Alcune Curiosità Sulle Terne Pitagoriche

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Prima di addentrarci nel percorso delle preannunciate curiosità, vale la pena ricordare che cos'è una terna pitagorica.

In parole brevi, si tratta di tre numeri interi positivi corrispondenti alle lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo- a, b, c, i due cateti e l'ipotenusa rispettivamente- per i quali è valida la relazione pitagorica:

a^2 + b^2 = c^2

(3, 4, 5) è un ben noto esempio di terna pitagorica, che è anche primitiva perché 3, 4 e 5 sono numeri coprimi (o primi tra loro o relativamente primi), cioè il loro massimo comun divisore vale 1.

La seguente gif animata vale più di mille parole...beh si fa per dire, ma non troppo in realtà!

Pythagoras Tree Fractal

Questo articolo è la ripubblicazione  di "Pythagoras tree (fractal)", un post che ho pubblicato su G+ qualche giorno fa, in cui ho fornito una spiegazione circa un particolare albero frattale, una gif  condivisa, sempre sul social network di Google, da Worldwide Center of Mathematics.

Vediamola allora questa gif.

Triangolo Emiequilatero: Applicazione Del Teorema Di Pitagora

Ecco per voi, ragazzi di 2°B, un applet di GeoGebra in cui potete seguire l'applicazione del Teorema di Pitagora al triangolo emiequilatero, ovvero il triangolo rettangolo con un angolo acuto di 30° e l'altro di 60°. Come ben sapete, tracciando una delle tre altezze del triangolo equilatero, si ottengono due triangoli emiequliateri congruenti appunto.

Il teorema di Pitagora ci consente di determinare l'altezza h del triangolo equilatero, nota la lunghezza del lato l, secondo la formula:

h = l/2 * 3^1/2

Nell'applet di GeoGebra potete osservare come cambia il valore dell'altezza al variare del lato del triangolo equilatero, grazie al testo dinamico che ho inserito.

Radice Quadrata Di Due o Costante Di Pitagora

Da Wikimedia Commons

Abbiamo visto, ragazzi di 2°B, che la diagonale del quadrato si ottiene moltiplicando la lunghezza del suo lato per la radice quadrata di due:

d = l * 2^1/2

Il che significa che il rapporto tra la diagonale del quadrato ed il suo lato vale radice quadrata di 2, che sappiamo essere un numero irrazionale, ovvero un numero decimale illimitato non periodico. Tutto questo ambaradan significa pure che la diagonale del quadrato ed il suo lato sono due grandezze incommensurabili. Lo ricordate, vero?

Non vi avevo, però, detto che tale numero irrazionale è noto anche come "costante di Pitagora" e che, insieme a pi greco (costante di Archimede) e al numero aureo, fa parte del trio di numeri più famosi della Matematica. Il primo è sicuramente il più popolare, il secondo esprime la bellezza e l'armonia universali, la radice di 2 è invece il più trascurato, tutto sommato.

Teorema Di Pitagora E Triangoli Rettangoli [Applet]

Poiché, come risaputo, il Teorema di Pitagora è valido per i triangoli rettangoli, la relazione pitagorica tra i lati di tali triangoli (il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti) può essere utilizzata per verificare che, considerato un qualsiasi triangolo, questo è un triangolo rettangolo se tale relazione è verificata per i suoi lati.

Allo scopo, ho realizzato un applet con GeoGebra. Muovendo i vertici del triangolo, questo si modificherà: potrete così verificare che la relazione pitagorica è valida soltanto per un qualsiasi triangolo rettangolo.
(Attenzione: l'angolo retto  è indicato con un quadratino!)

Ho realizzato l'applet a beneficio di tutti i ragazzi volenterosi che si trovassero a passare da queste parti.

Cliccando sul seguente link, troverete altre risorse sul Teorema di Pitagora:

http://www.lanostra-matematica.org/search/label/pitagora

Il Teorema Di Pitagora In 3D

Da science-animations una bella app interattiva sul teorema di Pitagora in 3D!

Sì ragazzi di 2°B e 3°B, avete compreso bene...il teorema di Pitagora in tre dimensioni.

Cliccate su questo link per  raggiungere la pagina dell'applet. Cliccate su "3D" nel menu orizzontale in alto e poi sul bottone verde in basso per avviare l'animazione.

Problema Con Pitagora Applicato Ai Triangoli Emiequilateri

Ecco a voi, ragazzi di 2°B, il problema di questa mattina con Pitagora applicato ai triangoli emiequilateri. Molti di voi hanno incontrato difficoltà nel risolverlo. Non a caso il libro di testo lo evidenziava in rosso, ovvero come problema complesso. Lo so, lo so: vi faccio lavorare sul difficile!

Il problema è sicuramente interessante e ricco di bella geometria! Ve lo propongo, risolto sul foglio dinamico di GeoGebra, che mi ha consentito di utilizzare sia i colori, per evidenziare le parti della figura coinvolte nella risoluzione, che il codice LaTex per scrivere i vari passaggi.

I valori ottenuti sono ovviamente approssimati laddove compare la radice di 3 e, di conseguenza, risulta approssimato anche il perimetro del quadrilatero interessato nella risoluzione.

Teorema Di Pitagora: Applicazione Al Quadrato

Il teorema di Pitagora, come ben sapete ragazzi di 2°B, è fecondissimo di applicazioni.

Questa mattina, a scuola, abbiamo visto la sua applicazione al quadrato. Tracciando, infatti, una delle diagonali, si ottengono due triangoli rettangoli isosceli (o emiquadrati), aventi, quindi, i cateti congruenti e i due angoli acuti di 45° ciascuno.

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo emiquadrato, si ottiene per la diagonale d la relazione seguente:

d = l  x 2^1/2

ovvero  d  è uguale al prodotto tra la lunghezza l del lato del quadrato e la radice quadrata di 2.

Matematica D’argilla: Generalizzazione Del Diagramma Quadratico

"Matematica D’argilla: Generalizzazione Del Diagramma Quadratico", ovvero "L’anello mancante dei mattoni poligonali regolari" è un gioiello prezioso firmato Marco Cameriero, che questa volta si confronta con la storia della matematica attraverso il favoloso e millenario diagramma di argilla a modulo quadrato di Aldo Bonet, il risultato di una annosa e poderosa ricerca storico-matematica di eccezionale valore condotta da Aldo.

Desta grande emozione constatare come uno studente 16enne sia riuscito a curarne, Aldo Bonet galeotto, una trasposizione e generalizzazione in chiave tecnologica, grazie alla interattività e dinamicità del software GeoGebra e alla preziosa consulenza storica di Aldo.

Scivolamento Del Palo Con L'Integrazione Del Diagramma Di Argilla

Ragazzi, vi propongo una nuova applet realizzata con GeoGebra da Marco, che questa volta ha raccolto una seconda sfida lanciata da Aldo Bonet in un commento al precedente post "Il Millenario Problema Dello Scivolamento Del Palo E  Il Teorema Di Pitagora".

La sfida consiste nel completare l'applet del citato post, costruendo sul palo il diagramma di argilla a modulo quadrato per  farlo scivolare contemporaneamente al palo stesso. In tal modo, saranno evidenziati sia il variare dei quadrati costruiti sui cateti che il variare sincrono (e conseguente) delle dimensioni dei rettangoli interni che lo compongono. 

Il Millenario Problema Dello Scivolamento Del Palo E Il Teorema Di Pitagora

Ragazzi di 2° B, ci stiamo addentrando sempre di più nello studio del Teorema di Pitagora e, non volendo accontentarci delle sole relazioni aritmetiche con cui si calcola un lato del triangolo rettangolo, noti gli altri due, abbiamo cercato di comprenderne il suo più profondo significato geometrico.

Da tale punto di vista, infatti, abbiamo compreso che il Teorema di Pitagora è un importantissimo problema di equiestensione (vedere il post dedicato). Abbiamo visto l'altro giorno come Bronowski ne spiega il significato in un video tratto dalla fortunata trasmissione della BBC degli anni settanta  "The Ascent of Man" (vedere il post Bronowski sul Teorema di Pitagora).

Ma non ci basta ancora perché vogliamo saperne di più, vogliamo arrivare al millenario diagramma di argilla, che ci aspetta nel nostro laboratorio scolastico (leggere Lettera dello scriba).

Inverso Del Teorema Di Pitagora Con Applet Interattivo

Ragazzi di 2° B, abbiamo visto che il Teorema di Pitagora è valido per i triangoli rettangoli. Vedremo, adesso, l'inverso del Teorema di Pitagora con un applet  interattivo.

Osservate le tre immagini successive, che ho esportato da un applet di GeoGebra da me realizzato (lo potete aprire alla fine del post).

TRIANGOLO RETTANGOLO

Bronowski Sul Teorema Di Pitagora

"Bronowski Sul Teorema Di Pitagora" (in lingua inglese Bronowski on Pythagoras' Theorem) è un video tratto da una serie televisiva del 1973 trasmessa dalla BBC,The Ascent of Man, ideata e condotta dallo stesso Jacob Bronowski.

Il video è stato più volte segnalato dal nostro amico Aldo Bonet nei suoi interventi. Ma chi era Bronowski? Jacob Bronowski (1908-1974) è stato un matematico britannico polacco ed ebreo. E' stato anche un biologo, uno storico della scienza, un autore di teatro, poeta e inventore. Deve la sua popolarità presso il grande pubblico soprattutto come scrittore della serie documentario della BBC del 1973, "L'ascesa dell'uomo".

Teorema Di Pitagora...Per I Piccoli, Con Tetrakys

Vi propongo un video sul Teorema di Pitagora, appositamente realizzato per i bambini piccoli mediante la manipolazione dei triangoli.

Il video è stato realizzato con  Tetrakys,  un materiale per l'apprendimento logico - matematico, che favorisce lo sviluppo mentale e cognitivo dei bambini nei primi anni di vita. Con tale materiale, i bambini possono manipolare, costruire, analizzare e destrutturare forme geometriche, intuitivamente e con un processo evolutivo, che inizia con l'elaborazione di strutture semplici per pervenire a costruzioni gradualmente più complesse.

Teorema Di Pitagora Con GeoGebra

Ragazzi di 2° B, vi propongo il teorema di Pitagora realizzato l'anno scorso con GeoGebra per l'attuale classe 3° B.

Vi invito ad osservare con attenzione l'applet doppia perché avrete un'ulteriore conferma del fatto che uno dei più famosi teoremi della storia della Matematica altro non è che un problema di equiestensione.

Bhaskara I E Una Dimostrazione Del Teorema Di Pitagora Di Aldo Bonet

Cari lettori e cari ragazzi interessati, pubblico un gradito "regalo" dell'amico Aldo Bonet, che ringraziamo sentitamente.

Si tratta di un documento che illustra una dimostrazione del teorema di Pitagora, attribuita a Bhaskara I.

Così scrive Aldo di suo pugno:

"Carissimi amici, questa precisazione che ho recuperato, grazie al post sulla genesi del teorema di Pitagora, è un regalo che faccio doverosamente a voi tutti che avete dimostrato disponibilità e interesse verso queste mie fatiche.

 Aldo B."

Genesi Del Teorema Di Pitagora Di Aldo Bonet

Pubblico un interessante articolo del nostro amico, e studioso di storia della matematica, Aldo Bonet, riguardante la genesi dell'arcinoto Teorema di Pitagora! (Lo stiamo trattando in questi giorni...con forbici, colla e cartoncino, ragazzi di 2°B!)

Ma leggiamo come introduce l'argomento, Aldo Bonet.

Un Importante Problema Di Equiestensione: Il Teorema Di Pitagora

Cari ragazzi di 2° B, stiamo affrontando da una settimana il teorema di Pitagora. Interessante, vero? Ma anche impegnativo!

Come vi ho anticipato a scuola, ho creato un'applet multipla di GeoGebra in cui troverete due fogli dinamici: il primo presenta la relazione pitagorica come un problema di equiestensione; il secondo riguarda una verifica numerica del teorema,  considerando l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa e confrontandola con la somma delle aree relative ai due quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo.