Matematicamente

domenica 10 marzo 2013

Poliedri Archimedei O Poliedri Semiregolari



Archimede in un dipinto di
 Domenico Fetti (1620)
Fonte: Wikipedia

«Summis ingeniis dux et magister fuit»
«Dei più alti ingegni fu guida e maestro»
(J.L. Heiberg, Archimedis opera omnia III, Prolegomena XCV)

Nel 2013 cade il 2300esimo anniversario della nascita di Archimede di Siracusa, il più celebre matematico, ingegnere, fisico e inventore dell’antichità, una delle più grandi menti  scientifiche mai esistite.

Il 2013 è, pertanto, l’Anno archimedeo e L’Unione matematica italiana intende promuovere la conoscenza e l’attualizzazione del suo pensiero e della sua straordinaria figura.
In collaborazione con il Piano Nazionale Lauree Scientifiche (PNLS), l'UMI ha bandito un concorso a premi che mira a incentivare l'interesse dei giovani nei riguardi della matematica, a valorizzare i collegamenti della matematica con le altre discipline scientifiche e a contribuire alla sua diffusione nella società italiana, favorendo anche la cooperazione tra i giovani e con i loro insegnanti. 
Ricordiamo poi che il 14 Marzo si celebra in tutto il mondo il Pi greco day! In tale giorno vengono organizzati concorsi di matematica e ricordati anche i contributi di Archimede, che dette la prima stima accurata di pi greco.

Il grande siracusano stimò, infatti, il valore del rapporto tra la circonferenza e il suo diametro come un numero compreso tra 3+10/71 e 3+1/7.
Il record più recente (10.000 miliardi cifre di pi greco) è stato calcolato da Alexander J. Yee e Shigeru Kondo nel 2011.

Matem@ticaMente vuole rendere omaggio all'immenso genio di Archimede con un post sui solidi archimedei, che vedete al completo nell'immagine seguente.

Fonte
Conosciamoli più da vicino. 

Secondo Pappo di Alessandria, Archimede avrebbe descritto la costruzione di 13 poliedri semiregolari in un'opera perduta. Tali solidi sono detti ancora poliedri archimedei.


Un solido archimedeo o semiregolare è un poliedro convesso che soddisfa le proprietà seguenti:

- le sue facce, di almeno due tipi distinti, sono poligoni regolari e, di conseguenza, i suoi spigoli sono tutti congruenti. 
- I vertici sono omogenei: cioè, per ogni coppia di questi esiste una simmetria del solido che sposta il primo nel secondo. Inoltre, le cuspidi intorno ai vertici sono tutte identiche e ottenibili una dall'altra mediante rotazione.
- Il solido non è un solido platonico, né un prisma, né un antiprisma.

Dei 13 solidi archimedei, due sono chirali, ovvero non equivalenti alla loro immagine riflessa. Prendendoli in considerazione, i poliedri archimedei diventano 15. Le due forme chirali sono: cubo camuso (o cubottaedro camuso); dodecaedro camuso (o icosidodecaedro camuso).

Troncando i vertici dei cinque solidi platonici (tetraedro regolare, cubo o esaedro regolare, ottaedro regolare, dodecaedro regolare, icosaedro regolare), si ottengono cinque poliedri troncati: tetraedro troncato, cubo troncato, ottaedro troncato, dodecaedro troncato e icosaedro troncato. 

Seguono gli applet dei poliedri che ho ottenuto con il software Poly.

Tetraedro troncato

Possiede 8 facce (4 triangoli e 4 esagoni), 18 spigoli, 12 vertici, incidenza dei vertici (3,6,6). Per incidenza dei vertici si intende la sequenza dei numeri degli spigoli che caratterizzano i poligoni regolari incidenti in ogni vertice. Incidenza 3,6,6 significa che in ogni vertice del tetraedro troncato incidono un triangolo e due esagoni.
                           



Cubo troncato

Possiede 14 facce (8 triangoli e 6 ottagoni), 36 spigoli, 24 vertici, incidenza dei vertici (3,8,8). In ogni vertice incidono un triangolo e due ottagoni.





Ottaedro troncato

Possiede 14 facce (6 quadrati e 8 esagoni), 36  spigoli e 24 vertici, incidenza dei vertici (4,6,6). In ogni vertice incidono un quadrato e due esagoni.




Dodecaedro troncato

Possiede 32 facce (20 triangoli e 12 decagoni), 90 spigoli e 60 vertici, incidenza dei vertici (3,10,10). In ogni vertice incidono un triangolo e due decagoni.





Icosaedro troncato


Possiede 32 facce (12 pentagoni e 20 esagoni), 90 spigoli e 60 vertici, incidenza dei vertici (5,6,6). I ogni vertice incidono un pentagono e due esagoni.






Cubottaedro


Si ottiene troncando le otto cuspidi del cubo, oppure le sei cuspidi dell'ottaedro regolare. Possiede 14 facce (6 quadrati e 8 triangoli), 24 spigoli e 12 vertici, incidenza dei vertici (3, 4, 3, 4). In ciascuno dei suoi vertici concorrono due quadrati e due triangoli.




Cubo camuso (o Cubottaedro camuso)


Cubo camuso significa cubo al quale sono stati smussati alcuni vertici. Si ottiene dal cubo, espandendo le 6 facce quadrate e quindi ruotando leggermente i quadrati in modo che lo spazio tra questi possa essere riempito da corone di triangoli equilateri. Possiede 38 facce (32 triangoli e 6 quadrati), 60 spigoli e 24 vertici, incidenza dei vertici (3,3,3,3,4). In ogni vertice incidono 4 triangoli e un quadrato. E' un poliedro chirale ovvero non equivalente alla sua immagine riflessa. Si presenta, quindi, in due forme distinte: destrogira e levogira.







Cubottaedro troncato


Possiede 26 facce (12 quadrati, 8 esagoni, 6 ottagoni), 72 spigoli e 48 vertici, incidenza dei vertici (4,6,8). In ciascuno dei suoi vertici incidono un quadrato, un esagono e un ottagono.




Icosidodecaedro


Si ottiene troncando le venti cuspidi del dodecaedro oppure le dodici cuspidi dell’icosaedro. Possiede 32 facce (12 pentagoni e 20 triangoli), 60 spigoli e 20 vertici, incidenza dei vertici (3,5,3,5). In ciascuno dei suoi vertici concorrono due pentagoni e due triangoli.




Dodecaedro camuso (o Icosidodecaedro camuso)


Il dodecaedro camuso può essere ottenuto dal dodecaedro, espandendo le 12 facce pentagonali e quindi ruotando leggermente i pentagoni in modo che lo spazio tra questi possa essere riempito da corone di triangoli equilateri.

Possiede 92 facce (80 triangoli e 12 pentagoni), 150 spigoli e 60 vertici, incidenza dei vertici (3,3,3,3,5). In ogni vertice concorrono 4 triangoli e un pentagono. E' il secondo poliedro chirale dei solidi archimedei. Di seguito le due forme destrogira e levogira.







Icosidodecaedro troncato


Questo poliedro può essere ottenuto troncando sia le cuspidi che gli spigoli dell'icosaedro oppure del dodecaedro. Possiede 62 facce (12 decagoni, 20 esagoni e 30 quadrati), 180 spigoli e 120 vertici, in ciascuno dei quali concorrono un quadrato, un esagono ed un decagono (incidenza dei vertici 4,6,10).




Rombicosidodecaedro


Questo poliedro può essere ottenuto sia dall'icosaedro che dal dodecaedro tramite espansione, ovvero allontanando dal centro le facce del solido e creando nuove facce per ogni spigolo o vertice di partenza.
Può, inoltre, essere ottenuto troncando sia le cuspidi che gli spigoli dell'icosaedro oppure del dodecaedro.

Possiede 62 facce (12 pentagoni, 30 quadrati e 20 triangoli), 120 spigoli e 60 vertici, in ciascuno dei quali concorrono un pentagono, due quadrati e un triangolo (incidenza dei vertici 3,4,5,4,) .




Rombicubottaedro


Può essere ottenuto per espansione del cubo o dell'ottaedro, oppure troncandone sia gli spigoli che le cuspidi. 
Possiede 26 facce (18 quadrati e 8 triangoli), 48 spigoli e 24 vertici, in ciascuno dei quali concorrono tre quadrati e un triangolo (incidenza dei vertici 3,4,4,4).




Per finire, vi propongo il bellissimo video "Visioni di Archimede", tutto da gustare.


6 commenti:

  1. Super post, Annarita. Archimede è una figura straordinaria e tu lo hai omaggiato degnamente.

    Ciao
    Arte

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    Risposte
    1. Grazie dell'apprezzamento, Arte.
      A presto!:)

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  2. Non l'ho mai provato il software Poly ma mi sa che prima o poi mi tocca visto il bel risultato delle tue animazioni. Il post mi è piaciuto molto e la chicca finale del video sulle visioni di Archimede e un'ottima chiusura per un ottimo post.
    Un salutone

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    Risposte
    1. Poly è un software molto friendly che fa praticamente tutto da solo.
      Grazie dell'apprezzamento, anche se in realtà avrei voluto fare di più. Ma come ben sai questo è un periodo difficile per me.

      Un salutone.
      Annarita

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  3. Un articolo molto accattivante. I poliedri archimedei, costruiti da Archimede a partire dal troncamento dei vertici dei vertici dei poliedri platonici, sono figure mai trattate a scuola. E' bello avere l'opportunità di conoscerli per potere apprezzare le interessanti proprietà geometriche di cui sono in possesso.

    Grazie, Annarita

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  4. Molto bello nel filmato il planetario. Alla mostra a Roma su Archimede costata chissà quanto hanno costruito un orribile oggetto di plastica che oltre tutto nasconde l'idea e cioè che il meccanismo è centrato sul sole e i pianeti girano intorno al sole ma la terra è fissata e il sole (con tutto il suo meccanismo che fa muovere i pianeti), gira intorno alla terra. Esiste o è solo una animazione? Chi l'ha realizzata? qualcuno mi può dare informazioni? Scrivetemi a ghione@mat.uniroma2.it
    grazie
    franco

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