Matematicamente

lunedì 4 ottobre 2010

I Ragazzi...Alla Scoperta Di Pi Greco!

La settimana scorsa,

i ragazzi di 3° B hanno svolto un'attività con cui hanno scoperto la relazione esistente tra la lunghezza di una qualsiasi circonferenza e il suo diametro, utilizzando allo scopo oggetti circolari di vario genere, reperiti tra le loro cose. Muniti di corde e righello, hanno rilevato le misure del "contorno" circolare e del diametro di ciascun oggetto...ma sentite come raccontano l'attività essi stessi.
Diversi alunni mi hanno inviato la loro relazione per posta elettronica e tra queste ne ho scelto una, scritta con ricchezza di dettagli.


Scrive Davide.

Oggi 29-09-10, con la professoressa di matematica, abbiamo introdotto un nuovo argomento di geometria. La prof. ci ha chiesto di prendere e appoggiare sul banco tutti gli oggetti tondi che avevamo attorno (braccialetti, colle, temperini, ecc...).
Poi ci ha chiesto di prendere una cordella per rilevare le misurazioni della circonferenza dei vari oggetti e dei relativi diametri. Ognuno di noi ha creato sul quaderno una tabella in cui scriveva i dati via via rilevati.

La mia tabella è questa:



 Oggetto

 Lunghezza della circonferenza (C)

 Diametro (d)

        C/d
 

Colla

7 cm

2 cm

3,50

Temperino

8,5 cm

2,5 cm

3,40

Burrocacao

8,5 cm

2,5 cm

3,40

Braccialetto rosa

20,5 cm

6 cm

3,41

Braccialetto giallo

20,5 cm

6 cm

3,41

Braccialetto bianco

17,5 cm

5 cm

3,50

Scatola vigorsol

21,5 cm

6,5 cm

3,30


Abbiamo riportato il nome dell’oggetto nella prima colonna, la misura della circonferenza nella seconda colonna, la misura del diametro nella terza, e nella quarta il risultato ottenuto dalla divisione tra la lunghezza della circonferenza e il relativo diametro.

Nel primo caso, ho ottenuto, con la cordella, 7 cm  per la lunghezza della circonferenza della colla e 2 cm per il diametro, poi ho svolto la divisione 7cm: 2cm= 3,50. Questo passaggio l’ho svolto per ogni oggetto, ricavando i seguenti risultati: 3,50; 3,40; 3,41 e 3,30. I valori decimali non esatti li ho approssimati per troncamento alla seconda cifra decimale, secondo le indicazioni della prof. E così abbiamo fatto tutti.

Ad un certo punto, la prof. ha detto di fermarci, chiedendoci di leggere i nostri risultati e di osservare se c'era qualcosa di particolare in essi. Abbiamo constatato che i risultati erano più o meno vicini a  3 e qualcosa. Alcuni di noi hanno ottenuto un risultato abbastanza lontano dal 3, del tipo 2 e qualcosa oppure 4 e qualcosa.

Ma, non considerando questi ultimi valori, gli altri erano piuttosto costanti, cioè ciascun rapporto presentava una certa regolarità. La prof. ha confermato che la nostra osservazione era corretta e ci ha chiesto di effettuare la media aritmetica dei rapporti.

Io ho ottenuto il seguente valore approssimato per troncamento al centesimo:  Media aritmetica = 23,92/7= 3,41.

Altri compagni hanno ottenuto valori della media più bassi, ad esempio 3,16; 3,28.

La prof. ci ha fatto riflettere sul significato che aveva l'avvolgere la corda attorno agli oggetti circolari e poi il misurarne la lunghezza, srotolandola lungo il righello.

Abbiamo pensato che è come far diventare la circonferenza  un segmento e che il 3 e qualcosa è il numero di volte che il diametro è contenuto nel segmento che corrisponde alla circonferenza...e che tale numero è sempre lo stesso!

La prof. a questo punto ci ha detto che quel numero vale 3,14 e che è un valore approssimato al centesimo perché in realtà le sue cifre decimali sono infinite e si succedono senza alcuna periodicità.  A noi (non tutti però) sono venuti in mente i numeri irrazionali...solo che il 3,14, a differenza di questi,  non deriva dall'estrazione di una radice...ma da una divisione!

La prof. ci ha confermato che si tratta di un numero irrazionale "speciale", un numero irrazionale trascendente, il cui significato sarà precisato nel corso degli studi superiori.

Per il momento, è sufficiente sapere che è un numero irrazionale...Ma se 3,14... è un numero irrazionale allora questo vuol dire (lo ha detto Marco N.) che la circonferenza e il suo diametro sono due grandezze incommensurabili!!!

Alla fine dell'attività, siamo arrivati alle seguenti conclusioni:

- il numero che esprime il rapporto tra la misura di una circonferenza e il suo diametro è sempre lo stesso, ed  è un numero costante.
- Il valore costante di questo rapporto è un numero che indica quante volte il diametro è contenuto nella sua circonferenza.
- Tale numero si indica col simbolo π, che rappresenta, nell’alfabeto greco, la lettera p, per questo si legge "pi greco".


- La relazione  trovata sperimentalmente si può generalizzare, diventando:

C /d = π e quindi C = π * d

Questo significa che la misura della circonferenza è circa tre volte la misura del suo diametro o meglio “la misura della circonferenza è pi greco volte la misura del diametro”.

Qual è il valore di π? Se prendessimo una circonferenza di raggio 0,5 (
cm o m ecc.) e immaginassimo di tagliarla in un punto e di stenderla, il segmento che otterremmo sarebbe un segmento di lunghezza π:

C = π * d= 2 π r = 2 * π *  0,5 = π

Ebbene, questo procedimento non si potrà eseguire praticamente perché non sarà mai possibile trovare un segmento esattamente lungo π, come i risultati sperimentali ci hanno indicato. Ciò che abbiamo ottenuto è solo un’approssimazione di π poiché la misura di una lunghezza non è mai precisa, essendoci sempre un errore nell'attività di misurazione!

Un discreto valore approssimato di π è 3,14 (approssimato al centesimo) oppure  3 + 1/7.



*****
I ragazzi hanno partecipato tutti  con interesse all'attività, dimostrando di averne compreso il senso!

Sono intervenuta pochissimo nella relazione di Davide..., giusto dove c'erano dei refusi, per rendere più comprensibile l'esposizone!


Ragazzi vi lascio dei link, presenti nel blog, per approfondire la conoscenza di pi greco!

The Story Of Pi - La Storia di Pi Greco


Celebrating Pi Day


PI GRECO IN VERSI


Pi Greco: Un Numero Decimale Illimitato Non Periodico


Pi Greco (Detto Pi, Il Greco), Sezione Aurea E Zero: Personaggi Di Un Giallo Numerologico


L'irrazionalità del pi greco
,  una dimostrazione per i più grandi

EBOOK - I Due Leoni Cibernetici


8 commenti:


  1. Che bello sentire la voce dei ragazzi! Complimenti a Davide per la relazione molto chiara e particolareggiata e brava tu, Annarita, per la sapiente regia.

    Domani porterò i ragazzi nell'aula informatica e farò leggere loro il post, in preparazione dello stesso argomento che inizieremo a breve.

    Un salutone.
    Arte

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  2. Complimenti, Davide! Quasi quasi invidio la tua Prof. di Matematica, che ha il privilegio di avere uno studente così bravo! La tua relazione sul pi greco è impeccabile!
    @ Annarita, complimenti anche a te, per l'attività svolta con i tuoi alunni in modo davvero eccellente, come dimostra chiaramente la bella relazione di Davide.
    Certo è proprio vero che l'attività laboratoriale è fondamentale per facilitare e per rendere piacevole ed accattivante l'apprendimento della Matematica.
    Grazie per i link da te suggeriti, tra cui ho notato, con piacere, anche quello del "mio pi greco" , che, devo dire, anche dei miei colleghi stanno utilizzando nell'approccio all'irrazionale e all'incommensurabilità !
    Un abbraccione e un caro saluto a Davide,
    maria I.

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  3. Complimenti a Davide e beato lui che
    ha come professoressa te Annarita
    Bacio ciao


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  4. Colgo l'occasione per dire di una mia riflessione sul resoconto del bravo Davide che ho letto con molto interesse e naturalmente mi complimento con la sua prof, la cara amica Annarita per la sua considerevole pazienza e amore nel seguire passo passo i suoi scolari e farli progredire nello studio.

    Mi sono soffermato più del necessario sull'operazione di misurazione dei vari oggetti con la cordicella, da parte di Davide.
    Ebbene, ho pensato che se questa cordicella fosse stata così sottile da essere come una linea, idealmente di diametro nullo, le misure di Davide sarebbero state assai prossime al valore giusto. Non solo, ma se il segno della misura fosse stata fatta con l'aiuto di un nonio centesimale - mettiamo -, allora ancora meglio per la precisione della misura.

    Insomma, tutto questo per dire che il mistero del 3,14, ossia pi greco, è legato al metafisico punto di transizione tra la morte e la vita. Il punto in cui tutto diventa infinitamente piccolo, quasi zero.

    Buon mattino, Annarita
    Gaetano

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  5. Che balordo che sono! ma tu cara Annarita mi conosci molto bene e non te la prendi se trascuro qualcosa, come nel caso di questo post. Sono stato preso per i ragionamenti e ho dimenticato di ringraziarti per la menzione sul mio e-book. Ma mi mette al sicuro il caro Archimede, ahime immerso nelle sue acute  riflessioni, che non s'avvide dell'impaziente centurione romano e fu la sua fine. Basterà un grazie anche se in ritardo e tutto si scongiura.
    Abbracci, Gaetano


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  6. Cari amici, vi ringrazio tutti di cuore, scusandomi per le mancate repliche ai vostri preziosi commenti...ma non mi è stato possibile replicare per mancanza di tempo!!!

    Gaetano non preoccuparti dei ringraziamenti. Qui sei a casa tua.

    Un abbraccio cumulativo.

    A presto!

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  7. Alla grande Davide.
    Visto come é bello giocare con i numeri ( brava Annarita )
    Avresti mai pensato che con una semplice cordicella ed un righello saresti stato in grado di ricavare un numero irrazionale speciale come il Pi grego ?
    La tua relazione é stata molto ben dettagliata e non preoccuparti se il risultato si é un po' distaccato dal 3,14....;
    credo che l'obbiettivo del gioco fosse capire il "circa".
    Come tu hai giustamente detto il Pi greco é una costante, ma una costante strana perchè la sua approssimazione é infinita.
    Consolati con il fatto che anche le migliori menti matematiche hanno cercato di catturare i segreti di questo numero speciale ed ad oggi, l'unica cosa che si riesce a fare è aumentare l'infinita sequenza dei decimali per cercare di ottenere una approssimazione più precisa possibile.
    Bravo.

    " Ma se il 3,14... é un numero irrazionale allora questo vuol dire (lo ha detto Marco N.) che la circonferenza e il suo diametro sono due grandezze incommensurabili !!!  "
    Bellissimo.
    Hai voluto prendere le distanze da Marco N. o pensi che la sua affermazione abbia un senso ?
    Io credo che il tutto dipenda da cosa si intende per  "incommensurabile " e comunque farsi delle domande non é mai sbagliato
    ( curiosità, curiosità e ancora curiosità )
    quindi un bravo anche a Marco N.

    Per Annarita solo un semplicissimo e piccolissimo abbraccio.
    Marco


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  8. davide è fatto un bellissimo lavoro per farci capire di meglio questo concetto molto importante e che ce lo trascineremo anche alle superiori.
    michela.c 3b

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