Matematicamente

lunedì 6 agosto 2007

M.C.D ed m.c.m: ripassiamo velocemente!

Per i ragazzi delle future classi seconde: ripassiamo sinteticamente due operazioni aritmetiche molto importanti, che utilizzeremo di frequente anche in futuro. Sono pregati di prestare particolare attenzione coloro che all’epoca hanno incontrato maggiori difficoltà a comprendere ed applicare l’algoritmo

Il  Massimo Comune Divisore

Consideriamo i numeri 30 e 40.

I divisori di 30 sono: 1,2,3,5,6,10,15,30

I divisori di 40 sono:1,2,4,5,8,10,20,40


Sono stati evidenziati in rosso i divisori comuni a 30 e 40 che sono:1,2,5,10. Tra questi, 10 è il più grande; esso viene perciò chiamato massimo comune divisore e si indica con MCD.

La notazione in uso è: MCD(30;40) = 10.

Regola pratica per calcolare il MCD.

Il MCD fra due o più numeri è il prodotto dei soli fattori comuni, ognuno preso una sola volta con l’esponente più piccolo.

Questa regola è basata sulla fattorizzazione o scomposizione in fattori primi

ESEMPIO: scomponiamo 12 e 30 in fattori primi mettendo in colonna i fattori comuni.

1222 ·3
302 · 3 ·5


Le colonne “piene” individuano i fattori comuni,in questo caso 2 e 3, prendendo poi ciascun fattore con l’esponente più piccolo, troviamo che il

MCD(12;30)= 2 . 3 = 6

Se il MCD fra due numeri è 1, allora l’unico divisore comune è 1. In questo caso i due numeri vengono detti primi tra loro.


Per esempio MCD(15;16)=1, quindi 15 e 16 sono primi tra loro.

Il  minimo comune multiplo

Consideriamo di nuovo i numeri 30 e 40.

I multipli di 30 sono: 30,60,90,120,150,180,…

I multipli di 40 sono: 40,80,120,160,200,240….

Il più piccolo multiplo che i numeri 30 e 40 hanno in comune è 120, esso viene perciò chiamato minimo comune multiplo e si indica con m.c.m.

La notazione usata è: mcm(30;40) = 120.

Regola pratica per calcolare il m.c.m

Il mcm fra due o più numeri è il prodotto di tutti i fattori, comuni e non comuni, ciascuno preso una sola volta con l’esponente più grande.

Anche questa regola è basata sulla scomposizione in fattori primi.

ESEMPIO: scomponiamo 9 e 42 in fattori primi mettendo nella stessa colonna i fattori comuni.

9 =       32
422 ·3 ·7 


I fattori comuni e non comuni sono 2,3 e 7 , moltiplicando poi questi fattori con i rispettivi esponenti più grandi troviamo che il mcm è

2 ·32 ·7  = 126.

Mi auguro che troviate chiaro questo breve ripasso. Naturalmente, svolgete gli esercizi che vi ho assegnato sul manuale di aritmetica.

A presto

90 commenti:

  1. grazie, prof! A me questo ripasso torna proprio utile. Sto iniziando a svolgere gli esercizi sul MCD e mcm, che ci ha assegnato.

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    Risposte
    1. anche per me stato facile grazie

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  2. 'sto ripasso capita prorpio a fagiuolo!

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  3. Grazie proff. mi è servito molto questo ripasso sul MCD e mcm per eseguire gli esercizi!!!


    Alessandro Cruciani

    Futura classe 2B

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    Risposte
    1. grazieeeee ........ mi serviva proprio prof....... hahahah pero sogno ancora le vacanze ?? bhe.... io si

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  4. bene ragazzi! Lo scopo del ripasso di MCD e mcm è proprio quello di tornarvi utile!


    A presto:-)

    E per qualunque difficoltà postate le vostre richieste mediante i commenti! OK?

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  5. Buongiorno prof questo blog se devo dire la verità è fantastico, perchè ho notato che è difficile mantenerlo e soprattutto mi ha incuriosito Albert Ainstain.

    ARRIVEDERCI!!!!!!!!

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  6. I numeri principi sono molto interessanti ma è vero che sono numeri primi, perchè c'è molta differenza fra le due parole, arrivederci

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  7. è vero che quest' hanno ci sentiamo più sicuri e non abbiamo più il terrore del primo giorno di scuola comunque non siamo neanche tranquilli come a casa!!!!!!!

    ARRIVEDERCI

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  8. Prof,una spiegazione così del MCD e mcm in questo momento è davvero troppo utile, perchè con il ritorno dalle vacanze siamo "ricoperti di ruggine"....... Perciò questo ripasso è dato nel momento giusto..... Grazie!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    Marica S.

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  9. Grazie ci sarà utile per ripassare per la prossima interrogazione.

    Federico Z.

    2B

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  10. salve prof mi serviva proprio una ripassatina alle potenze!!!!

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  11. Grazie prof. per questo ripasso che ci ha concesso che veramente molto utine con cui potremmo venire più preparati alle sue lezioni.....

    Lisa M.

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  12. scusi prof volevo dire M.C.D. & m.c.m.

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  13. Prof,ci sarà molto utile il ripasso del MCD e mcm

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  14. Questo ripasso ci è stato molto utile per fare un ripasso approfondito sulle conoscenze effettuate l'anno precedente ma che,durante l'estate abbiamo arrugginito un po'.

    Debora G. e Gloria G. 2b

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  15. ma posso generalizzare in

    mcm(a,b) = a*b / MCD(a,b)

    ?

    l esempio che ha messo lei sull mcm nn mi convince,

    voglio dire vorrei vedere casi piu particolari 30 e 40 si vede gia che sono 3*10 e 4*10, allora prendo MCD(3,4)=1 sicuro fasccio 3*4*10

    ha senso? questo torna con la formula che ho scritto mcm(30,40)= 1200 / 10 = 120, ma per esempio

    un caso dubbio per me e

    mcm(3,6)=6 possibile? dico 6 e un multiplo del 6?dico posso considerare 6 come multiplo di 6 nel senso 6*1,vero ma ={Z}, quindi e l identita e se non sbaglio non sarebbe concesso fare 6*id per dichiarare un multiplo perche sarebbe fare un operazione con l identita nel gruppo (z,1,*)...

    mi sono perso un po nella domanda :D spero mi capisca

    Hulio91

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  16. @Hulio91: benvenuto! Direi che ti sei perso un po' nella domanda!;)


    Perché i numeri 30 e 40 non ti convincono?


    Devi considerare che l'esempio è riferito a ragazzini di 11 anni, che non di rado hanno difficoltà con le tabelline...

    Il mio compito è puntare ad una didattica adeguata all'eta considerata affinché il concetto passi. In un secondo momento, si possono fare altre considerazioni e ricorrere a numeri diversi e a casi più particolari.


    Non posso considerare quelle che a questa età sarebbero delle elucubrazioni mentali!;)


    Non si può ricorrere ad un formalismo incomprensibile a ragazzi undicenni.



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    Risposte
    1. grazie a te mi sono preparata per la verifica sul m.c.m e M.C.D.
      e ho preso 8 quindi grazie di cuore prof




      miry

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  17. finalmente ho capitooooo!!!!!!!!!!!!!

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  18. @commentatore anonimo n.17:meno male!!!


    Scrivi il tuo nome la prossima volta, per piacere:)

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  19. grazie è stato molto utile

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  20. Ok, commentatore anonimo n.19!!!


    Lasciare una firma, no! Eh?

    RispondiElimina
  21. grazie proff. grazie mille mi è servito molto per svolgere i compiti ciaoo

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  22. commentatore n.21: ne sono contenta!:)

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  23. Grazie Professoressa... io sono uno studente delle serali e la sua spiegazione mi ha aiutato!! :-)

    Gaetano

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  24. Caro Gaetano, ne sono felice. Ti faccio un grosso in bocca al lupo per i tuoi studi...e se dovessi aver bisogno di qualche altro aiutino, non esitare. Sarò ben lieta di dedicarti qualche lezione specifica.

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  25. Grazie mille, un ripasso serve sempre, soprattutto se devi riprendere questi argomenti dopo ben 10aa...

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  26. Commentatore n. 25., non c'è di che! Felice di essere stata utile:)

    RispondiElimina
  27. grazie prof è stato utilissimo


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  28. Guardi io non la conosco....

    io ho 11 anni e faccio prima media e domani ho una verifica di aritmetica..

    sfortunatamente io non ero in classe

    quando l'hanno fatto..ma dev dire ce qesto blog è stupendo ed utilissimo io ora l'ho capito prima non sapevo manco cosa fosse.......

    gazie per aver pensato a noi ragazzi!!!

    RispondiElimina
  29. Alunno undicenne, che domani ha la verifica di aritmetica, sono contenta che il blog ti sia stato di aiuto.


    In bocca al lupo per la verifica di domani;)


    Se dovessi avere bisogno di qualche dritta, fallo sapere nei commenti.


    prof. Annarita

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  30. grazie mi è servito molto questo sito.

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  31. Commentatore n. 30, mi fa piacere che il sito ti sia stato utile.


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  32. grz a qst sito passero l'esame di matematica yuppieeeeeeeeee

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  33. Grazie prof ma come si svolgono l'MCD e mcm in albero ?? Grazie mille se riesce a rispondermi

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  34. anonimo 33, la tua domanda probabilmente non è ben posta! Forse ti riferisci alla fattorizzazione dei numeri espressa con i diagrammi ad albero?


    Fammi sapere

    RispondiElimina
  35. salve Prof la ringrazio x i blog e aiuti scolastici che mettete su internet perchè mi sono davvero utili quando ce ne è bisogno

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  36. Commentatore n. 35, sono contenta di essere di aiuto:)


    A presto!

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  37.  mi hai salvato la vita

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  38. SCUSATE MI FATE QUESTE COSE
    : 900-400
    :180-224
    :1476-984
    GRZ  ........VI AMO

    RispondiElimina
  39. grazie x la rinfrescata ...................bellissimo sto' sito a presto

    RispondiElimina
  40. Molto interessante e ben strutturata questa pagina.
    Sicuramente utile per ben comprendere le modalità di calcolo per trovare mcm e MCD.
    Se può interessare, solo dopo aver ben compreso le lezioni del prof, come verifica dei vostri esercizi, potete usare questo programma:
    mcm MCD
    Se rimanete soddisfatti potete provare anche le altre utility presenti sul mio sito, tutte con attinenza con la matematica.

    PS: Importante non pensare di risolvere gli esercizi o le lezioni usando le mie utility; studiate, esercitatevi, i miei programmi dovrebbero servirvi solo per verificare che gli esercizi svolti sono più o meno corretti.
    Complimenti al prof.
    W la matematica.
                                          Marco

    RispondiElimina
  41. Ragazza del commento n. 45, provo a spiegarti cosa devi fare. per trovare il MCD e il mcm, devi prcedere in questo modo.

    Scompini in fattori primi il 60 e l'84 in questo modo:

    60 : 2 = 30

    30: 2= 15

    15: 3= 5

    5 : 5= 1

    Poi conti tutti i divisori: 2 - 2- 3 - 5 e li raggruppi in modo da scrivere il 60 come loro prodotto

    60 = 2^2 x 3 x 5 che sono i fattori primi cercati    2^ 2 significa 2 con esponente 2.

    Fai la stessa cosa con 84.

    84 : 2 = 32

    42:  2 = 21

    21 : 3 = 7

    7 : 7 = 1

    I divisori di 84 sono : 2 - 2-3- 7

    Li raggruppi e scrivi 84 = 2^2 x 3 x 7


    Poi  osservi i fattori di entrambi i numeri

    60 = 2^23 x  5

    84 = 2^2  x 3 x  7

    Osserva soltanto i fattori comuni  che hanno l'esponente più piccolo, per calcolare il MCD, e li prendi.

    MCD (60; 84) = 2^2 X3 = 4 X 3 = 12

    12 è il MCD.

    Per il mcm devi considerare sia i fattori comuni che quelli non comuni con il max esponente.

    60 = 2^235

    84 = 2^2  x 37

    mcm (60; 84) = 2^235 x 7 = 4 x 3 x 5 x 7 = 420

    420 è il mcm.

    Spero di essermi spiegata. Nei commenti non ci sono gli strumenti grafici per esprimere bene i passaggi. le divisioni successive, per esempio, le puoi effettuare scrivendo com la linea verticale in un unico blocco, come vedi sul libro a scuola.




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  42.  beh..io ho da fare numeri complicatissimi..non ci capisco niente.

    RispondiElimina
  43. voglio sapere come si fanno i problemi con il mcm e con il MCD

    RispondiElimina
  44. voglio sapere come si fanno i problemi con il mcm e il MCD

    RispondiElimina

  45. Luna e company questo non è un servizio a domicilio, ma un blog didattico.

    Mi dispiace. Leggi eni commenti capirai come si trova il mcm e il MCD dagli esempi già fatti.

    RispondiElimina
  46. salve. sono un padre che si sente un cretino a non riuscir a rispiegare ad un figlio che frequenta la prima media cose che dovrebbe già sapere.
    Le chiedo un aiuto, se la cosa non le ruba molto tempo,  a capire  cosa siano mcm e mcd e come si ottengano con il metodo della scomposizione.
    sono riuscito a mente a ricavare mcd di numeri semplici a mente ma con la scomposizione non riesco a coglierne il meccanismo di calcolo. ad esempio:
    tra 24 e 36 .... so che scomponendo ottengo
    2alla 3 x3 e 36  2 alla 2 x3alla 2 il ragionamento che ho fatto mi porterebbe a fare:
    2alla 3x3x2alla3x3=
    8x3x8x3 il che è errato!
    so che l'mcm è 72 e l'mcd è 12,
    nebbia torale. 
    grazie

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  47. Buongiorno! Mia figlia fa la prima media e tra breve avrà una verifica con dei problemi basati sul M.C.M. e sul m.c.m. Io la sto aiutando nei compiti ma ho imaparato a farli insieme a lei. Potrebbe darci qualche dritta a livello di spiegazione, trovando chiavi di lettura o meglio delle strategie per sapere quando bisogna risolverli con uno piuttosto che con l'altro?
    Spero di essermi spiegata, grazie. (comunque ci è già stato di aiuto). A presto Martina 

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  48. potete mettere degli esercizi?

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  49. Anonimo 56  se leggi il commento precedente al tuo, troverai il link ad alcuni problemi con il MCD e il mcm.

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  50. Commentatrice n.58, mi fa molto piacere. In bocca al lupo per la conclusione dell'anno scolastico;)

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  51. oggi le spiegazioni che ho trovato sul tuo blog, mi sono stati utili per aiutare una bambina che ha problemi in matematica, tieni conto che sono una semplice laureanda in scienze dell'educazione che gli piace la matematica. grazie Antonella

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  52. Antonella, non c'è di che! Mi fa molto piacere.

    Buon lavoro!

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  53. La ringrazio anche se non sono suo alunno.
    Faccio parte del 1° liceo e mi serviva un ripasso!!!

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  54. @commentatore n.63: mi fa piacere di esserti stata utile. In bocca al lupo per gli studi!

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  55. Davvero interessante questo sito!! Se tornassi indietro di qualche anno, quando la matematica era per me un buco nero, mi piacerebbe trovarne uno come per caso ho fatto oggi.. è stata una bella idea la sua, prof! In questo modo molti ragazzini che di matematica ci capiscono poco e niente e come lei ben saprà sono un'infinità, potranno trarre beneficio dalle sue spiegazioni riassuntive. Ci fossero piu professori interessati al bene dei propri studenti come lei, a quest'ora non ci sarebbero tanti allievi pieni di lacune, nei licei! Quindi le faccio i miei complimenti!! Arrivederci  Elisa, 4 anno di liceo classico europeo

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  56. Elisa, ti ringrazio molto delle belle parole nei confronti del mio impegno.

    Ti auguro successo nei tuoi studi.

    Un caro saluto!

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  57. Si figuri! Anche io le auguro buon lavoro, sperando che passi presto il subbuglio causato dalle nuove riforme e dai tagli sull'istruzione apportati dall'attuale governo che quindi causano disagi a voi insegnanti e in generale al mondo della scuola! Un saluto anche a lei. Con stima, Elisa

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  58. Grandioso! Davvero interessante! Ho dato un'occhiata superficiale perchè ahimè sto passando le mie ore a studiare, ma di certo appena avrò un attimo in cui potrò respirare e alzare la testa dai libri leggerò tutto! Penso proprio che continuerò a visitare il suo blog perchè è pieno di risorse, sul serio! comunque a proposito della fisica ieri ho avuto un'illuminazione.. sta diventando affascinante e mi sto appassionando a questa materia che fino all'anno scorso il solo nominarla era tabù! E questo è davvero importante per una futura studentessa della facoltà di medicina! quindi "Il carnevale della fisica" capita a fagiolo per leggere e imparare cose nuove! E magari continuare a migliorare l'approccio con la fisica! Grazie professoressa

    RispondiElimina

  59. Beh grazie infinite! Comunque ho letto l'intervista e viene da li parte del mio commento precedente, mi ha fatto riflettere. Concordo pienamente con Marco, in tutto e per tutto! Continuerò a frequentare i suoi blog su cui lavora con tanta cura. A presto,sicuramente!

    RispondiElimina
  60. prof,per favore mi spiega cm si fa il m.cm scomponendo i fattori ???grazie!!!
    le sn molto grata.

    RispondiElimina
  61. Salve Dott.ssa Annarita

    Oggi mi è stata di grande aiuto!
    Nel pomeriggio faccio un po' di ripetizioni a mio nipote di prima media sui MCD e mcm .

    Grazie ai Suoi metodi semplici e chiari potro' chiarire eventuali dubbi e prepararlo alla perfezione!

    Ottima idea questo sito.. non solo per i suoi alunni ma per tutti quei ragazzi che hanno bisogno di un aiutino di matematica, quando sono a casa!

    Buon lavoro
    Olimpia (zia di Niki)

    RispondiElimina
  62. Sono una di 1 media domani ho una verfica su queste cose.... HELP ME!!

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  63. voi siete bravi per aiutare le persone sul blog, ma io desidero dei test sulle seguenti frazione : APPARENTI PROPRIE IMPROPRIE COMPLENTARI EQUIVALENTI E LE UNITà FRAZIONARIE !!!!!!! UN BACIO BY GIULIETTA AAAAAAAA !!! (l) (l) (l) :-)

    RispondiElimina
  64. non si capisce niente

    RispondiElimina
  65. Mi dispiace per te, commentatore numero 79. Vuol dire che sei molto indietro...
    Ti consiglio di applicarti a scuola e di chiedere chiarimenti al tuo insegnante.

    Buono studio.

    RispondiElimina
  66. io non ho capito bene la scomposizione in fattori primi

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  67. commentatore n.81, se non hai capito la scomposizione in fattori primi non potrai neanche comprendere il MCD e il mcm.

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  68. oggi ci faccio l'esame grazieeee mille

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  69. ciao grazie e stato molto utile

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  70. grazie prof mi servira per quest'anno 1D

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  71. Questa ripetizione mi ha chiarito proprio le idee! :)

    RispondiElimina
  72. GRAZIE PROF PER QUESTO POST MI HA AIUTATA IN UN ESERCIZIO :)

    RispondiElimina
  73. Mi fa piacere, Valeria.

    A presto:)

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  74. e bonnisimo questo ripasso gratie mille

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  75. Grazie davvero!!ho una verifica domani e mi serviva questo ripasso!!!

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    Risposte
    1. Mi fa piacere! Ti auguro che la verifica sia andata bene. ☺

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  76. Grazie alla vostra eccezionale spiegazione sull'M.C.D e il M.C.M ho preso 9 al compito di matematica!! ♥ grazie mille!

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    Risposte
    1. Mi fa molto piacere! In bocca al lupo per i prossimi compiti di matematica. ☺

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  77. Grazie mille a tutti voi professori mi siete stati utili io prima non ci capivo nulla

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  78. Grazie mi e servito molto questo ripasso soppratutto perche domani ho un compito su questo

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  79. Grazie mi e servito molto questo ripasso soppratutto perche domani ho un compito su questo

    RispondiElimina
  80. Grazie mi e servito molto questo ripasso soppratutto perche domani ho un compito su questo

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  81. Mi chiamo Barbara e supporto i ragazzi nelle materie linguistiche e letterarie.Le materie scientifiche non sono mai state il mio forte ..ma per necessità ho dovuto riprenderle..e con un po'di impegno Ho raggiunto buoni risultati. ...e questo sito mi è servito molto..grazie

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Non c'è di che! Lieta di essere stata utile.

      Elimina

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