Matematicamente

sabato 17 gennaio 2009

Pi Greco: Un Numero Decimale Illimitato Non Periodico

Cari ragazzi, con voi di 2° B abbiamo trattato  i numeri razionali e quelli irrazionali, i tempi sono quindi maturi per cominciare a prendere confidenza con un numero straordinario, il pi greco,  π . Con voi di 3° B abbiamo finito la geometria del cerchio, e di pi greco ne avete sentito parlare abbastanza, ma non è mai troppo approfondirne la conoscenza! Vediamo un po’!

Pi greco è uno degli esempi più noti, se non il più noto, di numero decimale illimitato non periodico. Esso, in geometria, esprime il rapporto esistente tra la misura di una circonferenza e la misura del suo diametro.

Voi di terza avete già svolto un’attività con cui avete misurato e confrontato le circonferenze, corrispondenti a diversi oggetti fisici, e i rispettivi diametri. Con le approssimazioni, dovute agli errori di misurazione, avete ottenuto sempre un valore vicino a 3…e qualcosa.

cerchio
Ovvero il rapporto che avete ottenuto fra la lunghezza di qualsiasi circonferenza (piccola, grande e di qualsivoglia dimensione) e quella del suo diametro,  è un numero decimale illimitato non periodico, chiamato appunto pi greco:



π = lunghezza circonferenza/lunghezza diametro

Il π è un numero decimale illimitato in quanto la divisione che lo genera non dà mai resto zero. Ma soprattutto è un numero non periodico. Più precisamente è un numero irrazionale trascendente, ma il suo significato pieno lo acquisirete più avanti negli studi, quando sarete entrati in possesso delle conoscenze necessarie per comprenderlo.
Per adesso a noi interessa la sua natura di numero decimale illimitato non periodico, che lo colloca tra i numeri irrazionali pur non derivando come questi da un'estrazione  di radice  non esatta.


Procedendo con la divisione, avete visto, voi di terza, che le cifre decimali continuano a succedersi senza regolarità, cambiando imprevedibilmente.
Il calcolo di π ha sempre interessato ed affascinato i matematici di ogni tempo.


I Babilonesi, ad esempio, utilizzavano il valore 3,125 approssimando  la lunghezza della circonferenza con il perimetro dell’esagono inscritto.

Gli Egiziani, già nel 2000 a.C. utilizzavano il valore 3,16049.
Nella Bibbia si dà indirettamente un valore di π = 3 nel libro dei Re quando si descrivono le dimensioni di un grande bacino di bronzo “ di dieci cubiti da un orlo all’altro, rotondo; la sua altezza era di cinque cubiti e la sua circonferenza di di trenta cubiti” ( da questa descrizione si ricava che  π = 30/10 = 3).


Archimede, calcolando il perimetro di esagoni regolari inscritti e circoscritti al cerchio, e raddoppiando ogni volta il numero di lati, arrivò a calcolare il perimetro dei poligoni inscritti e circoscritti di 96 lati, ottenendo un valore approssimato di  π compreso fra 3,1408  e 3,1428.
La ricerca delle cifre decimali ha appassionato i matematici nel corso dei secoli e, con il passare del tempo, sono stati trovati valori approssimati di π con precisione sempre maggiore:


Nel 1579 Viète calcolò 9 decimali esatti.

Nella seconda metà del Cinquecento Ludolph van Ceulen ne trovò 25.

Nel XVIII secolo si conoscevano 140 cifre.

John Dase nel 1844 ne calcolò 205.

William Shanks nel 1853 ne trovò 607 ( scoprì solo più tardi che le ultime 80 erano sbagliate).

Quello che sorprende in questa ricerca è che tutte queste persone svolgevano i loro calcoli con carta e penna con evidente fatica e necessità di controlli per evitare errori.
L’avvento del computer ha segnato la svolta nella ricerca delle cifre decimali. A partire da Von Neumann, che ottenne 2073 cifre decimali con 70 ore di elaborazione, vennero costruiti programmi sempre più potenti fino ad arrivare al luglio del 1997 quando il matematico Giapponese Yasumasa Kanada, docente dell’università di Yokio, è riuscito a trovare la 5 539 607 552-esima cifra decimale. Il suo record è stato polverizzato da quello del francese Fabrice Bellard che, nell’ottobre del 1997, è riuscito ad ottenere la trilionesima cifra decimale.

Nel 1999, utilizzando il sistema di numerazione binario e senza calcolare nessuna delle cifre decimali precedenti, il matematico Percival ha ottenuto una precisione di 40 000 000 000 000 cifre decimali.

Per capire quanto lungo è questo numero basta pensare che se ciascuna cifra occupa un millimetro, la catena delle cifre decimali si estende per 51 milioni di chilometri!



spiraleE adesso alcune curiose tecniche per memorizzare il pi greco.

1) "Tre imperfettibile è degno archetipo di quella serie che svela, volgendo circolare, mirabil relazione".

2)" Ave o Roma, o madre gagliarda di latine virtù, che tanto luminoso splendore prodiga spargesti con la tua saggezza".

Contando le lettere di ogni parola della frase si individuano le prime 14 (e 19 nel secondo caso) cifre decimali di π: 3,14159265358979.

Una forma mnemonica più avanzata è "Che n'ebbe d'utile Archimede, da ustori vetri, sua somma scoperta? Umanitade incerta, infantile, che ad ogni progenie vede negato il divin vero. Ma non combatte già la terrema fragilità."

Altre curiosità legate alla cultura del pi greco.

- Il 14 marzo si celebra il "giorno di pi greco", in quanto nella sua scrittura anglosassone (3/14) esso ricorda l'approssimazione più comune di π. Come giorno dell'approssimazione di pi greco si è proclamato il 22 luglio, in quanto 22/7 è una frazione molto semplice che fornisce un'accettabile approssimazione per il rapporto fra una qualsiasi circonferenza e il suo diametro.

- Tracciando una linea che divide a metà il numero 113355\, si otterrà un rapporto molto vicino al valore di \frac{1}{\pi}, precisamente   \frac{113}{355}=\frac{1}{3,1415929}

Si tratta della miglior approssimazione razionale con meno di cinque cifre nel numeratore e nel denominatore.

- Sebbene sia diffusamente riconosciuta la denominazione "pi greco", è grammaticalmente più corretta la forma "pi greca". Infatti, le lettere vengono considerate di genere femminile: così come diciamo la alfa, la beta e non il alfa e il beta, dovremmo dire la pi e per concordanza quindi, la pi greca.


Siti sulla storia di π








Alcuni siti ove è possibile convertire le cifre del pi greco in una sequenza musicale.

Possiamo ascoltare la musica collegandoci a questi link, dove vengono illustrati anche i vari metodi adottati per la conversione.




Il sito offre anche la possibilità di comporre delle personali musiche del pi greco.




Un sorprendente chorus pi giapponese.




La sinfonia del pi greco, la π - phony


Insomma ragazzi, avrete un po' di tempo da spendere per leggere e visitare i link. 



15 commenti:

  1. Un numero veramente misterioso che non può non sorprendere soprattutto se trattato così con tanti link e riferimenti. grande prof.

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  2. Ciao Annarita, prima delle vacanze di Natale, a scuola, abbiamo proprio studiato il cerchio e anche il pi greco.... Complimenti fantastico articolo


    A presto

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  3. Matteo, grazie pure a te dell'apprezzamento.


    Bacione

    annarita

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  4. Grazie dell'apprezzamento, Enzo.

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  5. bello,bello,bello

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  6. A volte mi chiedo: Cosa c'è di misterioso nei numeri, e perché deve essere tale? Mah! I misteri della matematica.


    Rino, ignorante.

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  7. Rino, non c'è poi tanto di misterioso nei numeri e nella matematica quanto piuttosto molto di affascinante:)

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  8. T3rminator, grazie, grazie, grazie;)

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  9. :) Anche le canzoni?


    Sei sempre così completa ;)


    Un abbraccio, peccato non averti incontrata sette lustri fa, quando cioè facevo medie io :)))


    Un abbraccio,





    Bruno

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  10. Caro Bruno, sette lustri fa sarebbe stato veramente improbabile!;)

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  11. Cara Annarita,

    ho curiosato nel tuo ultimo link e presa dalla curiosità sono arrivata al Pi greco.

    "Sebbene sia diffusamente riconosciuta la denominazione "pi greco", è grammaticalmente più corretta la forma "pi greca". Infatti, le lettere vengono considerate di genere femminile: così come diciamo la alfa, la beta e non il alfa e il beta, dovremmo dire la pi e per concordanza quindi, la pi greca"

    credo che in matematica si usi il maschile perchè in generale nelle frasi dove si legge "pi greco" ci si riferisce al "numero" che nella proposizione è sottinteso.

    Tipo: dividete per pi greco, moltiplicate per pi greco.
    In realtà sarebbe: dividete per il numero pi greco, moltiplicate per il numero pi greco.

    Essendo numero un sostantivo maschile ecco che anche il suo attributo pi diventa maschile.

    La lettera è come dici tu femminile. Infatti noi usiamo dire "3,14 si indica con la lettera pi greca" e poi disegnamo la "p" greca.

    Del resto parlando di angoli si dice "l'angolo alfa è acuto" e sottintendendo l'angolo si dice anche "alfa è acuto, beta è ottuso"

    Mentre diciamo "indichiamo gli angoli dei triangoli con lettere greche. Con la lettera alfa...etc etc"

    Se poi si pensa alla costante 3,14 e tanti miliardi di cifre, alora qui veramente forse si dovrebbe utilizzare pi grecA, perchè la costante è femminile!!!!

    Fammi sapere che ne pensi

    Elena

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  12. Elena, il tuo ragionamento è quello effettuato comunemente e in base al quale utilizziamo la dicitura il pi greco. D'altronde, come vedi, nel titolo utilizzo anch'io la stessa dicitura.

    Il fatto è che, a mio avviso opinabile, si identifica impropriamente la lettera con il numero. Il numero rimarrebbe sempre 3,14... anche se lo chiamassimo gelsomino, nel senso che il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro è sempre quel numero costante irrazionale trascendente.

    Il rappresentarlo simbolicamente con la lettera pi greca è come sappiamo puramente convenzionale. In questa convenzione, si dovrebbe dire in modo grammaticalmente più corretto pi greca.

    Ovvero, quando noi diciamo: dividiamo o moltiplichiamo per pi greco sottintendendo "numero" e accordando l'attributo con esso è come se dicessimo moltiplichiamo e dividiamo per il numero pi greco che linguisticamente suonerebbe anche come per il numero greco pi!!!

    Che senso ha? La concordanza linguistica dovrebbe rimanere con la lettera pi perché essa è un simbolo greco e non il numero.

    In ogni caso, è il mio pensiero di cui sono ahimé convinta. Questa cosa è stata messa comunque nelle curiosità legate al pi greco per attribuirle un significato di leggerezza.

    Salutoni
    annarita

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  13. "Questa cosa è stata messa comunque nelle curiosità legate al pi greco per attribuirle un significato di leggerezza"

    heheheh, e sicuramente ci sei riuscita. Nel senso che mi capita spesso, facendo molta matematica (correggendo, inventando compiti) di stufarmi un po' della matematica, infatti come già ti dicevo evado fantasticando storie d'avventura.

    L'ultima cosa a cui avrei pensato questa domenica è certamente pi greco. Ma tu mi ci hai fatto pensare per un bel po'. Questo è molto positivo, credo che ai ragazzi capiti la stessa cosa e se possono fare allacciamenti trasversali lo studio è più leggero.

    Pensa ad esempio ad un ragazzino che ha spiccate capacità linguistiche e difficoltà in matematica. Un ragionamento del genere potrebbe stuzzicarlo non poco e in qualche modo far sì che lui pensi a pi greco.

    Ho capito il tuo punto di vista, però non ne sono assolutamente convinta. Comunque forse ti farà fare un sorriso il fatto che io addirittura mi stia ripassando l'analisi logica e grammaticale per capire (ci rido su anche io) e prometto che sentirò la mia collega latinista per chiedergli se sia giustificabile usare pi greco maschile o se effettivamente sia una sconceria grammaticale....

    e poi ti farò sapere il suo parere...

    Un grosso abbraccio e complimenti per questo giro a 360° del pi greco, mi è davvero piaciuto!

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  14. si si, eheheheh, sono io che per scherzare ho usato "sconceria grammaticale" l'espressione mi faceva sorridere, la sento usare spesso dai miei colleghi di italiano che correggono compiti e l'ho spudoratamente copiata..

    baci baci

    Elena

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