Matematicamente

martedì 8 dicembre 2009

Come Si Calcola L'Area Del Triangolo?

Mezzani di 2° B, riporto la relazione di Marco N. e Davide  di 2° B che hanno ricavato la formula per calcolare l’area della superficie di un triangolo generico a partire dal confronto con l’area della superficie di un rettangolo.

L’attività è stata svolta a classe intera e  quasi tutti i ragazzi sono pervenuti  individualmente alla formula base * altezza /2. Le relazioni di Marco e Davide sono però le più complete.



La consegna per lo svolgimento dell’attività è stata la seguente:
"
Riflettere su come pervenire ad una formula che ci permetta di calcolare l’area della superficie di un generico  triangolo a partire dal confronto con poligoni di cui sappiamo già calcolare l’area."


L’attenzione dei  ragazzi  si  è subito concentrata sul rettangolo e sul parallelogrammo.

Così descrivono il procedimento Davide e  Marco.


Abbiamo disegnato un triangolo acutangolo scaleno ABC perché la formula deve valere in generale.

Successivamente abbiamo disegnato il rettangolo ACED come in figura. E' evidente che il rettangolo e il triangolo hanno la base e l'altezza congruenti. Abbiamo, quindi, osservato che il rettangolo è scomponibile in quattro triangoli rettangoli che risultano due a due congruenti.

triangolo_rettangolo

Dimostriamo la congruenza dei triangoli AHB e ADB; il procedimento vale anche per gli altri due triangoli BHC e BEC.

Abbiamo rilevato che i  due triangoli AHB e ADB  risultano congruenti perché hanno tutti gli elementi ordinatamente congruenti:

1. gli angoli di vertice H e D sono retti per costruzione;
2. gli angoli* BAD e ABH sono congruenti perché alterni interni tra le rette parallele, passanti rispettivamente per i punti A, D e per  i punti H e B, tagliate dalla retta trasversale passante per A e B;
3. gli angoli ABD e BAH sono congruenti tra loro perché complementari di angoli tra loro congruenti (quelli colorati in rosso);
4. i cateti AD e HB sono congruenti per come li abbiamo costruiti;
5. i cateti DB e AH risultano congruenti anch’essi per costruzione;
6. hanno, inoltre, in comune l’ipotenusa.

In realtà, possiamo notare  immediatamente che i due triangoli considerati sono congruenti  per il secondo criterio di congruenza dei triangoli rettangoli, avendo l’ipotenusa in comune e un angolo acuto congruente (quello colorato in rosso).

In definitiva, si vede con chiarezza che il triangolo è equivalente alla metà del rettangolo, e, poiché sappiamo già che:
 

Area del rettangolo = b * h


l’area del triangolo si calcolerà dividendo per due il prodotto  precedente:


Area triangolo = (b* h)/2



BRAVI RAGAZZI!



Andate a vedere alcune applet di Geogebra, realizzate da maestra Renata; la quarta, "Formula per calcolare l'area del triangolo", risulta utile per osservare dinamicamente quello che voi avete ricavato per dimostrazione.

Grazie Renata!

_______________________________

*
Nella notazione degli angoli, i ragazzi non sono riusciti ad inserire il simbolo di vertice nella lettera centrale, ma sanno bene come si scrive! Vero, ragazzi?


6 commenti:

  1. Grazie prof....
    Sono Davide e la volevo ringraziare per avere pubblicato il mio lavoro insieme a quello di Marco N....
    Grazie veramente...e grazie a tutti quelli che lo leggeranno.....!!!
    Davide P. 2b

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  2. Raga, siete proprio bravi. Anche io sto studiando ascuola le aree, ma non ci sto capendo nulla. Il vostro blog è prorpio una bombaaaa!
    Ciao, Andrea.

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  3. Ma che bravi questi "mezzani" davide e marco, complimenti alla loro insegnante;))
    ciao annarita, roberta.

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  4. Ah. "mezzani" è un appellativo, non un cognome! :)
    Pop

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  5. Bravi Marco, Davide e tutti!
    Un bello sviluppo di concetti, Annarita, dalla intuizione che parte dal concreto dei più piccoli alla dimostrazione dei "mezzani" ;).
    Chiedo ai cari mezzani se è loro piaciuto il modo di un mio alunno, Ivan, di contare i centimetri quadrati di un rettangolo ottusangolo. Piuttosto ingegnoso, vero?

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  6. Intendevo naturalmente triangolo ottusangolo :(
    Va beh, buona domenica! ;)

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