Matematicamente

domenica 7 dicembre 2008

Sequenze Numeriche E Procedimenti Ricorsivi

Cari ragazzi e cari lettori,

l'amico Bruno ci ha regalato un altro interessante post, in cui approfondisce l'analisi di alcuni procedimenti ricorsivi...ma, senza lungaggini, leggete direttamente quello che scrive in proposito.

Scrive Bruno:

Le tabelle numeriche mi attraggono moltissimo e da tempo, anche se qualche volta mi fanno ammattire 
Pensate che ancor oggi trovo affascinante la cosiddetta tavola pitagorica e, per quanto essa sia stata esplorata in lungo e in largo dagli appassionati, c’è sempre qualcosa con cui riesce a stupirmi.


Quando ho visto il post  “Numeri Quadrati, Numeri Rettangolari...Numeri Figurati” di Annarita, mi è venuta in mente una proprietà di certi numeri che considero piuttosto interessante per cui vorrei accennarvela.


Diversi anni fa mi capitò di studiare una tabella formata dalle somme delle successive potenze dei primi numeri naturali, intendo questo gioiello:

tabella
(Il simbolo S, presente nell'ultima colonna a destra, sta per il simbolo di sommatoria )


La determinazione dei numeri che compongono questa bella matrice ha attirato tanti matematici, alcuni dei quali molto grandi, e anche in rete si può trovare del buon materiale tecnico o divulgativo.


Ma ora vi domando:  "Voi sapete che ogni riga di questa tabella può essere dedotta da quella che la precede attraverso un procedimento ricorsivo molto facile da cogliere e da applicare?"


Vediamo come.  Innanzitutto scriviamo i primi numeri naturali:


1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …


Ogni elemento di questa sequenza coincide con il proprio numero d’ordine, cioè:


1  è il  1°  elemento
2  è il  2°  elemento
3  è il  3°  elemento
4  è il  4°  elemento,  così via.

Bene, adesso moltiplichiamo ogni elemento per il rispettivo numero d’ordine e poi sottraiamo al prodotto così ottenuto la somma dei termini che lo precedono, cioè:


1x1-(niente, perché prima di 1 non c’è niente) = 1
2x2-1 = 3
3x3-(1+2) = 6
4x4-(1+2+3) = 10, etc.


Un numero dopo l’altro, si viene a formare sotto i nostri occhi questa nuova sequenza:


1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …


in cui compaiono i famosi numeri triangolari, la seconda riga della tabella vista sopra. Qui vediamo che:


1    è  il   1°  elemento
3    è  il   2°  elemento
6    è  il   3°  elemento
10  è  il   4°  elemento,  etc.

Ora rifacciamo i passi analizzati in precedenza, cioè moltiplichiamo ciascun elemento per il proprio numero d’ordine e sottraiamo al risultato la somma dei termini che lo precedono:


1x1-(niente) = 1
3x2-1 = 5
6x3-(1+3) = 14
10x4-(1+3+6) = 30


e poi, ancora:


15x5-(1+3+6+10) = 55
21x6-(1+3+6+10+15) = 91,  etc.


Riepilogando, abbiamo le tre sequenze:


1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, …

ossia le prime tre righe della nostra tabella.


Si può dimostrare che questa proprietà vale in generale, e infatti io mi sono divertito a farlo. 
Però qui tralascio la dimostrazione perché quello che vorrei mettere in evidenza, in realtà,  è il procedimento ricorsivo che abbiamo applicato:


• data la successione numerica  a1, a2, a3, a4 …, ai, …,  moltiplichiamo ciascun termine ai  per  i  (il suo numero d’ordine)  e  sottraiamo dal prodotto la somma di tutti i termini che precedono ai.


Questo procedimento, forse non ve lo sareste aspettato, permette di vedere delle connessioni non ovvie e molto interessanti fra diverse famiglie di numeri.


Prima di andare avanti, dico una cosa su OeisOeis è l’acronimo di On-Line Encylopedia of Integer Sequences, un sito web dove sono registrate tutte le sequenze studiate dai matematici e le relative proprietà conosciute. Questo portentoso archivio di numeri discende da un’altra importante opera pubblicata nel 1973 dal matematico  N. J. A. Sloane,  intitolata  A Handbook of Integer Sequences”.

“Un matematico che incontri una successione che lo mette in imbarazzo”- scrisse Martin Gardner  riferendosi a questo manuale- “non ha più bisogno di spendere ore a cercare la sua formula generativa, basta che cerchi la successione nel libro di Sloane”.
Oeis è un parco meraviglioso di numeri a disposizione di tutti 


Tornando al nostro procedimento ricorsivo, mi sono divertito ad applicarlo a parecchie sequenze numeriche e ogni volta ricavavo sequenze ancora sconosciute oppure già registrate in Oeis, ma delle quali non sempre veniva segnalato il collegamento con i numeri di partenza.


Tanto per fare un esempio, esiste un simpatico modo per dedurre una serie infinita di numeri piramidali dai numeri poligonali.  Eccovi lo schema:

schema


I numeri piramidali n-gonali derivano dalla sovrapposizione dei primi numeri n-gonali. In questo senso, i numeri triangolari possono essere visti come la sovrapposizione dei primi numeri naturali, e ciò spiega la loro presenza anche nella colonna destra dello schema.


In generale,  se consideriamo

 formula 1

come l’n-esimo numero poligonale con  d+2  lati  e  poi consideriamo


 formula 2


come l’n-esimo numero piramidale formato dai primi numeri poligonali con  2·(d+1)  lati, non è difficile verificare la seguente relazione, che un giorno è saltata fuori dalle mie allegre esplorazioni:


formula 3


Svolgete per credere!

Le tabelle seguenti permettono di apprezzare numericamente l’uguaglianza appena scritta nel passaggio dalla prima riga alla seconda.
La terza riga, invece, contiene delle sequenze ottenute applicando il procedimento ricorsivo ai numeri piramidali nella seconda riga: quelle contrassegnate con [§ ] sono registrate in Oeis e questo mette già in luce delle connessioni che non appaiono evidenti o scontate.

tabella 2
Facciamo una piccola osservazione.  La sequenza:


1, 17, 80, 240, 565, 1141, 2072, 3480, 5505, 8305, …  (@)


che leggiamo nella terza riga della quarta tabella non è inserita in Oeis, eppure…essa deriva, in fondo, dai numeri pentagonali:


1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145


nello stesso modo in cui la sequenza:


1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, …


deriva dai numeri naturali, cioè nello stesso modo in cui:


1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, …


deriva dai numeri triangolari, che è anche quello che porta a:


1, 13, 58, 170, 395, 791, 1428, 2388, 3765, 5665, …

partendo dai numeri quadrati oppure a:


1, 21, 102, 310, 735, 1491, 2716, 4572, 7245, 10945, …


partendo dai numeri esagonali.


L’armonia è la stessa, però la sequenza (@) non si trova ancora in Oeis in cui non vi è nemmeno l’ombra! Ciò ovviamente non significa che sia inutile, ma che semplicemente non è stata ancora presa in esame o messa in relazione con altre sequenze già note.
Chissà, magari questa potrebbe essere un’occasione per provare a studiare un po’ la simpatica  sequenza  “chiocciola” 

Il procedimento ricorsivo visto, dunque, oltre a permetterci di comporre la tabella delle somme delle potenze dei numeri naturali, ci offre uno stimolante punto di vista per indagare le connessioni esistenti fra moltissimi altri tipi di numeri.


AGGIORNAMENTO
Le sequenze numeriche e i procedimenti ricorsivi qui illustrati sono stati inseriti in Oeis come "B. Berselli, A description of the recursive method in Comments lines: website Matem@ticamente (in Italian).


Questo il linkhttp://oeis.org/A000537


15 commenti:

  1. Post molto interessante. Grazie al tuo articolo sui numeri figurati, ho iniziato ad approfondirne lo studio e adesso grazie a questo post sto scoprendo tanti aspetti affascinanti delle sequenze numeriche.


    Un ringraziamento a te e a Bruno, al quale rivolgo i miei complimenti.


    Baci

    Artemisia

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  2. Molto interessante. Congratulazioni!


    Ho scaricato il file per poter leggere bene le tabelle.Le prorpietà delle sequenze numeriche sono veramnete accattivanti. Grazie anche per il link di Oeis, un vero mare magnum di sequenze numeriche e relative proprietà.


    C'è da passare molto tempo ad analizzarle.


    Salutoni

    Ruben

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  3. Sempre affascinante la ricorsività! Grazie e Bruno e a Annarita...


    Abbraccione!

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  4. Bel post. Grazie anche a Bruno per la sua fattiva collaborazione. Ciao Annarita.

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  5. @Mauro e @Enzo: grazie amici!


    Abbracci

    annarita:)

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  6. @Ruben e @Artemisia: grazie dell'apprezzamento. Bruno ha svolto davvero un ottimo lavoro.


    baci cumulativi.

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  7. Wow! Interessantissimo...


    Maria


    Salutoni, Annarita, e complimenti a Bruno!

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  8. Straordinarie sequenze! Grazie per Oeis: è una vera miniera.


    Un caro saluto

    Daniela:)

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  9. Prof. sono Emanuele, il ragazzo ke ha lasciato un commento sul post dei problemi. A me piace molto la matematika e il suo blog è straordinario. Ci sono tante belle cose da apprendere. I procwedimenti ricorsivi sono affascinanti. Adesso me li studio per bene anke se non sono facilissimi. Ma a me le cose difficili piacciono!!!!


    Grazzzzie!

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  10. Bravo, Emanuele! Senza sfidare se stessi non si migliora. Senza superare le difficoltà non si cresce e non si evolve. Continua così. Sono sempre disponibile a darti un aiuto, se ne dovessi avere bisogno!;)


    A presto

    prof. Annarita

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  11. Bruno, sono io che devo ringraziare te, altroché!:)


    Il "pensierino" per la giornata è molto interessante.


    Concordo con te: non è facile immaginare e, di conseguenza, stabilire la connessione citata.


    Buona settimana e buon lavoro anche a te:)

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  12. Post interessantissimo.

    Grazie Annarita per avere ospitato Bruno al quale vanno naturalente i complimenti per il suo studio.

    Ritengo che sia


    Bellissimo

    Riconnettere

    Un

    Numero

    Otticamente


    Un cumulativo Vale

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  13. Bruno, scusa per il ritardo nella risposta. Sono stata in gita ieri e presa da altri impegni pressanti. Appena ho un attimo, aggiorno il post con il tuo commento.

    Un abbraccio e grazie a te.
    annarita

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  14. Ciò che spesso unisce i geni è la ricorsività. Il moltiplicarsi dell’immagine di un oggetto posto tra due specchi piani paralleli è una tipica situazione ricorsiva. Effetto ottico che in vari modi, ricreano nelle loro opere. Situazione propizia dal punto di vista intellettuale ma pericolosa dal punto di vista psicologico. La ricorsività è legata all’intelligenza, e si ritrova nelle sue manifestazioni. L'artista Lucio Dalla nel suo videoclip della canzone Ciao, inizia con un'inquadratura su una spiaggia in cui l'artista e due suoi amici suonano e cantano la canzone, ampliando l'immagine si scopre essere una battigia su un bastimento che solca i mari del mondo, riprendendo i temi della canzone. Woody Allen spesso nei suoi film usa trame ricorsive. Leonardo da Vinci e Michelangelo Buonarroti ebbero un’intelligenza ricorsiva-speculare simile nella modalità esecutiva delle loro opere. Cfr. Ebook (amazon) di Ravecca Massimo. "Tre uomini un volto: Gesù, Leonardo e Michelangelo". Grazie.

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    Risposte
    1. Considerazioni molto interessanti e condivisibili! Peccato che il commentatore sia anonimo:)

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