Matematicamente

martedì 28 febbraio 2012

Scivolamento Del Palo Con L'Integrazione Del Diagramma Di Argilla

Ragazzi, vi propongo una nuova applet realizzata con GeoGebra da Marco, che questa volta ha raccolto una seconda sfida lanciata da Aldo Bonet in un commento al precedente post "Il Millenario Problema Dello Scivolamento Del Palo E  Il Teorema Di Pitagora".

La sfida consiste nel completare l'applet del citato post, costruendo sul palo il diagramma di argilla a modulo quadrato per  farlo scivolare contemporaneamente al palo stesso. In tal modo, saranno evidenziati sia il variare dei quadrati costruiti sui cateti che il variare sincrono (e conseguente) delle dimensioni dei rettangoli interni che lo compongono. 

Il riferimento per la costruzione dell'applet si trova in "Genesi del teorema di Pitagora", nella seconda tavola di pag. 21, riportata qui di seguito.



Segue un'immagine esportata dall'applet di Marco.



Come potrete osservare nell'applet, il quadratino interno (color rosa) di lato (X-Y) [dove  (X-Y) esprime la differenza tra le lunghezze dei due lati dei rettangoli componenti il diagramma di argilla] si ingrandirà o rimpicciolirà a causa del variare dello scivolamento. Osservate con attenzione il variare dell'area gnomonica.

Avviare l'applet sullo scivolamento del palo con l'integrazione del diagramma di argilla.

Aggiornamento

Aggiorno il post con il commento di Aldo Bonet.

Ciao Annarita, ben tornata.

Vorrei fossero inserite alcune immagini al fine di confrontarle con l’applet di Marco.

Marco ha accolto la mia sfida (non facile), rispondendo con un ottimo applet esplicativo.

Sono rimasto emozionato nel vedere la tecnologia di Gegebra che ha preso forma e dinamicità nelle mani del bravissimo Marco; ho potuto vedere agevolmente ciò che, con fatica, ho sempre tentato di spiegare mediante la staticità della carta, come tu hai evidenziato con la mia tavola sul criterio di rotazione del quadrato (frecce, freccine verticali, orizzontali, in movimento ecc).
Da ciò scaturisce la mia ferma convinzione che il diagramma di argilla è stato smontato e trasferito in bidimensionalità da Pitagora e dalle sue scuole per essere adattato all’epoca, con il solo uso di riga e compasso, al più “moderno” papiro (l’internet dell’antichità), poiché esso evidenziava la stessa difficoltà nell’esprimere una fedele rappresentazione grafica tridimensionale e dinamica del diagramma di argilla babilonese, che, invece, le rinomate scuole mesopotamiche mantenevano in atto, con la loro tecnica empirica e artigianale.
Questa, se pur definita da Platone più appartenente ai comuni e rozzi operai, era, invece, molto più vicina alle attuali modellazioni tecnologiche e ciò grazie allo spostamento rigido dei vari pezzi di argilla, effettuato mediante equiscomposizioni, equicomposizioni, equisovrapposizioni, rotazioni, traslazioni, ribaltamenti ecc., che mal si conciliavano, purtroppo, con la staticità grafica del papiro.

1) Nell’applet di Marco, impostando le prime due spunte (Muro e pavimento, Diagramma di argilla) e facendo scivolare il palo, si può vedere il critero di rotazione o scivolamento del quadrato che ha generato il problema dello scivolamento del palo o della canna e non viceversa. Togliendo/ impostando più volte la spunta relativa al Diagramma di argilla, la cosa ci apparirà molto chiara. Far scivolare un quadrato era equivalente a far scivolare il suo lato, un lato che all’epoca (prima di Pitagora) era ancora visto come una striscia con spessore, una concezione che ha facilitato l’idea sostitutiva del palo o della canna. Chi conosceva il problema dello scivolamento del palo, conosceva il criterio dello scivolamento del quadrato e, quindi, il diagramma di argilla a modulo quadrato.

2) Muovendo il palo, si osserverà il rimpicciolimento e l’ingrandimento al limite del quadrato centrale ( X-Y): un concetto prescientifico di “limite” che andava così ad assumere consapevolezza. I babilonesi lo potevano rilevare con una iterazione all'interno di un quadrato disegnato su una tavoletta di argilla oppure con la sovrapposizione (a mo’ di torre di babele) di pezzi quadrati in argilla.

3) Eguagliando i valori di X e Y , X=Y, ovvero portandoli nell’applet di Marco ad un valore di circa 21,22 si osserverà una cosa interessante: scompare il quadrato (X-Y) e i lati dei rettangoli si conformano in quattro identici quadrati; l’immagine geometrica risulterà identica a quelle riscontrate sulla tavoletta BM 15285 con i relativi problemi esposti, vedere nella Fig. 3, estratta dal mio lavoro, pubblicato su Periodico di Matematiche n° 3, 2008 a pag. 39, Il diagramma di argilla, geometrico risolvente a modulo quadrato, che governava l’intera arte algebrica degli antichi scribi. Un paradigma che ha aperto le porte alla cultura matematica delle civiltà arcaiche:


PROBLEMI GEOMETRICI BABILONESI RICONDUCIBILI AL SUPPOSTO CASO LIMITE X = Y

                                       TAVOLETTA BM 15285


4) L’area gnomonica, identica all’area del quadrato costruito su uno dei due cateti (nel caso dell’applet di Marco sarà Y), è fondamentale per la risoluzione dell’antico problema del palo in quanto figlia della regola generale Babilonese, tra la diagonale e i lati di un mattone rettangolare qualsiasi, che serviva  allo scriba per delineare i passaggi empirici, risolutivi del problema, che erano collegati al diagramma di argilla.

Vedere di seguito il mio allegato 11, presente a pag. 66 del Periodico di Matematiche n° 3, 2008.



25 commenti:

  1. bravi ! Marco e Aldo questo post e bellissimo ciao chiara a.

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  2. Questa applet realizzata da Marco, avendo come riferimento il diagramma di argilla, mi sembra ben fatto. Si riesce a vedere molto bene lo scivolamento del diagramma man mano che scivola il palo lungo il muro.

    E' tutto molto affascinante. Complimenti a Marco per la realizzazione e ad Aldo...per aver lanciato la sfida.

    Arte

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  3. Proooof, mondiale! Che bella l'applet e come si vedono bene lo scivolamento del palo insieme a quello del diagramma di argilla.

    Mi ricorda il teorema di Pitagora!

    A.

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  4. Intanto grazie a te per aver pubblicato questo nuovo applet e grazie ad Aldo che con le sue "sfide" non solo mi ha permesso di divertirmi un po' con Geogebra, ma soprattutto mi ha dato modo di apprezzare ancora di più il suo notevolissimo lavoro sulla storia del Diagramma d'argilla e sui suoi aspetti algebrico-geometrici anticipatori della moderna algebra e geometria.

    Pensare che partendo da 4 semplici mattoni rettangolari d'argilla si potesse dedurre tutta una serie di considerazioni, costruzioni e teoremi matematici, è a dir poco stupefacente (1000 anni prima dello stesso Pitagora... e scusate se è poco!!!) e noi dobbiamo sempre ringraziare Aldo che con il suo lavoro di ricostruzione storica, ci ha permesso di venirne a conoscenza. Quindi il mio invito rimane sempre lo stesso: leggere il lavori che Aldo concede e che Annarita contribuisce a diffondere.

    Per quanto riguarda Geogebra e gli applet, spero solo che incuriosiscano e divertano, ma soprattutto che spingano ad approfondire l'immenso lavoro di ricostruzione storico-matematica del caro amico Aldo.

    Un salutone
    Marco

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  5. Ciao Annarita, ben tornata.

    Ti scrivo con questa e-mail per la difficoltà che ho, tramite il commento, nell’ inserire le immagini che seguono e che vorrei fossero confrontate con l’applet di Marco.

    Marco ha accolto la mia sfida (non facile) con un ottimo applet esplicativo.

    Sono rimasto emozionato nel vedere la tecnologia di Gegebra che ha preso forma e dinamicità nelle mani del bravissimo Marco, ho potuto vedere agevolmente ciò che con fatica ho sempre tentato di spiegare mediante la staticità della carta come tu hai evidenziato con la mia tavola sul criterio di rotazione del quadrato (frecce, freccine verticali, orizzontali "in movimento" ecc)…per questo sono sempre stato convinto che il diagramma di argilla è stato smontato e trasferito in bidimensionalità da Pitagora e dalle sue scuole per adattarlo all’epoca, col solo uso di riga e compasso, al più “moderno” papiro (l’internet dell’antichità!), poiché evidenziava la stessa difficoltà nell’esprimere una fedele rappresentazione grafica tridimensionale e dinamica del diagramma di argilla babilonese, dove contariamente invece, le rinomate scuole mesopotamiche mantenevano in atto con la loro tecnica empirica e artigianale, la quale, se pur definita da Platone più appartenente ai comuni e rozzi operai, era invece molto più vicina alle attuali modellazioni tecnologiche e, questo grazie allo spostamento rigido dei vari pezzi di argilla che avvenivano mediante: equiscomposizioni, equicomposizioni, equisovrapposizioni, rotazioni, traslazioni , ribaltamenti ecc.. e che mal si conciliavano purtroppo con la staticità grafica del papiro.


    1) Nell’applet di Marco, impostando le prime due spunte ([v] Muro e pavimento, [v] Diagramma di argilla) e facendo scivolare il palo, si può vedere il critero di rotazione o scivolamento del quadrato che ha generato il problema dello scivolamento del palo o della canna e non viceversa. Togliendo/ impostando più volte la spunta relativa al [v] Diagramma di argilla, la cosa ci apparirà molto chiara. Far scivolare un quadrato era equivalente a far scivolare il suo lato, un lato che all’epoca (prima di Pitagora) era ancora visto come una striscia con spessore, un modo di vedere che ha facilitato l’idea sostitutiva del palo o della canna. Chi conosceva il problema dello scivolamento del palo conosceva il criterio dello scivolamento del quadrato e quindi, il diagramma di argilla a modulo quadrato.


    2) Muovendo il palo si osserverà il rimpicciolimento e l’ingrandimento al limite del quadrato centrale ( X-Y), un concetto pescientifico di “limite” che andava così a prendere coscienza. I babilonesi lo potevano rilevare con una iterazione dentro un quadrato disegnato su una tavoletta di argilla o con la sovrapposizione ( a mo’ di torre di babele) di pezzi quadrati di argilla, messi uno sopra l’altro.


    3) Eguagliando i valori di X e Y , X=Y, ovvero portandoli nell’applet di Marco a circa 21,22 si osserverà una cosa interessante, scompare il quadrato (X-Y) e i lati dei rettangoli si conformano in quattro identici quadrati, l’immagine geometrica risulterà identica a quelle riscontrate sulla tavoletta BM 15285 con i relativi problemi esposti, vedere qui: Fig. 3 estratta dal Periodico di Matematiche n° 3 2008 pag 39, dal mio lavoro:Il diagramma di argilla, geometrico risolvente a modulo quadrato, che governava l’intera arte algebrica degli antichi scribi. Un paradigma che ha apero le porte alla cultura matematica delle civiltà arcaiche:


    PROBLEMI GEOMETRICI BABILONESI RICONDUCIBILI

    AL SUPPOSTO CASO LIMITE X = Y

    TAVOLETTA BM 15285


    [FIGURA N°3] PRIMA PARTE

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  6. SECONDA PARTE



    4) L’area gnomonica, identica all’area del quadrato costruito su uno dei due cateti ( nel caso dell’applet di Marco sarà Y) è fondamentale per la risoluzione dell’antico problema del palo in quanto figlia del regola generale Babilonese, tra la diagonale e i lati di un mattone rettangolare qualsiasi, che serviva allo scriba per delineare i passaggi empirici di risoluzione al problema che erano collegati al diagramma di argilla.

    Vedere qui il mio Allegato n° 11, pag 66 , Periodico di Matematiche n° 3 2008:

    [ ALLEGATO N°11]

    Un abbraccio

    Aldo

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  7. Chiara A, brava per aver letto e apprezzato.

    A domani!:)

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  8. Arte, concordo! Il diagramma di argilla, il problema dello scivolamento del palo, e le impliczioni che ne derivano per la conoscenza hanno qualcosa di straordinariamente affascinante. Ripercorrere il cammino storico millenario dei nostri predecessori conferisce senso e pienezza al nostro agire attuale.

    Un salutone.

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  9. A? A, chi? Qualceh dettaglio per la tua identificazione, prego...

    A presto!

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  10. Pensare che partendo da 4 semplici mattoni rettangolari d'argilla si potesse dedurre tutta una serie di considerazioni, costruzioni e teoremi matematici, è a dir poco stupefacente (1000 anni prima dello stesso Pitagora... e scusate se è poco!!!)...

    Già, Marco, è a dir poco stupefacente tutto ciò! Non mi stancherò mai di ringraziare Aldo per aver scelto questo blog come veicolo della sua enorme, generosa, disinteressata ed eccezionale ricerca storica a favore della verità matematica.

    E'anche confortante il constatare l'interesse di un ragazzo giovane come te nei riguardi di tutto questo. I miei birbanti sono piccoli, ma iniziano a comprendere il valore e la bellezza della ricerca storica svolta dal nostro amico Aldo.

    Ti ringrazio per l'apporto e per l'esortazione nei riguardi dei ragazzi.

    Un salutone.

    RispondiElimina
  11. Ciao, Aldo! Ti ringrazio del bentornata così come del certosino commento, che esplica puntualmente l'applet realizzata da Marco.

    Integrerò il tuo commento e le relative immagini nel post, perché costituisce una risorsa imperdibile a chiarimento e approfondimento di quanto l'applet vuole rappresentare.

    Un abbraccio.
    Annarita

    RispondiElimina
  12. Un post davvero illuminante! Tra l'applet e le spiegazioni di Aldo, ne viene fuori una bella immersione/esposizione alla comprensione del diagramma di argilla, generativo del problema dello scivolamento del palo o delal canna.

    Complimenti a tutti per la realizzazione dell'ottimo post.

    Ruben

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  13. Oggi ho ricevuto un "pacchetto" e già questo è da considerarsi un avvenimento visto che con la posta ordinaria noi "nativi digitali" abbiamo poco a che fare (non sapevo neanche che il CAP del mio paese era cambiato). Ma la vera gioia è che questo pacchetto conteneva un estratto del "Periodico di matematiche" numero 3 del Set-Dic 2008 con la pubblicazione di Il diagramma d'argilla, geometrico risolvente a modulo quadrato, che governava l'intera arte algebrica degli antichi scribi. Un paradigma che ha aperto le porte alla Cultura Matematica delle Civiltà arcaiche..
    E questa è stata una gioia ma non una sorpresa visto che Aldo me lo aveva promesso; la sorpresa è stata constatare che il pacchetto conteneva anche il libro " La scienza di Talete, il tutto accompagnato da alcune righe dello stesso Aldo che però tengo per me. Sono stato felicissimo.
    Ma perché vengo a dire i cavoli miei qui? Perché mi sembra giusto che si sappia (per chi ancora non lo sapesse), che Aldo non è solo una persona con una profonda cultura scientifica, ma è anche e soprattutto una persona a cui sta a cuore che la Cultura venga condivisa e promulgata, soprattutto a noi ragazzi che ci stiamo formando e che da questa cultura potremmo trarre benefici che a nostra volta dovremmo (dobbiamo) condividere. E' un esempio e io voglio ringraziarlo pubblicamente.
    Si comprende bene come Aldo abbia trovato "terreno fertile" ed una profonda simbiosi con la nostra carissima padrona di casa, fatta della stessa pasta di quello stampo da cui nascono solo persone di intelletto generoso.
    [continua]

    RispondiElimina
  14. [continuazione]
    Chiudo questa mia divagazione (non per me) con l'introduzione del bellissimo libro di Aldo in cui...
    " Si narra che Talete avesse insegnato questa sua recente scoperta a Mandrolito di Priene il quale, molto dilettato dalla nuova e inattesa conoscenza, lo esortò a dire quanto volesse essere retribuito per un insegnamento così importante. E Talete, il sapiente, rispose: - sarebbe per me una ricompensa sufficiente se ciò che hai appreso da me non lo attribuirai a te stesso ma, quando inizierai a divulgarlo, dirai che io e non altri sono l'autore di questa scoperta - "

    Mi è sembrata la giusta conclusione...
    Ancora grazie Aldo.
    Un abbraccio a te cara Annarita ed un salutone a tutti.
    Marco

    RispondiElimina
  15. Ciao, Ruben. Hai colto la bellezza del diagramma di argilla e la sua importanza fondamentale per la risoluzione del problema dello scivolamento del palo.

    Grazie dei complimenti, che vanno, nello specifico, ad Aldo e Marco.

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  16. Caro Marco, ti ringrazio di averci reso partecipi della gioia che hai provato nel ricevere, oggi, il dono di Aldo, perché in tal modo hai messo in luce la caratteristica principale del nostro comune e caro amico: la generosità nell'elargire condivisione ai fini della Conoscenza

    Neanche per me tutto ciò è divagazione e riporto qui la bellissima introduzione a "La Scienza di Talete":

    " Si narra che Talete avesse insegnato questa sua recente scoperta a Mandrolito di Priene il quale, molto dilettato dalla nuova e inattesa conoscenza, lo esortò a dire quanto volesse essere retribuito per un insegnamento così importante. E Talete, il sapiente, rispose: - sarebbe per me una ricompensa sufficiente se ciò che hai appreso da me non lo attribuirai a te stesso ma, quando inizierai a divulgarlo, dirai che io e non altri sono l'autore di questa scoperta - "

    Ricambio l'abbraccio.

    Annarita

    RispondiElimina
  17. Intanto ancora un grande grazie ad Annarita per l'aggiornamento (corretto) del mio commento e per il suo prezioso apporto continuo che rende gratuitamente fruibile queste importanti ricerche storiche e che solo per questo meriterebbe un Premio per la migliore divulgazione scientifica.

    Un grazie alla piccola Chiara e, non possono che farmi piacere i commenti di validi insegnanti come la prof.ssa Arte e dell’immancabile professor Ruben e sentire che trovino illuminante questo lavoro di squadra col giovane Marco, decisamente un bel esempio di come dovrebbe essere una collaborazione rispettosa, onesta e costruttiva.

    Vorrei aggiungere, che l'arte empirica degli antichi scribi mesopotamici, se la vogliamo guardre bene, non era poi così rozza. Ancora oggi, nella quitidianità, per misurare un lato lineare (o Euclideo) di una qualsiasi figura geometrica usiamo una striscia larga con spessore: La cordella metrica! E ancor oggi, esattamente come gli antichi babilonesi facevano nei loro problemi empirici, usiamo un lato solido unitario per operare nei nostri mestieri: Il metro solido da sartoria! Pertanto, l'idea di sostituire un lato geometrico (a fascia larga o solido) con un palo o una canna per interpretare il problema dello scivolamento, non era difficile.

    Marco è un ragazzo che aiuterà molto il diagramma di argilla che ormai si trova a suo agio con le moderne tecnologie; forse le ha attese per riscattarsi dal papiro?

    Ti ringrazio Marco di questa tua felicità che ti ha rapito nel vederti recapitare a domicilio queste mie fatiche giovanili ( e non); e se lo hai manifestato qui, vuol dire che la mia sorpresa ha fatto centro. Ti ho spedito questi miei studi che ho iniziato circa alla tua età, perché te lo meriti e anche loro sono felici di trovarsi nelle mani di un giovane ragazzo promettente.

    Devi sapere però, che questo dono non l’ho fatto ad altri, anche Annarita a cui gli avevo spedito lo stesso estratto attende ancora la spedizione de, La Scienza di Talete e dei rimanenti pezzi del diagramma di argilla già da tempo promessi e che per ragioni che Lei capirà, dovrò ritardare ancora un po’. Però adesso, paghi il pegno! Terza sfidaaa! Ah,ah,ah… Quindi, visto che sei stato bravo e hai fatto tanto, riusciresti a concludere l’applet sullo scivolamento del palo estendendolo anche agli altri diagrammi di argilla? Ovvero al Diagramma a modulo: Triangolare, Pentagonale, Esagonale, ecc… probabilmente, nemmeno gli antichi babilonesi avranno fatto una simile estensione, ma sarà divertente e interessante…..anche per me.

    Un abbraccio.

    Aldo

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  18. E'un ottimo lavoro!L'applet,avendo come riferimento il diagramma è molto bello,e devo fare grandi complimenti a Marco per questo ottimo lavoro.Mostra molto bene tutti i passaggi,ed è un bel modo per ripassare il teorema di pitagora.Complimenti anche ad Aldo per questa "sfida"!
    Grazie per il post,
    saluti

    RispondiElimina
  19. Aldo, non devi ringraziarmi. E i premi non mi interessano. Mi interessa, invece, tutto ciò che riguarda l diffusione della vera conoscenza.

    Marco è un ragazzo che aiuterà molto il diagramma di argilla che ormai si trova a suo agio con le moderne tecnologie; forse le ha attese per riscattarsi dal papiro?

    Sono d'accordo con te!
    Mi auguro se ne aggiungano altri di giovani in gamba a sostenere la causa del diagramma di argilla!

    Devi sapere però, che questo dono non l’ho fatto ad altri, anche Annarita a cui gli avevo spedito lo stesso estratto attende ancora la spedizione de, La Scienza di Talete e dei rimanenti pezzi del diagramma di argilla già da tempo promessi e che per ragioni che Lei capirà, dovrò ritardare ancora un po’.
    Annarita non ha fretta, comprende e sa aspettare!

    Un abbraccio
    Annarita

    RispondiElimina
  20. Grazie a te, Eleonora, altra giovanissima ragazza in gamba, per il commento e per l'apprezzamento.

    Un salutone
    Annarita

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  21. grazie mille Aldo e Marco questo post è davvero interessante! Tampi

    RispondiElimina
  22. Grazie mille Aldo e Marco questo post è davvero interessante!

    RispondiElimina
  23. Sofia e Allegra 2b13 marzo 2012 17:51

    Questo post è davvero bello ed interessante.
    Grazie Aldo e Marco(: .
    Ciao,a domani!

    RispondiElimina
  24. Passo per un doveroso ringraziamento a Eleonora, Chiara 2B, Sofia 2B e Allegra 2B.
    Mi fa molto piacere che l'applet vi sia piaciuto.

    Io direi che oltre all'applet e soprattutto ai lavori scientifici di Aldo, sarebbe il caso di mettere in evidenza il concetto di "sfida". Come vedete Aldo ha proposto delle sfide ben sapendo che a me piacciono perché tramite le sfide si risolvono problemi ed un po' alla volta si cresce. Ora provate a pensare ai compiti, ai problemi che la prof vi dà come a delle sfide e non come a sterili compiti da fare solo per non rischiare di prendere un brutto voto. Quello che fate tutti i giorni a scuola con la prof è come andare in palestra per allenarsi; voi allenate la mente e la prof è il vostro allenatore che vi aiuta e consiglia, un allenatore il cui unico scopo è che voi vinciate la partita più importante, la vostra crescita personale. Se gli atleti di qualsiasi sport si allenano duramente per ore ed ore è perché vogliono che il loro fisico reagisca correttamente ed al meglio nel momento del bisogno durante la gara. Beh, voi (noi) a scuola dovremmo fare lo stesso, mettere un po' sotto sforzo il cervello con sfide, problemi, compiti ecc. in modo che questo muscolo meraviglioso sia ben allenato e pronto per la partita della vita.
    Scusate se ogni tanto risulto "palloso" (conoscete bene il significato del termine) ma forse sentirsi dire certe cose da qualcuno che ha solo pochi anni più di voi, rende "il predicozzo" più accettabile (spero) che non sempre fatto da un adulto (genitore o prof che sia).

    Un salutone a tutti
    Marco

    RispondiElimina
  25. Sofia ed Allegra il "ciao e domani" è ovviamente rivolto alla sottoscrita. Avremo infatti due ore da trascorrere insieme.

    Bravi tutti a voi ragazzi per avere letto e apprezzato.

    A domani!;)

    RispondiElimina

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