area del cerchio sapete già che cos'è ed il metodo degli indivisibili non è un'associazione di stampo filomassonico. Tranquilli! 

Guardate attentamente la seguente gif animata. 

Fonte dell'immagine