Matematicamente

martedì 30 settembre 2008

Calcolare L'Area del Triangolo Rettangolo: Regola Di Guadalupi

Cari ragazzi e cari lettori,


pubblico il contributo di un nuovo amico, Bruno Berselli, che, stimolato dalla regola di Guadalupi per la determinazione dell'area di un triangolo rettangolo, è pervenuto ad una interessante conclusione.
Leggete per scoprire di cosa si tratta! 
Ragazzi di terza B, questo post è molto utile per voi che avete appena finito di ripassare le aree dei poligoni.



Dice Bruno...
Nel libro “Le superfici si danno le aree”,  pubblicato da Di Renzo Editore, Francesco Guadalupi illustra un nuovo metodo per calcolare l’area del triangolo rettangolo. La sua regola può essere enunciata così:


L'area di un triangolo rettangolo è uguale al prodotto delle lunghezze dei due segmenti in cui viene divisa l'ipotenusa dal punto di tangenza del cerchio inscritto.


Detti   b  e    i due cateti del triangolo rettangolo ed    il raggio del cerchio iscritto,  le lunghezze  b-r  e  c-r  corrispondono a quelle dei due segmanti in cui l’ipotenusa viene divisa  dal punto di tangenza del cerchio inscritto, quindi abbiamo che


   ½  bc = (b-r)(c-r) .


Quando sono venuto a conoscenza della regola di Guadalupi mi è venuta in mente una simpatica lettura della questione, che potremmo intitolare: “Passeggiando sotto un triangolo rettangolo… a lati lunghi e ben distesi”.


regola_guadalupi_1


Naturalmente, un’analoga passeggiata si potrebbe fare anche partendo dall’estremo opposto dell’ipotenusa, percorrendo prima una distanza pari a   c + a  verso sinistra e poi una distanza pari a  b  ma in senso contrario.
Anche trovare una diversa maniera per dire le cose è un fatto creativo.


Guadalupi mi ha stimolato a cercare qualche altra via per la determinazione dell’area del triangolo rettangolo. Ridendo e scherzando, proprio così, ho trovato la seguente, semplice proprietà.
Allora, consideriamo un generico triangolo rettangolo:


regola_guadalupi_2 
Adesso costruiamo un secondo triangolo rettangolo, un cateto del quale coincida con l’ipotenusa del primo e la cui ipotenusa, invece, sia pari alla somma dei due cateti di partenza.
La quarta parte del quadrato, costruito sul rimanente cateto del nuovo triangolo rettangolo, equivale all’area del triangolo originario. Di questo fatto ci si può convincere molto facilmente per via algebrica, che qui non riportiamo.


regola_giadalupi_3 
In tal modo, peraltro, abbiamo  quadrato  il triangolo rettangolo.

18 commenti:

  1. Vedi, questa è la dimostrazione che, come in toponomastica, in cui tutte le strade portano a Roma..., così in matematica si arriva allo stesso risultato per vie spesso diverse, ma convergenti... ;-)


    Abbraccione!

    P.S. Il racconto è finito, te le mando per e-mail?

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  2. Mauro dice:

    Vedi, questa è la dimostrazione che, come in toponomastica, in cui tutte le strade portano a Roma..., così in matematica si arriva allo stesso risultato per vie spesso diverse, ma convergenti... ;-)


    Verissimo!

    annarita


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  3. Ops, ma sono onlàin :)


    Sai, quando ti sei rivolta ai tuoi ragazzi della III B ho provato un certo brividino! Penso che non sia affatto semplice dir le cose davanti a una classe e sentirmi in questi panni (per me nuovi) mi ha procurato proprio quell'effetto ;)


    Buona giornata e un abbraccio, che estendo anche al mitico Mauro!




    Bruno

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  4. Ciao Annarita,

    interessante questo post!

    Mentre sono riuscito a dimostrare il tuo calcolo (molto simpatico), l'altro risultato non mi torna affatto. Hai la dimostrazione?


    Peraltro sono arrivato ad un'altra interessante conclusione, ma per il momento non ti dico di più.... ;)


    Michelangelo

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  5. Bruno, il brividino è stato, comunque, salutare, mi auguro!;)


    Ricambio l'abbraccio...

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  6. Ciao, Miche. L'articolo è di Bruno Berselli. Chiederò a lui se ha la dimostrazione...


    Però, voglio l'interessante conclusione a cui sei pervenuto!;)


    Hai destato la mia curiosità!:)

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  7. - Gavino hai letto l’ interessante articolo di Bruno Berselli che spiega come si puo calcolare l’ area di un triangolo rettangolo. Adesso che usciamo dal ristorante facciamo, come lui scrive, una passeggiata sotto un triangolo rettangolo … a lati lunghi e ben distesi.

    Cammin facendo costruiamo un secondo triangolo rettangolo, un cateto del quale coincida con l’ipotenusa del primo e la cui ipotenusa, invece, sia pari alla somma dei due cateti di partenza.

    La quarta parte del quadrato, costruito sul rimanente cateto del nuovo triangolo rettangolo, equivale all’area del triangolo originario.In tal modo, peraltro, abbiamo quadrato il triangolo rettangolo.Adesso sto bene Gavino. Ho digerito il teorema di Pitagora, percio' il resto dovrebbe essere una passeggiata come andare al Colosseo. Se come scrive Mauro Piadi ‘’tutte le strade portano a Roma’’, ti assicuro che tutte le strade di Roma portano al Colosseo.


    - Che Roma? Che Colosseo?


    - La citta’ doce ci troviamo e quello! Li' davanti a te. Forse dovresti andarci piano con la grappa dopo pranzo, amico.


    - Ma questa citta’ e’ Roma e quello e' il colosseo o solo qualcosa che tu credi siano Roma e il Colosseo? Come sai che sono reali? E a questo proposito, come sai che la somma dei quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo e' equivalente al quadrato costruito sull' ipotenusa, e che l’ articolo di Bruno Berselli serva effettivamente ad avere quadrato il triangolo rettangolo.


    - Ho capito. Gavino il prossimo giro di grappa lo offro io.


    Sorellina, Mauro, Bruno perdonate la mia irriverente storiellina. Non sono un matematico, sono un semplice ‘’contafrottole’’, come l’ opinione pubblica definisce i giornalisti. Il titolo dell’ articolo di Bruno mi ha suggerito questo ironico, almeno spero commento.

    Grazie Bruno, grazie Annarita, per avermi insegnato un altro metodo per determinare l’ area di un triangolo rettangolo.

    Un cumulativo Vale

    PL

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  8. Avevo pensato a dei passaggi per la "dimostrazione" simili a quelli di Bruno, quindi concorderei se mi è consentito! :)


    I triangoli hanno un'infinità di proprietà, in questo caso il th di pitagora è quella dominante!!

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  9. Caro Pier Luigi, la tua storiellina non è niente affatto irriverente, ma gustosamente ironica. Pertanto, grazie a te per i tuoi commenti!:)


    vale

    annarita

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  10. Paolo, ti è consentito! Eccome!


    Grazie del tuo contributo:)


    baciotti

    annarita:)

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  11. un grazie a tutti cominciando da te, cara prof, per finire ai tuoi gentili ospiti. Ciao, Enzo

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  12. Enzo, sei sempre gentilissimo.

    Bacioni e a presto.

    Scusa la latitanza, ma in questo periodo sono intasata dura...

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  13. @Bruno: scusa se rispondo solo ora...nel frattempo ho avuto modo di dimostrare anche la correttezza della prima formula.

    Grazie comunque per la spiegazione.


    Annarita, ancora un po' di pazienza, se non ti dispiace vorrei scrivere un post linkato a questo.


    Michelangelog

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  14. Michelangelo, non c'è problema! Puoi tranquillamente scrivere un post linkato a questo.


    Ciao.

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  15. Annarita ;)


    Michelangelo ha poi indicato l'interessante conclusione cui accenna più sopra? Ho provato a cercarla anche da lui, ma senza riuscirci, forse perché le sue deliziose ricette mi hanno un po' fuorviato... :)))


    A parte gli scherzi, ne hai più saputo nulla?




    Bruno

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  16. No, Bruno. Non ne ho saputo più nulla. Ad essere sincera, mi era passato anche di mente; magari proverò a chiederglielo.

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  17. se vi do un problrma m risp x favoreee...........
    UN TRIANGOLO RETTANGOLO CON ANGOLI DI 45° HA L'IPOTENUSA KE MISURA 2A cm.  CALCOLA L'AREA DEL TRIANGOLO???(144,5)
    VORREI SAPERE I CALCOLI
    GRZ

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