Tre Rettangoli Aurei In Un Icosaedro Regolare

Ragazzi, con questo post approfondiremo la conoscenza dell'icosaedro regolare, uno dei cinque solidi platonici che già conoscete.
Sapete già che questo particolare poliedro regolare è formato da 20 triangoli equilateri congruenti, ha inoltre 30 spigoli, ovviamente congruenti, e 12 vertici.

Non sapete, invece, che i 12 vertici dell'icosaedro regolare possono essere ottenuti intersecando tre rettangoli aurei reciprocamente ortogonali.

Ma vediamo prima che cos'è un rettangolo aureo.

In geometria, un rettangolo aureo è un rettangolo le cui lunghezze dei lati sono tra di essi nel rapporto aureo 1: (1 + sqrt (5))/2, cioè 1: φ (la lettera greca phi), dove φ vale approssimativamente 1.618.

Nella figura (a + b) / a = a/ b = 1, 618 = φ

Rettangolo aureo

Cubi In Movimento

Immagine trovata in rete

"Cubi in movimento", in lingua inglese "Cubes in motion", si riferisce ad una gif raffinata e suggestiva, in cui figurano dei cubi che si muovono circolarmente con un effetto tutto da osservare.

Tale gif mi ha dato l'occasione di pubblicare un post in lingua inglese su Google plus, in cui faccio riferimento ai cinque solidi platonici, dato che il cubo o esaedro regolare è un poliedro platonico.

Non mi dilungo a descrivere la gif, perchè la riporto di seguito affinché possiate ammirarla.
Ritengo che le gif animate, se fatte bene, siano di sicuro impatto visivo e possano suscitare la curiosità dei ragazzi. Pertanto, rappresentano un accattivante strumento al servizio della didattica.

► Vi segnalo, infine, alcuni post del blog dedicati ai solidi platonici:

Cubo o esaedro regolare (con applet)

I cinque poliedri platonici animati

Tetraedro regolare dissezionato in 24 pezzi uguali (Animazione)

I solidi platonici in video

Solidi platonici, Microcosmo e Macrocosmo

Il Potere Terapeutico Del Cubo Di Rubik

Da un post di Erno Rubik su G+

Qualche giorno fa ho pubblicato su Google+ il post "The therapeutic power of Rubik's cube" ovvero "Il potere terapeutico del cubo di Rubik".

Il titolo si riferisce ad una mia esperienza educativa con un alunno autistico, risalente ai miei primi anni di insegnamento. 
Ve ne ho fatto cenno oggi a scuola, ragazzi di 1°B, con la promessa di parlarne in un articolo qui sul blog.

Inizio, fornendovi qualche informazione sul cubo ed il suo inventore Erno Rubik.

Il 29 marzo scorso, la Commissione Europea, nella persona del suo presidente Barroso, ha celebrato il 40° anniversario dell'invenzione del cubo di Rubik.

A Bruxelles, per l’occasione, è arrivata una gigantesca torta a forma di cubo, che Erno Rubik ha tagliato con comprensibile soddisfazione.

Le permutazioni dell'originale cubo di Rubik (3x3x3) sono: 

43.252.003.274.489.856.000

Un numero stratosferico...ed una sola è la permutazione giusta.

Tetraedro Regolare Dissezionato In 24 Pezzi Uguali [Animazione]

Propongo una utile ed interessante animazione relativa al tetraedro regolare dissezionato in 24 pezzi uguali. L'animazione è stata realizzata da Christopher Hanusa, che seguo su G+, attualmente professore di Matematica al Queens College di Flushing, NY.

Questo il link al mio post su G+.

Il tetraedro regolare è uno dei cinque poliedri regolari o solidi platonici, che potete vedere animati a questo link di Matem@ticaMente (cliccare).

Un poliedro è regolare se le sue facce sono poligoni convessi regolari e congruenti.
Le facce del tetraedro regolare sono quattro triangoli equilateri congruenti. Tre è il numero di facce e il numero di spigoli concorrenti in ciascuno dei suoi vertici. Questo solido platonico ha l'angolo diedro di 70° 32'.

Eversione Della Sfera E Paradosso Di Smale

Fonte dell'immagine

Con l'espressione "eversione della sfera" ci si riferisce, in Topologia differenziale, al fatto non intuitivo che è possibile "rovesciare" una sfera (vuota), e "rivoltarla" come un guanto, in uno spazio tridimensionale con eventuali autointersezioni ma senza creare alcuna piega, per mezzo di una deformazione continua. 

È sottinteso che è impossibile ottenere tale trasformazione con una sfera fisica e che ci stiamo riferendo ad una sfera matematicamente idealizzata, vero? Meglio precisarlo...non si sa mai;)


Veniamo al Paradosso di Smale.

Sfera In Movimento

Ragazzi di 3°B, ecco per voi l'applet "Sfera in movimento", che ho realizzato con GeoGebra. Lo so che le lezioni sono terminate, ma ci sono gli esami, vero? Un ripassino, pertanto, è sempre utile!

La sfera si ottiene dalla rotazione completa di un semicerchio attorno alla retta alla quale appartiene un diametro del semicherchio stesso.

I punti dello spazio restano suddivisi, dalla sfera generata, in tre sottoinsiemi:

- l'insieme dei punti interni alla sfera;

- l'insieme dei punti appartenenti alla superficie sferica;

- l'insieme dei punti esterni alla sfera.

La superficie della sfera è  espressa dalla seguente formula:

As = 4 * pi greco * r^2

Il suo volume è espresso dalla formula:

Vs = 4/3 * pi greco * r^3

Area Totale E Volume Del Cilindro In Movimento

Ecco a voi, ragazzi di 3°B, un applet di GeoGebra sull'area totale ed il volume del cilindro in movimento, per ripassare quanto già svolto da un po' di tempo.

L'animazione consente di "vedere le formule" e nello stesso tempo  il calcolo dinamico di area e volume, al variare dell'altezza del cilindro e del suo raggio di base.

Mi auguro che possa esservi di aiuto! Spuntando le caselle di controllo una alla volta, o tutte assieme, potete focalizzare l'attenzione sugli elementi che vi interessano di volta in volta.

Piramidi In Movimento...con GeoGebra

Dopo l'esaedro regolare, ecco, per voi di 3°B, l'applet "Piramidi in movimento"! 

GeoGebra è impagabile.

Mi auguro che risulti più chiara la geometria di questo poliedro, sicuramente meno facile degli altri studiati in precedenza.

La piramide è un solido "trasformista" poiché la sua base può essere un poligono qualsiasi.

Limitandoci alle piramidi rette e a quelle regolari, ricordate che le prime hanno per base un poligono circostrittibile ad una circonferenza e che il piede della sua altezza coincide con il centro di tale circonferenza.

La piramide regolare è retta ed ha per base un poligono regolare. Il tetraedro regolare, ovvero la piramide regolare limitata da quattro triangoli equilateri congruenti, è uno dei cinque solidi platonici.

Vi invito a consultare un applet da me realizzato l'anno scorso (sempre sulla piramide), che può essere di aiuto.

E adesso...le piramidi in movimento! Agendo sullo "zoom", presente nel foglio dinamico, potete rimpicciolire ed ingrandire le piramidi.

Cubo O Esaedro Regolare [Con Applet]

Ragazzi di 3°B questo applet di GeoGebra sul cubo o esaedro regolare è per voi. Muovete gli slider, come indicato nel foglio dinamico,  in modo da osservare il poliedro da diversi punti di vista.

Potete anche aprirlo e chiuderlo in modo da visualizzare i sei quadrati che ne compongono la superficie.

Ricordate che il cubo è un tipo di parallellelepipedo rettangolo, ovvero quello avente le tre dimensioni congruenti. Le sue diagonali sono anch'esse congruenti ed è uno dei cinque solidi platonici.

Poliedri Archimedei O Poliedri Semiregolari

Archimede in un dipinto di
 Domenico Fetti (1620)
Fonte: Wikipedia

«Summis ingeniis dux et magister fuit»
«Dei più alti ingegni fu guida e maestro»
(J.L. Heiberg, Archimedis opera omnia III, Prolegomena XCV)

Nel 2013 cade il 2300esimo anniversario della nascita di Archimede di Siracusa, il più celebre matematico, ingegnere, fisico e inventore dell’antichità, una delle più grandi menti  scientifiche mai esistite.

Il 2013 è, pertanto, l’Anno archimedeo e L’Unione matematica italiana intende promuovere la conoscenza e l’attualizzazione del suo pensiero e della sua straordinaria figura.

In collaborazione con il Piano Nazionale Lauree Scientifiche (PNLS), l'UMI ha bandito un concorso a premi che mira a incentivare l'interesse dei giovani nei riguardi della matematica, a valorizzare i collegamenti della matematica con le altre discipline scientifiche e a contribuire alla sua diffusione nella società italiana, favorendo anche la cooperazione tra i giovani e con i loro insegnanti. 

Prismi In Movimento Con Applet

I prismi non sono dei poliedri semplicissimi da trattare a causa del loro trasformismo, poiché le loro basi possono essere dei poligoni convessi diversi: triangoli, quadrati, trapezi, rombi, pentagoni ecc.

Ho pertanto realizzato un applet con l'onnipotente GeoGebra per supportare, grazie al dinamismo del movimento, la comprensione di tali solidi.

Nell'applet sono presenti tre prismi regolari: rispettivamente a base triangolare, pentagonale, esagonale.
Ricordate, ragazzi di 3°B, che un prisma regolare è un prisma retto avente per base un poligono regolare! Pertanto, essendo le basi poligoni regolari e congruenti, posti su piani paralleli, le facce laterali saranno rettangoli tra loro congruenti,in numero pari ai lati dei poligoni di base.

Solidi In Movimento Con Applet Interattivo

Stiamo per entrare nel vivo dello studio dei solidi con voi di 3°B.

Ho pensato, pertanto, di farmi avanti realizzando un applet  interattivo con GeoGebra, mediante cui potrete "manovare" alcuni poliedri e solidi di rotazione (e vederli in movimento) per iniziare a prendere confidenza con essi.

L'interattività vi aiuterà a comprendere meglio quali sono i loro elementi principali. Muovendo il cursore bianco, è possibile ingrandirli o rimpicciolirli; muovendo il bottone verde potrete muoverli in varie direzioni.

Posizioni Di Un Piano Attorno A Una Retta Nello Spazio

E' un po' difficile immaginare le posizioni assunte da un piano attorno a una retta, nello spazio.

Per  tale motivo, ragazzi di 3°B, ho realizzato un applet di GeoGebra, che vi sarà di aiuto a visualizzarle.

Muovendo il punto di colore arancione, vedrete le successive posizioni assunte dal piano attorno alla retta che passa per i punti A e B. Potrete facilmente dedurre che esse sono infinite.

Rette Complanari Con GeoGebra

Come sapete, ragazzi di 3°B, gli oggetti reali sono tridimensionali, ovvero hanno una estensione spaziale e, pertanto, sono costituiti da punti che non appartengono ad un solo piano, come accadeva alle figure geometriche, che avete studiato nei due anni precedenti.

Osservando la realtà che ci circonda, a noi familiare, non abbiamo difficoltà a cogliere la spazialità degli oggetti...il problema comincia quando dobbiamo rappresentare tali oggetti su un foglio di carta, come avete già verificato.

In questo post, ho realizzato tre distinti applet con GeoGebra, che hanno il vantaggio dell'interattività e della dinamicità e possono perciò darvi una mano a comprendere meglio gli enti geometrici nello spazio.

Poligono Nel Piano Cartesiano, Simmetrie, Parallelepipedo Rettangolo

Pubblico lo svolgimento del 1° quesito relativo all'ultima prova scritta su: poligono nel piano cartesiano, simmetrie, parallelepipedo rettangolo. Mi riferisco ovviamente a voi, ragazzi di 3°B!

Nei prossimi giorni pubblicherò lo svolgimento dei quesiti rimanenti.

Di seguito, il testo del problema:

Poligono Nel Piano Cartesiano E Poliedro: Problema Svolto

Vi propongo, ragazzi di 3°B, un problema svolto inerente ad un poligono nel piano cartesiano e ad un poliedro, come esercitazione per la prova interna d'esame.

Leggete con attenzione il testo:

"In un riferimento cartesiano ortogonale (u = 1 cm), rappresenta il quadrilatero avente i seguenti vertici: A(-4; 1), B(-1; 1), C(-1; 3), D(-4; 3).

a. Che tipo di quadrilatero hai ottenuto?

b. Calcolane perimetro e area.

c. Effettua la simmetria di asse x e la simmetria di centro O(0; 0).

d. Supponendo che il quadrilatero ottenuto sia la base di un fermacarte di marmo (densità = g/cm3) alto 3cm, disegna il solido nel piano euclideo. 

- Di che poliedro si tratta?

Calcolane:

- l'area totale e il volume;

- la massa."

Solido Composto Da Cilindro E Cono: Problema Svolto

Ecco per voi, ragazzi di 3°B, un problema svolto su un solido composto da cilindro e cono.

Testo del problema

Del solido in figura, si conosce la misura del diametro di base, 28 dm, e la misura dell'altezza della parte cilindrica, 32 cm. Sapendo che l'altezza del cono è i 3/8 di quella del cilindro, calcolate la massa M del solido in tonnellate, considerando che è composto di una lega la cui densità d è 7,5 g/cm^3.

Volume Di Una Sfera In Un Video

Un video per trovare il volume di una sfera, assegnato il suo diametro, per voi, ragazzi di 3°B.

Il filmato è in inglese, ma si comprende facilmente il procedimento esemplificato. Guardatelo con attenzione e, se ci divesse essere qualche problema di comprensione, ne parleremo in classe.

Il Tetraedro Dinamico Con GeoGebra

Il tetraedro dinamico è un'animazione che ho ottenuto con GeoGebra. Muovendo i punti P, Q, e C potrete far ruotare, rimpicciolire, ingrandire il poliedro, oppure modificare come volete la posizione del piano su cui è appoggiato.

GeoGebra è un software incredibilmente efficace che è di enorme aiuto nella comprensione sia delle figure piane che di quelle solide.

Ricordate, ragazzi di 3°B, che il tetraedro è una piramide la cui superficie è formata da quattro triangoli. Se i triangoli sono equilateri e congruenti, si ha il tetraedro regolare che è uno dei poliedri platonici.

Cono Per Rotazione Del Triangolo Rettangolo [Applet GeoGebra]

Ecco a voi, ragazzi di 3°B, un applet sul cono, che ho appena realizzato con GeoGebra.

Come già sapete, il cono è un solido ottenuto dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei suoi cateti, che rimane fisso e individua l'asse di rotazione.

Durante la rotazione, l'altro cateto descrive il cerchio e la circonferenza di base, mentre l'ipotenusa genera la superficie laterale del cono.

Posto di seguito l'applet su cui potete intervenire interattivamente, seguendo le indicazioni ivi contenute.