Matematicamente

martedì 2 ottobre 2012

IL PARADOSSO DEL MENTITORE

Da Wikipedia
Il paradosso del mentitore: si dice che Epimenide abbia affermato che <<Tutti i Cretesi sono mentitori>>.
Dato che Epimenide era cretese, ha detto la verità? (Per sapere che cosa si intende con il termine paradosso, leggere il post "Gli orologi pazzi di Carroll")

Epimenide era un leggendario poeta greco, vissuto a Creta nel VI secolo a.C.
Secondo una leggenda, una volta egli avrebbe dormito per 57 anni (analogamente al leggendario Rip Van Winkle). L'enunciato che gli viene attribuito è logicamente contraddittorio, ammesso che i mentitori mentano sempre e che quelli che non sono mentitori- li chiameremo sinceri- dicano sempre la verità.


Da Wikipedia: Illustrazione di John Quidor (1849)
In base a questa assunzione, l'enunciato <<Tutti i Cretesi sono mentitori>> non può essere vero, perché in tal caso Epimenide sarebbe mentitore e quindi ciò che dice sarebbe falso; e non può neppure essere falso perché ne deriverebbe che i Cretesi sono sinceri e, di conseguenza, ciò che dice Epimenide sarebbe vero.

Gli antichi Greci si sforzarono di capire come potesse succedere che un enunciato, all'apparenza perfettamente sensato, non potesse essere né vero né falso senza autocontraddirsi.
Crisippo di Soli, un filosofo stoico,  scrisse sei trattati sul <<paradosso del mentitore>>, nessuno dei quali è giunto fino a noi.
Filete di Cos, un poeta greco tanto magro che si diceva mettesse del piombo nelle scarpe per non volare via, se ne fece un cruccio tale da morire precocemente.
Nel Nuovo Testamento, San Paolo ripete il paradosso nella sua epistola a Tito:
"Uno di loro, proprio un loro profeta, disse che i Cretesi sono sempre mentitori, cattive bestie, ventri pigri.Questa testimonianza è vera..." Tito 1: 12-13
Non sappiamo se Paolo fosse consapevole del paradosso contenuto in queste affermazioni. 



Ricadiamo nel paradosso del mentitore, qui nella sua forma più semplice: <<Questa frase è falsa>>. E' vera? Se è così, allora è falsa! E' falsa? Se è così, allora è vera! Simili enunciati contraddittori sono più comuni di quanto pensiate.

Come mai questa versione del paradosso, in cui un enunciato parla di se stesso, rende il paradosso più chiaro? Perché elimina ogni ambiguità legata al fatto che un mentitore menta sempre ed un sincero dica sempre la verità.

Ce ne sono infinite varianti. Bertrand Russel una volta disse di ritenere che il filosofo George Edward Moore avesse mentito una volta sola in vita sua. Quando qualcuno gli chiese se diceva sempre la verità, Moore rifletté per un momento e disse <<No>>.

Certe versioni del paradosso del mentitore hanno giocato un ruolo importante in parecchi racconti, ad esempio nel racconto Told Under Oath, di Lord Dunsany. In questo racconto, Dunsany incontra un uomo che giura solennemente che la storia che racconterà è la pura verità e nient'altro che la verità. L'uomo avrebbe incontrato Satana a una festa e avrebbe stretto un patto con lui. Venne stabilito che l'uomo, che era il peggior giocatore di golf del suo club, avrebbe sempre fatto buca con un solo colpo. Dopo che la cosa si fu ripetuta più volte, tutti si convinsero che l'uomo stesse, in qualche modo, barando e lo espulsero dal club.

La storia finisce con Dunsany che chiede cosa avesse ottenuto Satana in cambio del suo dono.
<<Mi ha tolto la capacità di poter dire ancora la verità>>, risponde l'uomo.

Il paradosso del mentitore raccontato da Odifreddi.


Gli effetti del paradosso su un androide, nel mitico Star Trek.

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Bibliografia e sitografia:

- Ah! Ci sono, Martin Gardner

- Wikipedia

8 commenti:

  1. "[l'enunciato <>] ... non può neppure essere falso perché ne deriverebbe che i Cretesi sono sinceri".
    Non mi hai convinto del tutto. Se l'enunciato è falso ne deriva che Almeno 1 Cretese è sincero, non necessariamente tutti. Così però cade il paradosso. No?

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  2. Maurips, non è mia intenzione convincerti.

    L'enunciato è "Tutti i Cretesi sono mentitori"...tutti non uno di più non uno di meno. Ergo, se l'enunciato fosse falso, "Tutti i Cretesi sarebbero sinceri" non uno di più non uno di meno. Il paradosso regge, eccome se regge.

    Informazione: qui non si interagisce con gli anonimi. Un nickname sconosciuto non dice nulla sull'interlocutore. Quindi, non saranno pubblicati ulteriori commenti...anonimi.

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  3. Mi scuso per l'anonimato, non era mia intenzione.
    Mi premetti di esprimermi meglio? Metti il caso in cui tutti i cretesi siano mentitori meno uno, per cui Epimenide mentitore come tutti gli altri cretesi, Teofane ad esempio unico non mentitore.
    In tal caso la frase "Tutti i cretesi sono mentitori" detta da Epimenide è falsa (Teofane non è mentitore), corrispondente col fatto che Epimenide è un mentitore. Cade dunque il paradosso.
    Diverso il caso in cui Epimenide dicesse: "Io sono un mentitore", che invece è ancora un paradosso.

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  4. @Maurizio: c'è un vizio di fondo nel tuo ragionamento, ovvero che almeno un cretese non sia mentitore.

    L'enunciato è "Tutti i cretesi sono mentitori" ed esclude che almeno uno di essi sia non mentitore.

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  5. Buonasera, mentre facevo una ricerca su internet mi sono imbattuto in questo articolo e ho letto i commenti. In effetti ha ragione Maurips e c'è un errore nell'argomentazione presentata nell'articolo. La frase di Epimenide, anche se famosa come paradosso, non è contraddittoria. Infatti la prima parte del ragionamento proposto è corretta "l'enunciato <> non può essere vero, perché in tal caso Epimenide sarebbe mentitore e quindi ciò che dice sarebbe falso", a questo punto la frase è falsa ma questo non crea contraddizione perchè la negazione di "Tutti i Cretesi sono mentitori" è "Non tutti i Cretesi sono mentitori" cioè "Esiste almeno un Cretese che non mente" ma non è detto che quel cretese deve proprio essere Epimenide (e infatti non è) e la cosa non crea fastidio. L'errore sta nel fatto che la negazione del quantificatore universale "Tutti" è diventata "Nessuno", mentre invece doveva diventare "Esiste qualcuno che non". Nei libri di logica di Odifreddi (ad esempio Le menzogne di Ulisse) si trova, appunto, questa interpretazione. La frase paradossale sarebbe, ad esempio
    "Questa frase è falsa". Come ulteriore riferimento rimando a queste note http://web.math.unifi.it/users/casolo/dispense/Algebra1paradossi.pdf

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    Risposte
    1. Nel suo ragionamento, non ha tenuto conto dell'assunzione fatta nell'articolo, che riporto testualmente: "L'enunciato che gli viene attribuito è logicamente contraddittorio, ammesso che i mentitori mentano sempre e che quelli che non sono mentitori- li chiameremo sinceri- dicano sempre la verità."

      Sulla base di tale assunzione, l'enunciato attribuito ad Epimenide risulta logicamente contraddittorio.

      Lei afferma: "Infatti la prima parte del ragionamento proposto è corretta..."
      Sia la prima parte che il resto del ragionamento, sono ripresi dal libro Ah! Ci sono di Martin Gardner (citato nella bibliografia, alla fine dell'articolo), in cui l'autore, con cui sono completamente d'accordo, sostiene la tesi di contraddittorietà logica nell'enunciato "Tutti i Cretesi sono mentitori".

      "Nei libri di logica di Odifreddi (ad esempio Le menzogne di Ulisse) si trova, appunto, questa interpretazione." Appunto...una intepretazione...

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    2. Ovviamente non è una questione di interpretazione, la frase o è contraddittoria o non lo è. Non ho letto quel libro di Gardner, ma ne ho una copia in inglese ed effettivamente egli fa quel ragionamento. La precisazione iniziale serve per fissare in maniera meno vaga i termini "mentitore" e "sincero". Infatti si potrebbe pensare che una persona mente se la maggior parte delle volte le sue affermazioni sono false e qualche volta vere. In questo senso potrebbe anche essere vero che "Tutti i cretesi sono mentitori" e guarda caso l'affermazione di Epimenide, che è cretese, sia proprio una di quelle vere che ogni tanto scappa a qualche cretese. Quindi è necessario fissare bene i termini dicendo che chi mente e chi dice il vero lo fa sempre. Purtroppo - forse Gardner ha avuto una svista ed è caduto in quella trappola comune del linguaggio - l'errore logico di trasformare la negazione del quantificatore universale, "non tutti", in "nessuno", rimane. L'inghippo sta proprio lì. Il paradosso ci sarebbe solo nel caso in cui Epimenide fosse l'unico cretese esistente, dato che, se la frase fosse falsa, egli sarebbe l'unica persona a dire il vero, innescando la contraddizione. In sostanza la frase è falsa e forse questo a prima vista appariva, e appare, paradossale oltre al fatto che ad Epimenide è attribuita l'altra versione paradossale che lei riporta. Sull'errore non ho dubbi perchè la corretta formulazione del ragionamento è riportata in altri libri oltre a quelli di Odifreddi, ad esempio: Raymond Smullyan - Qual è il titolo di questo libro?; Francesco Berto - Tutti pazzi per Godel; nel libro Godel, Escher e Bach di Hofstadter, il paradosso viene citato ma non usato nella trattazione preferendo l'altra versione, perchè ritenuto debole; nel libro I paradossi dalla A alla Z di Clark come paradosso del mentitore viene, anche qui, indicata l'altra versione.

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    3. Di intepretazione ha parlato lei. Io mi sono limitata a fare una battuta! ;)

      "...forse Gardner ha avuto una svista ed è caduto in quella trappola comune del linguaggio..."
      Guardi, non penso proprio che uno del calibro di Gardner possa essere incappato nella trappola cui lei fa riferimento.
      Se ha fatto quel ragionamento, una ragione ci sta.
      Il paradosso del mentitore, ben lungi dall'essere un giochino o un problema puramente e solamente logico, ha in realtà legami profondi con essenziali problemi filosofici ed epistemologici.

      A mio avviso, la sua analisi è troppo semplicistica.

      Consideriamo il caso in cui Epimenide è mentitore, allora la dichiarazione fatta è falsa: "non tutti i Cretesi sono mentitori" oppure, come alternativa, si può pensare che "tutti i Cretesi non sono mentitori ma sinceri". La scelta tra le due alternative dipende da dove è posizionata la negazione dell'affermazione fatta da Epimenide. Infatti la negazione del valore di verità dell'affermazione di Epimenide, che configura Epimenide come mentitore, si può esprimere in due modi:

      1) "NON tutti i Cretesi sono mentitori".
      2) "Tutti i Cretesi NON sono mentitori".

      Epimenide è Cretese e quindi se applichiamo la prima alternativa che determina la falsità della frase ( "NON tutti i Cretesi sono mentitori" ), Epimenide potrebbe essere mentitore, ma non necessariamente. Potrebbe appartenere al gruppo dei Cretesi Sinceri ed in questo caso la conclusione sarebbe paradossale rispetto all'ipotesi iniziale che Epimenide sia Mentitore. Nel caso che Epimenide appartenga al gruppo dei Cretesi Mentitori la sua dichiarazione è vera per quanto riguarda il contenuto e pertanto dovrebbe essere, paradossalmente, classificato come Sincero.
      Se applichiamo la seconda alternativa e cioè che la falsità della dichiarazione è sostenuta dal fatto che " Tutti i Cretesi NON sono mentitori", si deve concludere che Epimenide è per forza sincero, contraddicendo così l'ipotesi che Epimenide sia mentitore.

      Quanto scritto è preso da un'analisi che ho trovato in rete. Le consiglio di leggerla:

      https://sites.google.com/site/epimenidecreteseclub/home/disvelamento-del-paradosso

      E subito dopo legga qui, dove troverà la continuazione:

      https://sites.google.com/site/epimenidecreteseclub/home/disvelamento-del-paradosso/disvelamento-del-paradosso-2

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