Matematicamente

sabato 24 novembre 2007

I numeri naturali e la loro rappresentazione grafica


Ciao a tutti!! Siamo due alunne della classe 1°A: Arianna G. e Alice R. In questo post, vi parliamo dei numeri naturali.



Durante la lezione, abbiamo appreso che il simbolo rappresentativo dei numeri naturali è N e questi possiedono  alcune caratteristiche, che indichiamo di seguito:



1) I numeri naturali  si indicano con linguaggio insiemistico in questo modo:



N= [ 0; 1; 2; 3; 4; 5, 6; 7; 8; 9;………]



2) I numeri naturali sono infiniti.



"Infiniti" vuol dire che non è mai possibile raggiungere l’ultimo numero della successione. Se, infatti, consideriamo un numero molto grande, aggiungendo 1 è sempre possibile trovare il numero successivo. Questo procedimento non ha mai fine.



3) Un numero naturale qualsiasi, ad esempio il 12, ha sempre un successivo o consecutivo e un precedente o antecedente :



 11 <12< 13



4) Lo zero (0) è l’ unico numero che non ha un precedente ma solo un successivo.



5) L’insieme dei numeri naturali è ordinato.



"Che cosa significa insieme ordinato?"



Consideriamo, ad esempio due numeri: 25 e 349
Questi due numeri sono diversi tra loro e scriveremo: 24 ≠ 349



Occorre, quindi, stabilire  se 25 precede 349, più precisamente qual è l’ordine con cui i due numeri che abbiamo considerato si dispongono.



La prof.  ci ha chiesto di confrontarci a coppie e poi di esprimerci in proposito. Abbiamo fatto diversi ragionamenti e alla fine  siamo giunti alla conclusione che per stabilire  quale dei due numeri precede l’altro è necessario osservare quale dei due possiede la cifra più significativa:



- Il numero 25 ha la cifra più significativa nel posto delle decine
- Il numero 349 ha la cifra più significativa nel posto delle centinaia.



In base a queste considerazioni, possiamo  concludere che 25 precede 349 e scriviamo quindi:



25 < 349       si legge 25 è minore di 349



Allo stesso modo possiamo dire che 349 è seguente a 25 e scriviamo:



349> 25



La prof. ci ha fatto poi  considerare due numeri con lo stesso numero di cifre.



1527 e 1534, ad esempio, sono dello stesso ordine e presentano le prime due cifre significative uguali, ma in base alla cifra delle decine il primo dei due numeri è minore del secondo. Scriviamo:



 1527 < 1534  oppure 1534 >1527.




In base a queste considerazioni, possiamo disporre i numeri naturali ordinatamente dal più piccolo al più grande (ordine crescente) oppure dal più grande al più piccolo (ordine decrescente). Ad esempio:



-  la successione     5    7    13      19     28      37  è disposta in ordine crescente
-  La successione    45     37     29     18      8     2 è disposta in ordine decrescente



Ragionando su questi comportamenti dei numeri naturali, abbiamo concluso che essi hanno la seguente  proprietà:



"Ogni numero naturale è minore di tutti  i numeri naturali  che lo seguono ed è maggiore di tutti i numeri naturali che lo precedono."



Una volta stabilito che  i numeri naturali formano un insieme ordinato, siamo passati a rappresentarli sulla semiretta orientata  come segue:



1. abbiamo disegnato una semiretta di origine O.
2. Abbiamo stabilito un segmento u a piacere come unità di misura, riportando sulla semiretta a partire da 0  verso destra tanti segmenti OA, AB, BC, CD…..
tutti congruenti a u.
3. Abbiamo, infine, fatto corrispondere al punto O il numero 0, al punto A il numero 1  e così  via per tutti i punti.



 



 



rettaorientata - Twango



Come si può osservare sulla semiretta orientata, possiamo affermare che tra i punti "considerati" della semiretta orientata e la successione ordinata dei numeri naturali si è stabilita una corrispondenza che la prof. ha chiamato biunivoca.



La prof. ha anche detto che approfondiremo il concetto di corrispondenza biunivoca nel corso dei nostri studi. Per adesso, la intenderemo semplicemente come una corrispondenza che associa un punto a un numero e viceversa.



I punti O, A, B, C, D..........sono denominati immagini dei numeri 0, 1, 2, 3, 4,..........



Per adesso abbiamo finito. Ci sentiremo al prossimo post!



Arianna e Alice

12 commenti:

  1. Complimenti per la deliziosa lezione, anche se mi sfugge un attimino la biunivocità tra la semiretta orientata e l'insieme N dei numeri naturali. Come dire: una volta che ho rappresentato gli infiniti numeri naturali, sulla semiretta non restano forse punti "scoperti"?

    Ciao, e continuate così.

    Un abbraccio.

    Sonny&Me

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  2. Caro Sonny, per il momento la corrispondenza biunivoca non può essere pienamente compresa dai ragazzini di prima. Il concetto sarà compreso e precisato via via che si procederà con l'ampliamento degli insiemi numerici progressivamente con il procedere della loro maturazione personale. Comunque, i ragazzi hanno compreso che i punti della retta contraddistinti dalle lettere O,A,B,C,D...sono in corrispondenza uno ad uno con la successione ordinata dei numeri naturali. E' ovvio che tra due punti e quindi tra i corrispettivi numeri naturali ci siano dei "buchi" da riempire, ma questo lo faremo con i razionali, gli irrazionali e poi al superiore continueranno con i numeri complessi, no?


    Salutoni:)

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  3. Grazie, Sonny&me !!!!

    Apresto, Arianna.G.

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  4. grazie per la lezione ma come si rappresenta lo 0,95 su una linea semiretta ?grazie mille

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  5. Commentatore anonimo n. 4, intanto 0,95 è un numero decimale e non un numero naturale...questo è chiaro, vero?


    Rappresentare un numero decimale sulla semiretta orientata è un attimino più brigoso che rappresentare i numeri naturali, ma se po' fa tranquillamente!!!


    Considerato che 0,95, scritto sotto forma di frazione, corrisponde a 19/20 (si ottiene dividendo per 5 il numeratore e il denominatore di 95/100. E' una frazione propria. Ricordi? Il suo valore è minore di 1), è sufficiente scegliere un segmento unitario ad hoc, come unità di misura, da riportare sulla semiretta a partire da 0 (come hai visto nel disegno del post). Dividerai il primo segmento unitario, quello che ha come primo estremo l'origine della semiretta, in 20 segmentini tutti uguali tra loro e ne considererai 19 di questi, ovvero 19 su 20 che sono 19/20 del segmento unitario scelto, appunto!


    Compreso?

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  6. non ho capito bene ma se deve indicare su una semiretta ordinata i numeri da 1 a 7 e non ho il 5 come devo fare?
    grazie

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  7. Commentatore n.6 la sua domanda non è chiara?

    Se deve rappresentare i numeri da 1 a 7 sulla semiretta orientata, deve necessariamente rappresentare anche il 5. Che cosa significa allora "Se non ho il 5 ?"
    Sia più chiaro, altrimenti non posso fornirle una risposta pertinente.

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  8. Sto leggendo, a più riprese, il tuo blog, che trovo davvero interessante e stimolante.
    Ho un dubbio su questo post, che peraltro vedo esposto nel primo commento: viene detto che esiste una corrispondenza biunivoca tra i numeri naturali e i punti della semiretta.
    Se non sbaglio, si ha una corrispondenza biunivoca quando ad ogni elemento del primo insieme ne corrisponde uno, ed uno solo, dell'altro insieme e VICEVERSA.
    In questo caso, se consideriamo N come primo insieme e i punti apparteneti alla semiretta come secondo insieme, il viceversa non vale.
    Non si tratta,  quindi, di una corrispondenza UNIVOCA?
    Grazie,
    Anna

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  9. Ciao Annarita,
    scusami se torno sul tema, ma voglio capire bene.

    Il disegno è chiaro, come la tua precisazione, ma nel testo delle alunne si legge:

    "tra i punti della semiretta orientata e la successione ordinata dei numeri naturali si è stabilita una corrispondenza che la prof. ha chiamato biunivoca".

    e  ti chiedo: non era meglio specificare tra i punti considerati della semiretta, considerando come codominio un sottoinsieme dell'insieme costituito dai punti della semiretta? Così si ha una corrispondenza biunivoca.

    Oppure, non si poteva semplicemente parlare di corrispondenza univoca tra i numeri naturali e i punti della semiretta orientata?

    Ancora grazie dell'attenzione e della pazienza.
    Anna

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  10. Anna, il senso dato a " corrispondenza biunivoca" è relativo ovviamente alla situazione considerata. Per i ragazzi questo concetto è risultato subito chiaro e questo hanno inteso esprimere. La rappresentazione grafica parla da sola.

    Come ho precisato, i ragazzi erano agli inizi della prima media e introdurre il concetti di corrispondenza univoca, biunivoca et similia, non era il senso del post come comprenderai dal titolo e dall'argomento sviluppato. Ci sono ragioni didattiche ben precise per introdurre i concetti. Ho anche sottolineato di aver dato l'informazione, relativamente al caso, come primo approccio e che i concetti sarebbero stati sviluppati e approfonditi a tempo debito.

    In ogni caso, per evitare discussioni come questa, ho aggiunto il "considerati" che per i ragazzi,  all'interno della situazione didattica, risultava chiaro, mentre per chi legge evidente non risulta altrettanto chiaro.

    Spero che adesso non vi siano dubbi.

    PS: non ho compreso se sei un'insegnante o cosa...

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  11. Ciao Annarita,
    mi dispiace (e mi scuso) se ti sono sembrata polemica: non era mia intenzione! Non volevo tantomeno nascesse una discussione, ma semmai un confronto: mi interessava capire il perchè di certe scelte a livello didattico.
    Ti ringrazio, comunque, per tutto.
    Buon lavoro,
    Anna
    P.S. Sono, come avrai già capito, un'insegnante, e altro.

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  12. Ciao Annarita,
    ti ringrazio per l'invito. Come avrai notato, non sono riuscita a partecipare, presa dalle tante cose da fare. Comprendo benissimo, quindi, la tua situazione, non ti preoccupare! Anzi, scusami per non essermi presentata.
    Visto che non manca, buon lavoro!
    Anna

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