Matematicamente

domenica 5 febbraio 2012

Semplificazione Del Procedimento Di Archimede Per Il Calcolo di Pi

Propongo di seguito un interessante lavoro di Gaetano Barbella dal titolo "Semplificazione Del Procedimento Di Archimede Per Il Calcolo Di Pi", fondato su una ispirazione al metodo grafico in uso presso gli antichi egizi. Essa semplifica il procedimento secondo cui Archimede calcolò i termini molto approssimati del valore di pi greco compreso tra  3+10/70 e  3+10/71.

E’ vero che gli Egizi hanno usato questa tecnica nell’arte (vedere qui). E Gaetano ha già affrontato questo problema nei suoi seguenti lavori: qui  e qui.
L'autore impiega questo metodo, pensando che Archimede lo abbia utilizzato come una sorta di lente di ingrandimento sul lato del poligono: un metodo grafico (ingrandimento/riduzione) in uso nelle arti degli antichi egizi.

Questo metodo a reticolato, sovrapposto sulla figura geometrica, lo fece vedere anche Paolo Zellini nel 1999 nel suo noto Libro GNOMON, Adelphi, pagg. 254, 255, 256, che lo collega pure ai procedimenti indiani esposti nel Sulvasutra.

Riporto di seguito, per completezza, alcuni riferimenti che vanno nella direzione del lavoro di Gaetano:
Un lavoro sul metodo di esaustione di Franco Marianelli, Leonardo Teglielli, Leonilde Rossi e Giulia Scaccia.

Inoltre, quando si parla del metodo di esaustione, non si può non citare l'ebook di Aldo BonetLettera dello Scriba” perché non si può escludere il diagramma di argilla, che conteneva, tra le tante cose, anche i concetti prescientifici di limite e infinito.

Nell’ebook, infatti, come potete leggere da pag. 130 a pag. 138, si evince uno sviluppo, già avvenuto nell’antica Babilonia, del diagramma di argilla a modulo quadrato verso altri diagrammi di argilla poligonali regolari (triangolari, pentagonali, esagonali, ecc). Certamente, queste antiche imbastiture di argilla, come potete ben vedere, hanno successivamente e visibilmente influenzato i primi metodi di esaustione dei matematici greci del V e IV secolo a.C, dal metodo di Antifonte, sviluppato poi da Eudosso, per giungere alla massima maturità con Archimede. La prova di questo influsso sta nel fatto che anche lo Stomachion archimede, così come il Tangram cinese, hanno avuto le loro più antiche ispirazioni nel millenario diagramma di argilla.
*****

Semplificazione Del  Procedimento Di Archimede Per Il Calcolo di Pi

Al link "Archimede ed il calcolo di pi", viene presentata una lezione di livello universitario su un argomento molto interessante quale il calcolo di pi greco effettuato da Archimede nel terzo secolo a.C.
Introduzione della lezione
Nel terzo secolo a.C. Archimede approssimò il valore di pi greco con un metodo innovativo che si basava sul calcolo dei perimetri di due poligoni, uno inscritto nel cerchio e l'altro circoscritto, per trovare così un'approssimazione alla circonferenza del cerchio. Egli riconobbe che il rapporto fra la lunghezza della circonferenza di un cerchio e quella del suo diametro erano costanti.

Come abbiamo visto, diverse approssimazioni di Pi erano già state calcolate dai babilonesi, dagli egiziani ed anche dai cinesi, ma il metodo utilizzato da Archimede differisce dalle precedenti approssimazioni per un passaggio fondamentale: nelle precedenti dimostrazioni per approssimare pi greco con semplicità, si otteneva un valore attraverso il confronto fra l'area (o il perimetro) di certi poligoni con quella del cerchio.

Il metodo utilizzato da Archimede è nuovo perché è un procedimento iterativo, con cui si può trovare un'approssimazione accurata quanto si desidera semplicemente ripetendo il processo, usando le precedenti stime di Pi per ottenerne di nuove.
Nella spiegazione del metodo, Archimede ha saltato molti passaggi e quelli pervenuti spesso non sono chiari, così gli studiosi di matematica hanno introdotto delle varianti al suo metodo per applicarlo in una via più semplice...

Illustro ora una mia concezione dello stesso procedimento, che si è delineata seguendo il metodo grafico applicato dagli antichi egizi per risolvere cose di geometria. Essa semplifica il metodo secondo cui Archimede calcolò il valore  molto approssimato di pi greco compreso tra  3+10/70 e  3+10/71.


 «[...] gli Egiziani avevano famigliari i reticolati a maglie quadrate che essi adoperavano con vari modelli che si trovano, ad esempio nel Museo Egiziano di Torino, come i pittori fanno ancora oggi, per ingrandire od impicciolire disegni secondo una determinata scala. Essi conoscevano l'uso del compasso [...]»  e quindi fare ragionamenti onde arrivare alla concezione della regola di Rind per la quadratura del cerchio, secondo l'ipotesi di uno studioso, il Sig. G. Vacca in una nota pubblicata nel Bollettino di Bibliografia e Storia delle scienze matematiche. (Citazione tratta dal libro Matematica dilettevole e curiosa di Italo Ghersi, pag. 360 – Edizione Hoepli).

Il diagramma dell'illustrazione porta alla semplificazione del procedimento di Archimede per il calcolo di pi greco, ricorrendo al metodo grafico. Il risultato si allinea al valore 3+10/70, che è il limite inferiore pi greco ottenuto da Archimede. Quello superiore è 3+10/71, come suddetto. 

La retta OB relativa ad AB = ¼ π ∙ 20, passa approssimativamente per il punto d'incrocio dell'ascissa 14 con l'ordinata 11.
CD = 20 ∙ 11/14 = 20 ∙ ¼ (3+10/70).
Semplificando 11/14 = ¼ (3+10/70) = 0,785714285...

Ma si può obiettare che pi greco, in teoria, non lo si può delineare e perciò non potremmo stabilire il giusto segmento AB, però c'è modo di rimediare. Si ricorre alla sezione aurea in questa versione:

20 ∙ √0,618033988...= 20 ∙ 0,786151377...  che è molto approssimato a 20 ∙ ¼π = 20 ∙ 0,785398163..., però 20 ∙ ¼ (3+10/70) = 20 ∙ 0,785714285..., di Archimede, come si vede, ha un'approssimazione migliore.

Avremo così:

CD = 14/20  AB = 11,00611929... che è circa 6/1000 > dell'ascissa 11.

E se AB = 20 ∙ ¼π,

CD = 10,99557429... che è circa 3/1000 < dell'ascissa 11.

15 commenti:

  1. Che bel post!È interessante approfondire il procedimento per il calcolo del Pi,e l'articolo "semplificazione del Procedimento di Archimede per il calcolo di Pi" è molto istruttivo ed espone questo complesso argomento in modo semplice e comprensibile!
    Saluti e grazie per questo bel post!

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  2. Ciao, Eleonora. Dobbiamo ringraziare Gaetano per questo interessante post che ho pubblicato volentieri.

    Sono contenta che una ragazza giovane come te apprezzi un argomento non certo semplice.

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  3. Felice di rileggere il nostro caro Gaetano, anche se Gaetano sa che per me è difficile lasciare un commento e so che mi scuserà.

    Conosco la preparazione di Gaetano e so che Annarita pubblica solo il meglio.
    Mi fido di tutti e due.

    Complimenti a Gaetano per il suo lavoro e alla nostra cara Annarita che divulga con generosità e rispetto in nome della Conoscenza Del Sapere.

    Un abbraccio a tutti e due.

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  4. Rosaria, hai sempre parole gratificanti. Lo so che la Matematica non è il tuo forte, ma apprezzo molto la tua determinazione nel volerla avvicinare tramite Matem@ticaMente.

    Un abbraccio.
    Annarita

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  5. Mi stavo appunto chiedendo che fine avesse fatto il nostro dotto amico Gaetano quand'eccolo spuntare con cotanto di accostamenti illustri rispetto ai quali non sfigura affatto.

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  6. Mi capita spesso in questi ultimi tempi di "assentarmi" dai blog di Annarita in particolare. Ma poi ricompaio euforico come un pescatore con un ottimo pescato. Oggi, reduce da un approccio con Archimede, e ancora più indietro con gli antichi egizi, mi è stato "raccomandato" di aggiornare i loro "calcoli" su pi greco. Mettiamola così sul conto delle buone idee sorgive che il simpatico Nobel Feynman diceva che vengono dal mistero, ma a lui del mistero non gliene fregava niente, conta l'idea su cui divertirsi. I matematici di vocazione, e con loro i fisici teorici, sono come dei fanciulli che hanno bisogno di queste cose per riempire la loro vita e così sopportare i gravami che vi derivano.

    Ringrazio Eleanora per avermi sollevato dalla pena di non essere un buon divulgatore di argomenti come la matematica (che poi in questo caso è elementare).

    Ringrazio la cara amica Rosaria per l'impegno all'approccio di cose un po' "straniere", se non "extraterrestri". Mi sovviene il tempo giovanile quando mi impegnavo a leggere tantissimi libri impossibili da capire. Li rileggevo metodicamente e poi passavo ad altro. Oggi non saprei del loro contenuto, passo, passo, ma alcuni di questi, magari uno solo, mi è prezioso per far germogliare la suddetta "idea sorgiva" del mistero secondo Feynman.

    Ringrazio l'amico Paolo per avermi posto sul capo un certo alloro, avendomi messo accanto ad Archimede. Sono contento che egli condivida con me la piccola gioia del felice momento.

    Infine, ringrazio la carissima amica Annarita che si è data pena di presentare il mio modesto lavoro di ricerca e lo ha arricchito con una bellissima cornice come ella sa fare con accuratezza ed estrema precisione. Annarita sei assai lodevole!
    Colgo l'occasione per annunciarti di aver "visto" crescere una tua creatura scolastica sulla quale ci siamo intrattenuti qui non poco tempo addietro. Si tratta del puzzle della capra nel recinto che già mi aveva fatto nascere l'idea di farvi derivare lo studio dell'ovoide.
    In questi giorni quel "recinto" circolare, diviso a metà, non con il suo diametro ma con una curva circolate, si è rivelato, a dir poco, un sole foriero di una ricchezza geometrica, nientemeno, legata alla fisica dell'ottica che ha stupito me per primo.

    Un caro saluto a tutti,
    Gaetano

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  7. Devo dire che mi mancavano proprio questi post... e che post!
    Un grazie a Gaetano per il suo prezioso studio sull'approssimazione del mitico Pi. In Matematica il concetto di approssimazione (al contrario di quello che il termine potrebbe far pensare) è stato ed è fondamentale anche come chiave di nuove scoperte e teorie. E' cercando di approssimare che spesso ci si imbatte in strade ancora non percorse e la sfida perenne tra i matematici alla ricerca di sempre maggiori numeri dopo la virgola, ha un suo senso per quanto possa sembrare bizzarra se non inutile agli occhi di chi della Matematica non ha ancora colto la vera essenza. Che se poi fosse possibile coglierla in pieno questa essenza, se ne perderebbe tutto il mistero e le domande che invece sono alimento vitale per proseguire verso vette sempre più alte.

    Pausa....
    Rileggo quanto scritto sopra e mi sembra di non essere stato proprio chiarissimo, ma mi piace... così lascio tutto come di getto mi è venuto.
    Un salutone
    Marco

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  8. Me lo stavo chiedendo anch'io, Pa. Ma Gaetano è spuntato all'orizzonte con un nuovo contributo:)

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  9. Mi capita spesso in questi ultimi tempi di "assentarmi" dai blog di Annarita in particolare.

    Come mai, in particolare, Gaetano, se posso chiederlo?

    Colgo l'occasione per annunciarti di aver "visto" crescere una tua creatura scolastica sulla quale ci siamo intrattenuti qui non poco tempo addietro. Si tratta del puzzle della capra nel recinto che già mi aveva fatto nascere l'idea di farvi derivare lo studio dell'ovoide.
    In questi giorni quel "recinto" circolare, diviso a metà, non con il suo diametro ma con una curva circolate, si è rivelato, a dir poco, un sole foriero di una ricchezza geometrica, nientemeno, legata alla fisica dell'ottica che ha stupito me per primo.


    Questa tua affermazione mi incuriosisce assai. Potresti darmi lumi?

    Per la pubblicazione, non devi ringraziarmi perché lo sai che pubblico ciò che so essere di interesse per alunni e lettori.

    Un ringraziamento e un caro saluto.
    Annarita

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  10. Bravo, Marco! Hai colto come al solito il nocciolo della questione, ovvero l'importanza del procedimento di approssimazione in Matematica, occasione di riflessione e spesso di nuove scoperte sulle proprietà dei numeri.

    Un salutone.
    Annarita

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  11. Cara Annarita, rispondo a questa tua domanda:

    Questa tua affermazione mi incuriosisce assai. Potresti darmi lumi?

    Ciò che ho promesso di mostrare, ovvero una “coincidenza significativa” di un fatto geometrico (che in piccola parte conosci già perché è nato da te) con un altro fatto della fisica dell'ottica.
    È vero che la fisica dell'ottica comporta una certa coerenza con regole geometriche, ma per quel “recinto della capra” è davvero impossibile immaginare che vi possa nascere un concetto ottico, nel mio caso una incredibile iterazione con una lente concavo-convessa. Nondimeno è possibile che le due cose “coincidano”, ovvero l'una è in solida armonia con l'altra.
    Ma già la scienza, in accordo con quella dello psicologo Carl Jung, ha trovato modo di convalidare il “principio” della “sincronicità”, ovvero dimostrare l’esistenza di eventi correlati in maniera non causale. Prova ne è la scoperta dell’ “entanglement”: un fenomeno della fisica quantistica in virtù del quale due particelle opportunamente predisposte - particelle entangled, come si dice - rimarrebbero soggette a una «correlazione» a distanza che agirebbe in maniera istantanea: più che un fenomeno fisico sembrerebbe quasi una “magia”.
    Vedi qui
    Ma sto spiegando delle cose ad un'accademica in merito, scusa.
    E così, verificandosi casualmente e non causalmente, l'approccio di una geometria “evoluta” del recinto della capra in questione, ecco che per effetto sincronico, dimostrano di essere peculiari particelle entangled, e così per la loro «correlazione» agirebbero in maniera istantanea.
    A questo punto spunta la risposta che sconvolge le credenze di gran parte dei ricercatori della scienza, i quali sono abbarbicati al concetto del causalità.
    Tant'è che da parte mia, come modesto autodidatta, lontano stratosfericamente dal mondo dell'accademia, mi capita spesso di fare delle piccole scoperte da attribuire esclusivamente alla casualità. Prova ne è il qui presente pi greco di Archimede per via grafica.
    Molto spesso sento dire da te di una cosa che ti è venuta di pensare per effetto serenditipy che è già un certo approccio al concetto della “sincronicità” suddetta.
    Un'altra importante riflessione riesco a fare sulla lente emergente dal recinto della capra, in una certa versione geometrica.
    Ho intravisto nella lente un genere di “microscopio” che gli scienziati di oggi dovranno utilizzare per le loro ricerche di “approssimazione” che però fanno conto sulla causalità. Non è possibile concepire “microscopi” capaci dell'infinito “piccolo” se non con spese così esorbitanti che oggi non si possono più sostenere. Per l'infinito “grande” vale lo stesso ragionamento.
    Ma questo concetto del “gioco del lotto” vale anche per qualsiasi progresso nei vari campi della società epocale.
    Leonardo che si definiva “omo sanza lettere” criticava i “trombetti” della cultura, coloro che a sostegno delle proprie tesi invocano l' “autorità” del pensiero “consolidato”, esercitando “la memoria e non l'intelletto”. Le cose “narrano” ed è questo il vero “Senso delle cose”. Un poliedro complesso, un volto, la grafica di nuove lettere sono frasi di un discorso che assume un significato. Come va inteso? “A ciascuno il suo”: non in senso retributivo e di equità del dare, ma di ricezione.
    Ecco in che modo si può verificare un fatto casuale foriero di grandi novità.
    Beato lo “scienziato” che ha modo di avere occhi del genere intravisto nel recinto della capra, che per il suo contenuto metaforico allude appunto alla “retribuzione” sulla quale oggi c'è tanta discordia.

    Salutoni,
    Gaetano

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  12. Caro Marco, che piacere risentirti! In una certa misura hai centrato l'antifona che deriva dal mio piccolo lavoro. La mia risposta è uguale a quella data da Annarita, ma con delle precisazioni sul come giungere a risultati progressi, non solo in matematica, in fatto di “approssimazione”. Vale per questo ciò che ho scritto nel commento rivolto ad Annarita. Ed è la metafora che deriva dal come ho potuto trovare la scorciatoia del pi greco di Archimede, tema di questo post.
    È stato il caso e non perché mi sono proposto di concepirla, che si vuole trovare la strada della causalità.
    Grazie per il commento,
    Gaetano

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  13. Caro Gaetano, la mia era solo una semplice curiosità perché non potevo certo immaginare il senso delle cose da te intraviste. Come ben dici le cose parlano da sé, ma ciascuno di noi ha un modo diverso di recepirle e questo non ha niente a che vedere con "l'accademia" che tu hai ricordato, ma, che, come tu ben sai, io non richiamo mai. Lasciamo, dunque, che i "trombetti" facciano le loro trombettate, e che i "non trombetti" diano prova delle loro intuizioni senza "trombettarle", però, altrimenti si mettono sullo stesso piano dei trombettieri di professione. L'uomo che è nel giusto ed è dentro la conoscenza non ha necessità di trombettare nulla perché i fatti parlano da soli.

    Un caro saluto e grazie di tutto.

    Annarita

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  14. Grazie Annarita per aver mirabilmente sintetizzato le mie prolisse riflessioni contenute nei miei studi e all’interno dell’ebook che tu mi ha pubblicato su Calaméo: “Lettera dello Scriba” ricordandone l’inequivocabile influenza del diagramma di argilla anche sul metodo di esaustione, argomento storico di questo post.

    Si, il diagramma di argilla è l’origine che ha aperto le porte e influenzato l’ascesa del futuro pensiero matematico e quindi, dell’uomo.

    Un caro saluto all'amico studioso Gaetano.

    Un abbraccio alla nostra cara amica e grande divulgatrice Annarita.

    Aldo

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  15. Caro Aldo, non devi ringraziarmi per qualcosa che qualsiasi studioso avveduto farebbe senza esitazione.
    Tu sai quanto mi sia caro il diagramma di argilla, che a breve studieremo a scuola con i miei alunni della 2°B che si stanno cimentando in questi giorni con il teorema di Pitagora.

    Un abbraccio
    Annarita

    RispondiElimina

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