Matematicamente

sabato 27 novembre 2010

La Somma Dei Primi n Numeri Naturali Dispari

La somma dei primi n numeri naturali dispari è l'argomento che abbiamo trattato ieri con i ragazzi della 1° B.

L'argomento si presta ad introdurre nozioni come le successioni di numeri naturali.

Come risaputo, i numeri possono formare delle figure geometriche. Non a caso nella tradizione pitagorica figure e numeri si intrecciavano in uno stretto connubio per cui erano catalogati in base alla figura geometrica alla quale davano origine.



Sulla base di tali considerazioni, qualche giorno fa ho dato la seguente consegna ai ragazzi: "Effettuate la somma dei primi tre numeri dispari e provate a realizzare una figura geometrica che possa rappresentare tale somma".

I ragazzi non sono stati mai coinvolti in attività di questo tipo alla scuola primaria, per cui non è stato subito facile rispondere alla consegna.

Alessandro R., Adele, Riccardo e Chiara T. sono riusciti a costruire delle figure fantasiose, ma solo Alessandro ha realizzato un quadrato composto dai numeri 1, 3, 5 interpretati come blocchi figurati, e disposti casualmente.

Ho fatto loro vedere il disegno di Alessandro, informandoli che costituiva una buona base di partenza, ma doveva essere "riordinata" opportunamente, dopo aver riflettuto sulle somme che includono progressivamente i primi sei numeri naturali dispari:

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36


I ragazzi sono stati veramente bravi perché hanno intuito quasi tutti che le somme ottenute possono essere associate a dei quadrati.

Per un'ora hanno disegnato con ritmo sostenuto i loro quadrati. Li porteranno a scuola lunedì perché non sono riusciti a completare le configurazioni geometriche, che sono le seguenti:

                

Nel caso della somma  1 + 3 + 5 = 9, abbiamo disposto dapprima una sferetta blu (uno), successivamente tre sferette rosse e infine cinque sferette verdi, in modo da ottenere un quadrato di lato 3 e area 9.

Nel caso della somma
1 + 3 + 5 + 7 = 16, abbiamo aggiunto al quadrato precedente sette sferette rosa, ottenendo un quadrato di lato 4 e area 16.

Nel caso della somma
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25, aggiungendo nove sferette celesti al quadrato di area 16, abbiamo ottenuto il terzo quadrato di lato 5 e area 25.

Infine, nel caso della somma 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36, abbiamo aggiunto undici sferette arancione al quadrato di lato 5, ottenendo il quadrato di lato 6 e area 36 della figura seguente.



A questo punto, ho chiesto ai ragazzi se erano in grado di prevedere quale fosse la somma dei primi  7, 8, 9, 10...100...1000 numeri dispari.

Devo dire che, posta la domanda, si sono alzate quasi subito diverse mani...e la risposta è stata 49, 64, 81, 100, 10000, 1000000!

Forti questi primini! Proprio forti!
Avevano compreso la regolarità...

Li ho allora sollecitati, chiedendo: "Possiamo formulare una regola generale per il comportamento che abbiamo osservato?".

Due o tre, Alessandro R., Chiara T...ma presto se ne sono aggiunti altri,
hanno risposto contemporaneamente che per ottenere la somma dei primi n numeri dispari  si deve moltiplicare il numero considerato per se stesso!

Ho formulato la domanda in modo più preciso: "Qual è la somma dei primi n numeri dispari?"

La risposta immediata di tutti è stata: "La somma è ottenuta moltiplicando
n x n
".

Non contenta, proseguo: "Sapete, magari perché ne avete parlato alle elementari, come si può scrivere in modo più sintetico n x n?"

Molti lo sapevano! Hanno risposto !

Abbiamo allora perfezionato la risposta, come segue: "La somma dei primi n numeri naturali dispari è data dal numero n al quadrato  S(n) = n², cioè è uguale all'area di un quadrato di lato n".

Bravi ragazzi! Sapete che cosa vi dico? Che della prova INVALSI ce ne facciamo un baffo!


Lunedì, i ragazzi porteranno a scuola  le loro costruzioni, che metterò online!

Rimanete sintonizzati ché non è ancora finita con questo argomento!

11 commenti:

  1. Bravissimi questi tuoi Primini, carissima Annarita!
    Ecco, questo è un chiaro esempio di corretto approccio alla Matematica, per prevenire la matofobia o per curarla!
    Sei formidabile, Prof!...E vivissimi complimenti ai tuoi mitici piccoli!
    Un abbraccione e buona domenica!
    maria I.

    RispondiElimina
  2. Grazie, cara Maria. Sono una strenua avversaria della Matofobia. Le ho dichiarato guerra aperta da quando ho iniziato a svolgere questo nostro faticoso, ma bellissimo mestiere.

    Detto da una collega par tuo è una soddisfazione molto grande. I primini promettono molto bene. Sono contenta di loro.

    Un abbraccio

    annarita

    RispondiElimina
  3. Che bravi! Complimenti sia a loro che a te.
    Questo post mi ha riportato alla memoria che fino ad un paio di anni fa io non conoscevo la formula delle somme parziali di questa successione. O forse l'avevo dimenticata... non so. Ad ogni modo me la ricostruii mentalmente nella sala di attesa di uno studio medico osservando un disegno al lato del tavolo dell'infermiera simile a quello riportato in questo post.
    La matematica può servire anche a questo, no? :-)

    RispondiElimina
  4. Certo che rimaniamo collegati.

    Bravissimi a questi primini
    Siete porprio forti ragazzi


    Sono daccordissimo con l'amica Maria I riguardo alla prevenzione alla matofobia; mi piace proprio questo tipo di approccio ad un nuovo argomento:
    - Non ti dico dove voglio arrivare
     - Ti presento un piccolo problemino iniziale
     - Dimmi cosa ne pensi e prova a risolverlo
    - Perfetto, adesso perfezionalo
    - A questo punto cosa noti ?
    e si va avanti, si costruisce insieme la spiegazione all'argomento e quando si arriva al dunque qualche ragazzo penserà:
    " cavolo ma ci sono arrivato da solo !!!  "
    Quasi amico, quasi, ma sei stato sicuramente bravissimo.

    E al pilota che nascosto guidava, correggeva, perfezionava..., che vogliamo dirgli ?
    La matofobia con TE ha perso la battaglia ancora prima di cominciare.

    Facci sapere come andrà la prossima puntata di questo bel racconto.

    Un salutone a te
    Marco

    RispondiElimina
  5. Complimenti a te, Annarita e ai tuoi piccoli studenti! Veramente molto bello e divertente questo modo di fare matematica.Sicuramente l'interesse , la partecipazione e l'impegno sono garantiti.
    Saluti,
    Carla

    RispondiElimina
  6. E al pilota che nascosto guidava, correggeva, perfezionava..., che vogliamo dirgli ?
    La matofobia con TE ha perso la battaglia ancora prima di cominciare.


    E' quello che mi auguro, caro Marco.

    Bacione.

    RispondiElimina
  7. Brava Annarita e davvero eccezionali i tuoi giovanissimi studenti!
    La tua metodologia è sicuramente un ottimo deterrente della paura, dell'avversione e a volte di un vero e proprio odio dichiarato e gridato nei confronti della "bestia nera".
    Complimenti!...E...bravissimi,  ragazzini di 1° B!!!
    Un caro saluto,
    Adele

    RispondiElimina
  8. Annarita, resterò sintonizzata 
    questo è poco ma sicuro
    Mi piacciono gli interventi dei tuoi alunni 
    e tutti gli altri
    Quando ci sono questi post
    ho l'impressione di entrare in 
    un'aula e sento l'odore della scuola.
    L'odore della scuola è lo stupendo odore del sapere
    e tu sei li grandiosa che distribuisci 
    a piene mani e generosamente il tuo sapere.

    Non so se la mia si chiama matofobia
    o invece...non lo dico.
    Bacione 
    Buona scuola per domani a te e ai tuoi alunni.
    Ciao.

    RispondiElimina
  9. Grazie a te. Ti capisco benissimo e mi fa molto piacere che tu mi legga... anche senza lasciare commenti :-)

    RispondiElimina
  10. Complimenti a te e ai tuoi bravissimi ragazzi!

    Tornerò a sintonizzarmi appena possibile.
    Un abbraccio

    Anna Righeblu

    RispondiElimina
  11. Cara Anna, è un piacere averti qui con noi. Ti ringraziamo del passaggio, sperando che le tue visite diventino più frequenti.

    Un caro saluto.

    annarita

    RispondiElimina

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...