Matematicamente

domenica 15 giugno 2008

Lo Zero "0": E' Un Numero Naturale, Sì o No?

Cari ragazzi e cari colleghi, in questo periodo di vacanze estive, oltre a proporre  giochi di tipo matematico, paradossi e puzzle, curiosità e notizie storiche, ho pensato di fornire delle risposte a domande che sia voi alunni, ma anche adulti e colleghi, mi avete rivolto in sedi e tempi diversi.


La domanda che stiamo per affrontare in questo post è la seguente:"Lo zero può essere considerato un numero naturale o no?"


La domanda non banale, in base alla mia esperienza, viene posta quasi sempre in prima, ma anche negli anni successivi.



D'altronde i testi scolastici forniscono indicazioni differenti in proposito. In alcuni di essi si legge che Zo è l'insieme dei numeri interi compreso lo 0 mentre in altri si legge che è l'insieme dei numeri interi escluso lo 0.


(Gli studiosi della teoria degli insiemi a volte denotano l'insieme dei numeri naturali con ω, in relazione al concetto di numero ordinale. Quando è usata questa notazione, lo zero è incluso.)


La questione è interessante, per cui ho pensato di riportare l'esaustiva risposta di un esperto. Le sottolineature in colore sono mie.


Leggete di seguito e lasciate, come al solito, le vostre considerazioni e riflessioni con i commenti al post!


 ***


Paolo Negrini - Dipartimento di Matematica dell'Università di Bologna


La "scienza esatta" per eccellenza, la matematica, non riesce a dare una risposta univoca alla domanda se 0 sia oppure no un numero naturale!  Questo fatto può lasciare perplessi anche studiosi assai più esperti del giovane studente che desidera chiarimenti sull'argomento. Siamo infatti abituati a definizioni opportunamente rigide, che non lasciano spazio ad ambiguità o equivoci; per esempio "si dice rettangolo un quadrilatero con quattro angoli retti": questa frase non lascia dubbi su che cosa sia un rettangolo e che cosa non lo sia.

In effetti il problema qui sollevato riguardo allo zero non è molto grave.  Non si mettono in dubbio le proprietà o il comportamento di questo numero nelle operazioni; semplicemente si vuole stabilire se 0 appartenga oppure no ad un insieme denotato con un determinato simbolo.  Il dilemma sussiste in effetti più per l'insieme N dei numeri naturali, che per l'insieme Z dei numeri interi.

Ebbene, 0 è un numero naturale, si o no?

Giuseppe_PeanoLa descrizione assiomatica dei numeri naturali, dovuta al matematico piemontese Giuseppe Peano (1858-1932) poggia essenzialmente sul concetto di "successivo": intuitivamente, per spiegare "che cosa sono" i numeri naturali si stabilisce che:

* 0 (oppure 1: ecco il "dilemma") è il primo numero naturale.

** gli altri numeri naturali sono quelli che si ottengono addizionando ripetutamente 1 al primo numero; se siamo partiti da 0 abbiamo quindi

1 = "il successivo di 0" (intuitivamente, 0+1)

2 = "il successivo di 1" (intuitivamente, 1+1)

3 = "il successivo di 2" (intuitivamente, 2+1)

eccetera. 

L'assioma fondamentale è che di ogni numero naturale esista il successivo, e che questo non sia in nessun caso un numero già incontrato in precedenza.

L'idea non cambia se anziché partire da 0 si parte da 1; semplicemente ci si sposta di un gradino.  La scelta di partire da 0 oppure da 1, sulla quale i matematici non sono unanimi, trae origine dalle diverse applicazioni, per alcune delle quali risulta più conveniente la prima scelta, mentre la seconda è più vantaggiosa per altre.

Quando i numeri naturali sono utilizzati come "cardinali", cioè per contare è ragionevole comprendere fra di essi anche zero.  Se si deve, per esempio, fare una statistica su quante volte in un anno ciascun abitante di una determinata città va dal medico, la risposta che ogni intervistato darà è un numero intero positivo, oppure zero: è quindi necessario prevedere fra le risposte ammissibili anche zero. 

Invece, quando i numeri naturali hanno il ruolo di ordinali, cioè servono per stabilire un ordinamento fra elementi di un dato insieme, è normale partire da 1: la graduatoria di una gara, per esempio, di corsa, inizia dal 1° classificato, poi il , eccetera; non c'è alcun classificato al posto 0.

L'uso comune pone tuttavia un'eccezione a quest'ultima "regola": i piani delle case sono indicati con denominazione "ordinale": primo piano, secondo piano, ecc.; ma sotto al primo piano c'è il piano terra, al quale è naturale associare il numero 0.  In effetti la pulsantiera dell'ascensore inizia da zero (e a volte anche da -1, se l'ascensore ha la possibilità di condurci fino in cantina).

Concludendo, speriamo di avere chiarito che non è un vero problema se zero sia o no un numero naturale.  Importante è conoscere le proprietà di questo numero e degli altri, rispetto alle operazioni: per esempio, ogni numero addizionato a zero rimane invariato; ogni numero moltiplicato per zero dà come prodotto zero.

Rimane la scomodità di non avere mai la certezza, quando si consulta un testo di matematica, se con un certo simbolo, sia questo N, N*, N0, si intenda denotare i numeri naturali con primo elemento 0, oppure 1.  Per questa ragione molti libri di matematica riportano, in genere in seconda o terza di copertina o in introduzione, l'"elenco dei simboli", cioè quale significato sia assegnato in quel libro a ciascun simbolo.

***

___________________

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14 commenti:

  1. In definitiva, se ho ben capito, non esisterebbe una risposta univoca!!!


    Ciao.

    Daniela

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  2. Quindi, se consideriamo l'aspetto cardinale dei numeri lo zero è all'interno die numeri naturali, se consideriamo invece l'aspetto ordinale è fuori?

    RispondiElimina
  3. Straordinario, caro Gaetano, staordinario...come al solito!


    Dammi un po' di tempo e appena ho un attimo ne faccio un post!


    Un contenuto come questo non può rimanere confinato nei commenti.


    E bada bene che voglio anche la storia dello zero dei Maya in un post!


    Grazie, amico mio, per la tua straordinaria generosità e per la tua competenza.


    Un abbraccio. Annarita

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  4. e chi l'avrebbe mai detto che avrei letto cose sulla matematica per passatempo! Quando ho spiegato ai bambini le quattro operazioni mi sono soffermata molto sul ruolo dello zero! e io lo considero in questo caso un numero! non ha una significato ben definito lo zero e diciamo che lo usiamo anche per nostro comodo : vale e non vale! è proprio ambiguo.

    ciao

    elisa

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  5. Lo zero, nella nostra cultura occidentale, deriva dall'arabo "sifr", tradotto in latino come zefiro, anche nome di un vento.

    Lo zero esemplifica il concetto di nulla, di vuoto, dunque un non essere, un'assenza di qualcosa, ma comunque come tale riconosciuta. Proprio come il vento.

    Michelangelo

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  6. Cara Elisa, come passiamo il tempo noi insegnanti, eh?;)


    Lo zero è un numero che ha delle proprietà importanti rispetto alle operazioni. Insistere su questi aspetti è molto importante sin dalla scuola elementare anche se l'approccio ovviamente deve essere adeguato all'età dei bambini.


    Un caro saluto:)

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  7. Il dolce zefiro...


    Michelangelo, la componente romantica nella storia dello zero non era ancora comparsa;)


    Bella suggestione:)

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  8. @Daniela: hai inteso bene:)


    @perprova: hai inteso bene anche tu;)


    Un abbraccio, ragazzi!

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  9. A pensare che non troppo indietro nel tempo, a scuola si dava anche zero in condotta, per esempio!

    Annarita tu mi confondi con i complimenti!

    Ti ringrazio di cuore.

    Avrai anche la storia dello zero dei Maya.

    Occorreva vedere lo zero, così come ho fatto, ed ecco si è profilata la visione adatta per tutti dello zero. Non solo per gli accademici che se ne astraggono.

    Abbracci,

    Gaetano

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  10. Complimenti prof. e complimenti anche a Gaetano.

    Non sono colto sui numeri come voi due, ma amo scherzare.

    Se la matematica scienza esatta: ''La "scienza esatta" per eccellenza, non riesce a dare una risposta univoca alla domanda se 0 sia oppure no un numero naturale! Questo fatto può lasciare perplessi anche studiosi assai più esperti del giovane studente (e di me ignorante giornalista di provincia)che desidera chiarimenti sull'argomento. Siamo infatti abituati a definizioni opportunamente rigide, che non lasciano spazio ad ambiguità o equivoci; per esempio "si dice rettangolo un quadrilatero con quattro angoli retti": questa frase non lascia dubbi su che cosa sia un rettangolo e che cosa non lo sia. Posso pacatamente e serenamente che la definizione del rettangolo va bene anche per il quadrato (si e' lamentato con me dicendomi anche io ho quattro angoli retti e ho anche i quattro lati uguali).

    Torniamo a ''0'', e' naturale o no? E' giusto considerarlo naturale o e' sbagliato?

    Cara prof. il giusto e il sbagliato dipendono dalle situazioni. Nella situazione appropriata, niente e' sbagliato. Senza l' appropriata situazione, niente e' giusto. Quel che e' giusto in un caso non e' giusto in un altro. Quel che e' sbagliato in un caso non e' sbagliato in un altro.

    Non so se sono riuscito a spiegare se ''0'' sia naturale oppure no, certamente vi ho fatto capire la differenza tra giusto e sbagliato:

    Giusto?

    Nooo?

    Sapete che tra si' e' no ...

    Un abbraccio

    Vale

    PL



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  11. Nummeri


    - Conterò poco, è vero:

    - diceva l'Uno ar Zero -

    ma tu che vali? Gnente: propio gnente.

    Sia ne l'azzione come ner pensiero


    rimani un coso voto e inconcrudente.

    lo, invece, se me metto a capofila

    de cinque zeri tale e quale a te,

    lo sai quanto divento? Centomila.


    È questione de nummeri. A un dipresso

    è quello che succede ar dittatore

    che cresce de potenza e de valore

    più so' li zeri che je vanno appresso.

    ----------------------------------


    Ecco, questa poesia di Trilussa mi sembra proprio adatta e attuale. L'ho cercata in internet per inserirla nel tuo blog di matematica e sono capitato per caso in quello di un tuo collega, credo, dove ho letto una parte della storia avvincente e tragica di Galois della cui esistenza avevo saputo attraverso uno spettacolo teatrale molto bello ed intenso: Evariste, dal nome del giovane matematico.

    Per ringraziare il professore, anche se non lo conosco, riporto l'indirizzo:

    http://mauropiadi.splinder.com/post/17462418

    L'ho messo tra i preferiti con l'intenzione di leggerlo con più calma e soprattutto l'intera storia di gaulois. C'è anche una sua poesiola, sempre in romanesco, sullo zero e sull'uno che è veramente carina.

    Ciao, cara prof, un ringraziamento anche per gli interessanti commenti e non dimentico di esortare l'amico gaetano nel proporre, gentilmente, l'evoluzione del numero zero attraverso la storia dei Maja.

    Grazie, come sempre.

    p.s. a volte le ricerche in internet sembrano magiche, non trovi?

    Enzo.

    RispondiElimina
  12. @Gaetano: intesi! Ci conto per la storia dei Maya...


    @Pier Luigi: grazie per il commento dal contenuto ironico e intelligente. Sei una forza!!!


    @Enzo: grandioso!!! Ne terrò sicuramente conto nel prossimo post sulla storia dello zero. Grazie anche della segnalazione link. Ci farò un salto.:)


    Sono d'accordo con te che a volte le ricerche su Internet abbiano qualcosa di magico:)...

    A presto!

    RispondiElimina
  13. Lo 0 l'ho considerato sempre come numero naturale : 0+... 1 = 1


    conoscendone chiaramente le proprietà.

    Bellissima questa unità didattica.

    stella

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  14. Grazie dell'apprezzamento, Stella.


    A presto!

    RispondiElimina

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