Matematicamente

martedì 18 dicembre 2007

La geometria insegna come mettere sfere in un cubo e ottimizzare le trasmissioni [formula del packaging]

Cari ragazzi e lettori, il nostro amico Gaetano Barbella ci fa un regalo, con il seguente articolo. Cito le sue parole per presentarlo:


" [L'articolo] Riguarda proprio uno dei tanti casi di fatti, non della pace ma della guerra, che in seguito hanno permesso alla scienza matematica di progredire e di fornire cognizioni assai utili per migliorare la vita sociale di questo terzo millennio. Si tratta di un articolo di un valente matematico, il dott. Paolo Gregorelli, riportato sul Giornale di Brescia del 2004".


Allora buona lettura e un grazie sentito a Gaetano!


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Tutto ebbe inizio quando Sir W. Raleigh chiese al matematico Harriot quanti proiettili ci fossero in un mucchio.


Palle_di_cannone



DALLE PALLE DI CANNONE
ALLA MIGLIORE FORMULA DEL «PACKAGING»


LA GEOMETRIA INSEGNA COME METTERE SFERE IN UN CUBO
E OTTIMIZZARE LE TRASMISSIONI


A cura di Paolo Gregorelli
 (Tratto dal Giornale di Brescia del 18.02.2004)


Prima parte


Dalle palle di cannone alla trasmissione dei messaggi la strada è breve. E non è una battuta, come si potrebbe pensare, bensì la vicenda e l'avventura di un problema di configurazione nato nel 1600 e arrivato, come vedremo, alle soglie del terzo millennio.


Tutto ebbe inizio quando Sir W. Raleigh chiese al matematico Harriot quante palle di cannone ci fossero in un mucchio. Ma i matematici hanno il dono di trovare una ragione a tutto, pertanto l'interrogativo mal posto acquistò l'inequivocabile significato di trovare quale configurazione di sfere con lo stesso raggio avesse la massima densità relativamente ad uno spazio destinato a contenerle. Dato che ogni ammucchiamento di sfere in cui ciascuna di esse forma almeno tre contatti con le altre, il problema diventò quello di individuare in uno spazio di dimensione qualsiasi l'impachettamento con la densità più alte possibile.


Keplero, che aveva già risolto la questione in dimensione due, determinò la densità per l'impacchettamento cubico semplice (sovrapposizione di tre strati quadrati di sfere) e per questo compatto sfasato (ciascuna sfera ne tocca altre tre in strati adiacenti, realizzando un numero di contatti pari a dodici) ottenendo, rispettivamente, 0,524 e 0,7405.


Thomas C. Hales, nel 1998, cioè 387 anni dopo, dimostrò in modo certo che quella sfasata era effettivamente la migliore, come confermavano i valori trovati da Keplero.
Sarà per questo che sulle bancarelle la frutta viene spontaneamente disposta secondo la configurazione suddetta. La migliore tra le disposizioni reticolari, cioè tra quelle in cui i centri delle sfere formano un reticolo spaziale, vale a dire una configurazione simmetrica di parallelepipedi.


Attualmente la densità massima di un impacchettamento reticolare di sfere in uno spazio N-dimensionale è sconosciuta per N maggiore di 8, perché ogni dimensione sembra avere la sua particolarità e non si vede un metodo che possa funzionare per tutte.



Seconda parte


In «Sphere Packings, Lattices and Groups», che rappresenta la bibbia sull'argomento dell'impacchettamento, gli autori J.H. Conway e N.J.A. Slogane dimostrano come problema nato dalle palle di cannone (come abbiamo riferito nell'edizione del 18 febbraio) abbia importanti applicazioni nel campo della geometria pura (appare nell'elenco dei problemi aperti posti da Hilbert nel 1900), nella teoria dei numeri (equazioni diofantee e geometria dei numeri) e, come avevamo anticipato e vedremo immediatamente, nella costruzione di un codice ottimale per un canale di trasmissione disturbato da rumore.


Una sorgente di informazione è, infatti, una semplice sorgente di simboli che vengono mandati ad un trasmettitore che li converte in segnale elettrici, o di altro tipo, e li invia ad un ricevitore lungo una linea di trasmissione. Il segnale è rappresentato da un insieme di N numeri e pertanto può essere pensato come un insieme di coordinate in uno spazio di dimensione N.


Nel caso delle trasmissioni, per esempio, le dimensioni degli spazi coinvolti sono in genere molto elevate: un segnale televisivo della durata di un secondo appartiene ad uno spazio di dimensione 10 milioni. In fase di ricezione, se la linea è disturbata, il segnale non sarà più lì dove è stato messo, ma sarà in una sfera con centro nel segnale. A causa del rumore le coordinate non individueranno un punto, ma piuttosto una regione sferica che circonda la sua posizione ideale. Naturalmente perché segnali diversi non si confondano è necessario che le sfere d'esistenza non si sovrappongano, cioè che siano distinte le une dalle altre.


Le sfere devono essere disgiunte, affinchè il decoder alla ricezione possa recuperare correttamente il segnale inviato. Inoltre, la capacità di un canale è tanto maggiore quanti più segnali distinti sono disponibili. Per sfruttare appieno l'ampiezza della banda e la potenza di trasmissione si devono poter inviare molti segnali distinti e per riceverli correttamente devono essere abbastanza lontani. In sostanza, di nuovo un problema di impacchettamento delle sfere.



Il problema della trasmissione a pacchetti, inoltre, oggi è diventata attuale con la necessità di inviare dati on line. L'utilizzo di protocolli che consentano di convogliare dati corposi in spazi ridotti di segnale – tali da essere sopportati dai doppini telefonici – si basano proprio su alcune teorie che abbiamo descritto. E pensare che tutto iniziò da una domanda: «Quante palle di cannone ci sono in un  mucchio?».

8 commenti:

  1. Ascolta, ti dò le note di tanti auguri a te quando c'è qui anche mio cugino... io sò solo le corde, ma non le note!

    Io faccio: tennis, danza moderna e atletica. Poi ho: catechismo e il corso di recitazione, (voi quando fate la Cresima?)

    Susy

    P.S. Suonate il flauto a scuola?!?

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  2. Grazie, Gaetano! Articolo molto interessante come tutti quelli che proponi:)


    Colgo l'occasione per augurare un Buon Natale a te, Annarita e agli alunni.

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  3. Cara Artemisia, mi premia la tua affezione ai miei scritti che Annarita - cui sono grato - mi permette di esporre. Ma è una cosa che sono spinto a fare in molti altri siti. Sin da ragazzo mi piaceva stare a casa dei miei parenti ed amici, come se la mia famiglia divenisse sempre più grande. Ora è quella del web, una sorta di "Sphere Packing" in tangenza, giusto in relazione al post in questione. "Bolle di sapone" anche a volte, nella fantasia di molti che qui si assiepano. Quasi a far concepire l'idea che la vita è un gioco che solo qui trova modo di animarsi come vorremmo senza essere sfiorati dalla morte, fatta di dispiaceri, sofferenze come minimo. Questa, però, ha una sua essenzialità perché è artefice di continue metamorfosi. Dunque la morte è in seno a ricorrenze natalizie che non si contano, con i relativi Capodanno, attesi o disattesi.

    E il tradizionale Natale, fra cinque giorni? Un giorno speciale in cui molti computer tacciono per ricordarci che essi sono solo macchine. Ma è vero che ogni essere è mediato in sé da un essere fatto di materia sottile che è noto alla cultura yoga. Viene chiamato corpo eterico e ricalca il corpo biologico sporgendo da esso di due o poco più centimetri. Alla vista dei chiaroveggenti questa sporgenza costituisce un primo abbozzo di aura di colore blu. Ma, in base alla cultura yoga suddetta, è solo come una scatola cinese con tante altre fatte di materia sempre più sottile di svariati colori peculiari. Nel suo insieme il doppio eterico appare come un uomo ragno che dà l'idea di un antico guerriero vestito con armatura metallica.

    È a questa armatura che l'apostolo Paolo si riferisce quando esorta, con le sue lettere, a "vestirci" di luce, quella però del Cristo!

    Cosa da non credere, vero?

    Buon Natale anche a te, Gaetano

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  4. io non faccio la cresima ma faccio catechismo cmq i miei compagni la fanno il 19 gennaio.

    Sì suoniamo il flauto a scuola io sono brava ma la parte teorica è la più noiosa per me , e se ne è accorta anche la nostra prof di musica infatti me l'ha detto che se anche non mi piace devo cercare di stare attenta perchè sono cose che mi serviranno se voglio fare il conservatorio(la scuola superiore di musica).

    domani vado a vedere la bussola d'oro e oggi vado a pattinare sul ghiaccio.

    Tu sei mai andata a pattinare sul ghiaccio?

    Ciao Je

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  5. Quante SFERE di raggio r stanno in una SFERA di raggio R ad impacchettamento massimo?

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  6. Mi piacerebbe sapere il tuo nome.

    La tua domanda è molto interessante, e se tu avessi avuto un pò di iniziativa, sul web avresti ottenuto di sapere ciò che tu chiedi. Ossia nessuna risposta precisa, ma il modo risolvere il problema che, però, solo un buon matematico è in grado di affrontare.  

    Non sono io uno di questi matematici perché sono solo un dilettante appena informato sull'impacchettamento sfere, un argomento assai complesso.
    Con questo post ho messo in risalto l'aspetto storico, però la tua domanda mi offre l'occasione di ampliare l'osservazione dell'impacchettamento sfere, in gergo "Sphere Packing", per quanto concerne l'ottimizzazione.
     
    Traggo da Wikipedia queste cose sull'impacchettamento sfere (ma il web è denso di informazioni a riguardo, quasi tutte in inglese, però):
     
    In matematica la congettura di Keplero è una congettura riguardante l'impacchettamento di sfere nello spazio euclideo tridimensionale. Essa afferma che non esiste alcun modo di sistemare delle sfere nello spazio con densità media superiore a quella dell'impacchettamento cubico a facce centrate o a quella dell'impacchettamento esagonale. La densità di questi due modi di sistemare le sfere è leggermente maggiore del 74%.
    In particolare:
    Pi greco : √ 18 = circa 0, 74048
     
    Nel 1998 Thomas Hales, attualmente professore Andrew Mellon all'università di Pittsburgh, annunciò di possedere una dimostrazione della congettura di Keplero. La sua dimostrazione è fatta per esaustione e prevede di controllare molti casi singoli mediante complessi calcoli al computer. I referee, dopo aver letto l'articolo, annunciarono di essere certi "al 99%" della correttezza della dimostrazione di Hales. Dunque la congettura di Keplero è molto vicina ad essere considerata un teorema.
     
    Venendo al caso nostro si deduce che l'impacchettamento di sfere in una sfera, nel migliori dei casi, è chiaramente meno denso dei due casi per un cubo e per una piramide esagonale.

    Per saperne in particolare, si può partire dal cubo inscritto nella sfera contenitrice delle sfere.  
    - Dimensionalmente sappiamo che, se la sfera contenitrice è di raggio (R) = 1, il lato del cubo in scritto è √ 2.
    - Per questo cubo le sfere da impacchettare possono raggiungere - secondo la congettura di Keplero - la densità limite del 0,74 %.
    - A questo punto si presentano due casi distinti per risalire alla densità ottenibile in una sfera contenitrice.
     
    Caso A
    - Nella sfera contenitrice si dispongono sfere che vanno a collocarsi nel cubo inscritto ma, per la loro dimensione, non trovano disposizione nei sei segmenti sferici residui (uno per ogni lato del cubo in scritto).  
    - Facendo delle semplici operazioni aritmetiche si calcolano i volumi del cubo e della sfera contenitrice, e poi, tenendo conto che la resa del cubo è del 74% si calcola la densità globale.  
    - Risultato: circa 50% che si ottiene al limite con sfere di diametro relativamente piccole.

    Seguito al prossimo commento.

    Gaetano
     

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  7. Seguito

    Caso B
    Analoga condizione del caso A, ma con sfere abbastanza piccole da poter trovare collocazione nei sei segmenti sferici della sfera contenitrice.

    - Per il caso B1 solo una sfera può essere collocata in ogni segmento sferico che ha per altezza il diametro dell'unica sfera in esso.
    - Per il caso B2, via via, in relazione al diametro delle sfere piccole da impacchettare, in modo decrescente si incrementa la possibile densità nei sei segmenti sferici.
    - A questo punto, la densità del caso A, che è del 50%, aumenta in relazione all'adozione di sfere sempre più piccole, determinando vari strati nei segmenti sferici, ma non tanto come quelli di un impacchettamento in una piramide esagonale.  
    - Insomma la resa in densità è leggermente superiore al 50%, tutta da vedersi per chi pazientemente si dispone a fare i giusti calcoli matematici. Ma non è semplice.
     
    Conclusione, la risposta alla domanda è di sapere che per infinite disposizioni di sfere sempre più piccole in una sfera contenitrice, la densità ottimale ottenibile è poco più del 50%, poco a confronto di impacchettamento in un cubo o in una piramide esagonale.  
    Il resto è tutto demandato al peculiare calcolo di un matematico che, caso per caso trova la migliore collocazione di sfere in una sfera contenitrice.

    Gaetano

    RispondiElimina
  8. @ Gaetano: grazie della risposta.

    @ anonimo: Gaetano è l'autore dell'articolo. Sono d'accordo con lui: quando si fa una richiesta a casa d'altri, la buona educazione richiede di presentarsi, cosa che consiglio vivamente se dovesse esserci un seguito.

    Saluti
    Annarita Ruberto, autrice del blog

    RispondiElimina

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