Matematicamente

domenica 4 maggio 2008

I Criteri Di Divisibilita' per 2, 3, 5, 9, Con Esercizi

Cari ragazzi, amici e lettori,
come seguito del post su “Multipli E Divisori Di Un Numero Naturale”, ecco a voi  un secondo articolo di Filippo M. e Manuel M. sui criteri di divisibilità.
Ragazzi vi siete impegnati molto, pertanto voglio dirvi: “Bravi”

                                                                        *****
Dalla lezione, svolta in classe, abbiamo compreso che:
I criteri di divisibilità sono delle regole che permettono di verificare la divisibilità di un numero per un altro numero,  senza eseguire esplicitamente la divisione.

Per la precisione, consistono in una serie di operazioni da svolgersi  sulle cifre che compongono il numero. Tali operazioni dovrebbero essere sufficientemente semplici da potersi fare a mente o, comunque, essere più rapide rispetto alla divisione.
In definitiva, abbiamo compreso che  i criteri di divisibilità costituiscono un modo per snellire di un bel po’ la ricerca dei divisori di un numero. La prof. ci anticipa che utilizzeremo i criteri di divisibilità nella scomposizione di un numero in fattori primi.
Iniziamo con il criterio di divisibilità  più semplice.
- Criterio di divisibilità per 2
Abbiamo considerato alcuni multipli di 2:
M(2) = [ 2, 4, 6, 8, 10, 22, 34, 46,…]
La prof. ci ha fatto riflettere sul fatto che essi sono tutti numeri pari, per cui abbiamo dedotto che:
Un numero è divisibile per  2 se termina con una cifra pari (ricordiamo che lo zero è considerato un numero pari)
ESEMPI:
14 è divisibile per 2
23 non è divisibile per 2
- Criterio di divisibilità per 5
La prof. ci ha fatto considerare alcuni multipli di 5:
M(5)= [5, 10, 15, 20, 25, 30, 35…]
Avendo notato che tutti i numeri terminano per cinque o per zero, abbiamo concluso che:
Un numero è divisibile per 5 se termina con zero o con cinque.
ESEMPI:
55 è divisibile per 5 perché termina con cinque
60 è divisibile per 5 perché termina per zero
37 non è divisibile per 5 perché non termina né per cinque né per zero.
- Criterio di divisibilità per 3 e per 9
La prof. ci ha fatto considerare  alcuni multipli di 3 (li ha scelti appositamente):
M (3)= [ 3, 6, 9, 12, 24, 36, 90,…132,…222, …351]
E alcuni multipli di  9:
M(9)= [9, 18, 27, 36, 90, …369,…432,…8919]
Per i numeri sino a due cifre, è stato facile  verificare la divisibilità per 3 e per  9; poiché per quelli con più di due cifre, non eravamo convinti che fossero multipli di 3 e di 9, la prof. ci ha fatto eseguire la divisione in colonna. In tutti i casi considerati, il resto ottenuto era 0.
Abbiamo osservato che i numeri sopra elencati possono essere sia pari che dispari, perciò la tipologia pari/dispari non è un elemento discriminante ai fini della loro divisibilità per 3 (o per 9).
Dopo varie considerazioni, qualcuno di noi ha osservato che, nel caso dei multipli di 3, la somma delle loro cifre è sempre un multiplo di 3.
A questo punto, abbiamo verificato che anche i multipli del 9, sopra considerati, si comportano allo stesso modo.
Siamo, quindi, giunti alla conclusione che:
Un numero è divisibile per  3 (o 9) se la somma delle sue cifre è multiplo di 3 (o di 9):
ESEMPI:
12 è divisibile per 3     perché 1+ 2= 3
24 è divisibile per 3     perché 2+ 4= 6
3 e 6 sono multipli di 3.
16 non è divisibile per 3    perché  1+6= 7 , che non è multiplo di 3
18 è divisibile per 9  perché 1+ 8= 9
369 è divisibile per 9 perché 3+ 6+ 9= 18
9 e 18 sono multipli di 9.
457 non è divisibile per 9    perché  4+5+7= 16
16 non è multiplo di 9
Abbiamo, infine, osservato che quando un numero è divisibile per 9 lo è anche per 3, mentre non vale il viceversa.
Osservate un po’:
18, 27, 36, 54, 63 si trovano sia nella tabellina del  9 che del 3;
6, 12, 24 si trovano soltanto nella tabellina del 3!
Per finire, vi proponiamo alcuni esercizi (che anche noi abbiamo svolto) mediante i quali potrete verificare la vostra comprensione di quanto esposto.
Esercizi
n.1
Un numero è divisibile per 2 se:
a.Una delle sue cifre è  pari;
b.la sua ultima cifra è pari;
c.ha un numero pari di cifre.

n. 2
Un numero è divisibile per 3 se:
a.la somma delle sue cifre è un multiplo di 3;
b.la differenza delle sue cifre è un multiplo 3;
c.termina con le cifre 3, 6, 9.

n. 3
Un numero è divisibile per 5 se:
a.La somma delle sue cifre è un multiplo di 5;
b.ha come ultima cifra il numero 0 oppure 5;
c.la differenza tra le cifre di posto dispari e quelle di posto pari è multiplo di 5.

n. 4
Sottolinea tra i seguenti numeri quelli che sono divisibili per 2:
6, 9, 11, 16, 28, 33, 44, 50, 194, 348.
n. 5
Sottolinea tra i seguenti numeri quelli che sono divisibili per 3:
5, 6, 21, 22, 23, 30, 33, 45, 69.
n. 6
Sottolinea tra i seguenti numeri quelli che sono divisibili per 5:
6, 10, 15, 20, 22, 23, 30, 33, 35, 47, 51, 60.
n. 7
Scrivi al posto dei puntini una cifra tale da rendere il numero divisibile sia per 3 che per 9.
3…; 10…; ….1; …71; …56; 4…2; 1…27; …57; 77…
Potete scaricare il .pdf di questo articolo cliccando qui.

Alla prossima!
Finito l'articolo dei ragazzi, intervengo per segnalare alcune utili risorse reperibili in rete:



Software sulla divisibilità, da scaricare e installare sul pc >>
______________________________

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- I numeri naturali e la loro rappresentazione grafica
- Tabelline e Didattica
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21 commenti:

  1. complimenti professoressa, è lodevole spendere del tempo extra-curriculare per coinvolgere gli studenti, non è da tutti! e il blog è un'idea perfetta e moderna, nonchè utile. Talvolta, per far interessare i ragazzi, serve fare "i fuochi artificiali"...ma i suoi alunni sono fortunati, spero se ne rendano conto!

    . Gaia .

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  2. Gaia, benvenuta e grazie dell'apprezzamento, chiunque tu sia:)


    Spero che visiterai ancora questo blog.


    A presto!

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  3. Bravi Manuel e Filippo!^^ Bravissimi!!! =)


    Miriam A.

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  4. Mi trovo per caso a passare di qua e non posso fare a meno di complimentarmi per lo splendido lavoro svolto su questo blog.


    Uno studente di Matematica

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  5. @Godeliano: benvenuto e grazie mille!


    E' un piacere constatare che ci sono studenti appassionati di Matematica.


    Ho fatto un salto sul tuo blog: interessante e originale.


    Torna a trovarci quando vuoi:)


    A presto!


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  6. Filippo e Manuel, che lavorone! Bravi, continuate con i vostri articoli.


    Certo che siete fortunati ad avere una prof. come la vostra!


    Ruben

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  7. Grazie a voi tutti per i complimenti e sono sicuro come ha detto il signor Ruben80 che io e la mia classe siamo fortunati ad avere una prof. che ci coinvolge nel mondo dei blog e ci fa elaborare testi studiati per l'interesse di tutte le persone che vengono a vedere il nostro blog.


    Un saluto(=

    Filippo M.

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  8. Che bella ripassatina, ne avevo bisogno. Grazie, prof.

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  9. @Filippo: mi fa piacere che tu pensi queste cose:)


    @Enzo: rallegrata di esserti utile:)


    Un abbraccio

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  10. Oggi io, che in matematica sono un asino patentato, ho fatto un bel ripasso: sul blog di Giovanna ho rivisitato i numeri primi e sul tuo i criteri di divisibilità. Un caro saluto, Fabio.

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  11. Fabio, che piacere, sapere che hai fatto una "ripassata" grazie all'articolo dei ragazzi. Si sentiranno molto orgogliosi di ciò:)


    Un abbraccio.

    Annarita

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  12. queste regole le conoscevo bene, quello che mi ha sempre incuriosito è la DIMOSTRAZIONE del criterio di divisibilità per 3: esiste?

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  13. Ciao, Annarita,

    Ti ringrazio ancora per avermi incluso nel meme. E io non posso non citare questo tuo blog: http://salvomenza.wordpress.com/2008/05/08/6-blog/


    A presto

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  14. @nailinhands: sì, esiste la dimostrazione.


    La trovi qui:


    http://it.wikipedia.org/wiki/Criteri_di_divisibilit%C3%A0#Divisibilit.C3.A0_per_3

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  15. Salvo, ma che fai! Mi mandi in loop il meme?;)

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  16. 18 è divisibile per 9 perché 1+ 8= 9,

    ma 18 vien gia da se,dico e un multiplo della tabellina da 3*1,...,3*10,

    magari un 14837 , controllo ogni cifra

    lo vedo come 7+30+800+4000+10000

    verifico tutte le cifre [7]3+[30]3+[800]3+[4000]3+[10000]3 =

    1 + 0 + 2 + 1 +1 = 5 = [5]3= 2 e diverso da 3

    allora non e divisibile....


    .Daniel.

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  17. @Daniel: benvenuto e grazie del commento!:)

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  18. le spiega le potenze

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  19. Buongiorno a tutti:

    Vedo che le regole sono molto semplici da capire visto che i criteri gli ho capiti al volo da qui quando non sono riuscita a recuperare le regola scritte sul quaderno quando ero assente a scuola...con queste regole per me è stato facilissimo svolgere molte fattorizzazzioni ossia la scomposizione di numeri in fattori primi...senza fatica e impiego di molto tempo.


    Ottimo modo per far imparare i criteri di divisibilità...

    Ciao.

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  20. grz 1000... domani ho il compit di mat. e questa pag mi ha aiutato molt grz e vi ricordo ke sn la + bll dll ragazze esistenti al mondooo un kisssss

    ciaooooo
     

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  21. Grazie avevo bisogno di una ripassata perchè domani ho verifica davvero bravi e grazie ancora

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