Matematicamente

martedì 4 gennaio 2011

I Geopiani Di Gattegno: Possibili Impieghi Didattici (1° Parte)

Questo post contiene il primo di due articoli dedicati ai geopiani di Gattegno e ai suoi possibili impieghi sia nella didattica e nell'apprendimento della geometria piana che nella risoluzione di problemi matematici, in generale.

Il geopiano  è un sussidio didattico, ideato e realizzato dal prof. Caleb Gattegno, insigne pedagogista e studioso di matematica.



Tale sussidio è costituito da una tavoletta di legno sulla quale è disegnato un reticolato, i cui nodi sono messi in evidenza con dei chiodini o delle viti. I chiodi e le viti servono da supporti e fra di essi si possono tendere degli eleastici di diverso colore.






Gattegno ideò diversi tipi di geopiani, indicandone alcune fondamentali utilizzazioni per ogni tipo. I reticolati, realizzati nei vari modelli e sperimentati dallo stesso ideatore, sono costituiti da:

- un dodecagono;
- un decagono;
- un ottagono;
- un esagono;
- un doppio esagono;
- reticolati a maglie rettangolari;
- reticolati a maglie triangolari;
- reticolati a maglie quadrate, rispettivamente con 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 e 121 nodi, sempre messi in evidenza con chiodi o viti.

Un geopiano  formato da un dodecagono regolare a 12 chiodi disposti su una circonferenza.




I geopiani più noti, il cui uso è quindi più diffuso, sono questi ultimi a maglie quadrate e fra essi si possono distinguere quelli in cui un nodo coincide con il centro, aventi cioé un numero dispari di chiodi, e quelli con un numero pari di chiodi nei quali il centro non può essere messo in evidenza.



In genere, il geopiano si presenta con i soli chiodi che indicano i nodi, ma, a volte, si ritiene opportuno lasciare disegnato sulla tavoletta anche il reticolato in modo da metterne in maggior risalto le relative  maglie.





Lo stesso Gattegno qualifica i geopiani fra i "sussidi multivalenti"; ad essi spetta infatti tale qualifica, sia per le molteplici possibilità di utilizzazione che offrono nell'insegnamento, sia per la ricchezza di situazioni pedagogiche che possono suscitare con il loro uso sistematico, non solo per la scoperta di proprietà nelle figure geometriche, ma anche per proporre e discutere problemi matematici in genere.

I geopiani a maglie quadrate non solo consentono, come si è detto, innumerevoli osservazioni di carattere geometrico sulle diverse figure poligonali, ma si dimostrano oltremodo validi anche per estendere il discorso a considerazioni di carattere metrico.


Con degli elastici colorati, tesi fra i diversi chiodi, si costruiscono figure geometriche piane che hanno il pregio di essere nitide e ben tracciate. Ad esempio, congiungendo tra loro due chiodi si ottiene un segmento; collegandone tre, fra loro non allineati, si ottiene un triangolo; tendendo opportunamente gli elastici tra quattro chiodi non allineati si ottiene un quadrilatero e, variandone la disposizione, si possono ottenere tutti  i tipi di quadrilateri: quadrati, rombi, rettangoli, parallelogrammi, trapezi, deltoidi ecc.





Facendo poi ruotare la tavoletta, che, in genere, è fissata nel suo centro ad un perno girevole, si otterranno le stesse figure, ma in posizioni diverse, per cui si potrà arrivare al concetto di "classe di congruenza".

Già sul geopiano a maglie quadrate più semplice, cioé quello con soli nove chiodi, possono essere proposte agli alunni situazioni interessanti che li obbligano a ragionare e a trarre delle conclusioni. Ad esempio:

1. costruire la figura simmetrica di una data rispetto ad un asse.





2. Descrivere come sono, tra loro, le figure rappresentate.



3. Determinare l'area, rispetto ad una unità di misura assegnata.




4. Ruotare la tavoletta: si ottiene la "classe di congruenza" (infiniti triangoli congruenti a quello dato).


Con un geopiano a 16 chiodi si può illustrare il teorema di Pitagora generalizzato o teorema di Carnot.





Con un geopiano a 25 chiodi si possono costruire molti angoli,  due a due adiacenti e quindi supplementari; oppure introdurre i primi concetti sul piano cartesiano, limitandone la trattazione al primo quadrante ed ai "punti interi" del medesimo.




Un esercizio, che potrebbe suscitare molto interesse ed una vivace discussione fra gli alunni, è quello che propone loro di determinare il numero degli angoli formati da semirette uscenti dall'origine dei semiassi ortogonali cartesiani.

Si può osservare che:

1. i due semiassi e nessuna altra semiretta formano 1 angolo.





2. I due semiassi e una semiretta formano 3  cioé  1 + 2 angoli.




3. I due semiassi e due semirette formano 6 cioé  1 + 2 + 3 angoli.




4. I due semiassi e tre semirette formano 10  cioé  1 + 2 + 3 + 4  angoli.




5. I due semiassi e quattro semirette formano  15  cioé 1 + 2 + 3 + 4 + 5  angoli.




E così via, arrivando, con un procedimento di tipo induttivo, a concludere che, in generale:

il numero di angoli che i due semiassi ed n semirette formano, è dato da



1 + 2 + 3 + 4 + ... + n + (n + 1) = (n + 2) (n + 1)/ 2




Osservando la successione numerica ottenuta quando si calcola il numero degli angoli che si formano, aumentando, di volta in volta, il numero delle semirette disegnate internamente ai semiassi, si possono fare delle importanti considerazioni.

Tale successione numerica presenta, infatti, una curiosa caratteristica:

"La differenza tra ogni termine ed il precedente è un numero naturale e la successione di tale differenza forma proprio la successione dei numeri naturali".

Si ha, infatti,:

1. successione del numero degli angoli

 



1     2     3   4     5     6    7...




2. Successione delle differenze

 



0    1    3    6    10    15    21    28



 



Nel secondo articolo, che seguirà, si proporrà agli alunni un esercizio analogo, ricercando il numero delle diagonali di un poligono.



Le immagini in colore sono state da me realizzate con il software GeoGebra.


___________________________________

Rif. bibliografici (e per le due figure in bianco e nero):  Sull'apprendimento della matematica a livello di scuola media, a cura di Carmela Gasperi.


6 commenti:

  1. Magnifico post, Annarita!
    Se si vuole promuovere, anche a diversi livelli di apprendimento, la dinamicità del pensiero di un alunno ed affinare le sue capacità intuitive, cosa c'è di più utile del geopiano? E proprio sull'efficacia didattica di questo strumento, così bene da te descritto, da me personalmente sperimentata, desidero soffermarmi.
    Il geopiano, per come è congegnato, permette la rappresentazione e lo studio di svariati problemi di natura geometrica. Usare il geopiano al posto di lavagna e gesso, oltre a lasciare mani e vestiti non imbiancati dalla fastidiosissima "cipria bianca", ha diversi vantaggi, due almeno abbastanza evidenti:
    in primo luogo, essendo abbastanza maneggevole e mobile, permette allo studente di traslare, ruotare le figure, come vuole, senza nessuno sforzo, guardando cosa cambia nella figura per effetto della trasformazione e cosa invece resta invariante;
    in secondo luogo, dal momento che è la tensione degli elastici a formare le figure, l'alunno è indotto proprio dalla facilità con cui queste si costruiscono a cercarne le proprietà, evidentemente sviluppando le capacità intuitive e logico-deduttive.
    Ma si potrebbe dire molto altro...e poichè nell'intestazione ho letto
    "1° parte", non aggiungo più nulla!
    Grazie, Annarita, mi hai fatto ricordare il geopiano, che ancora conservo da qualche parte, costruito da me per mia figlia circa vent'anni fa. Rimase incantata(era molto piccola) sia dalla costruzione che dall'uso dello strumento, per lei  una sorta di giocattolo, che, come per magia, cambiava forma alle figure. L'ha poi usato in modo consapevole alla scuola media e ai primi anni del Liceo... con ottimo successo.
    Così come tu hai fatto, abbinare l'uso del geopiano,per la geometria dinamica manuale, a quello di geogebra, per quella dinamica virtuale, è come coniugare una musica bella al testo magnifico di una canzone...un po' come dire...Battisti-Mogol.

    Un abbraccione,
    maria I. 
     

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  2. Davvero interessante questo post.
    Non ho mai avuto la fortuna di incontrare un prof che ce lo abbia fatto usare a scuola, avendo però visto un video, con un amico delle medie abbiamo provato a costruirne uno che devo dire era venuto anche abbastanza preciso (è importante che i punti siano equidistanti)
    Mi piace moltissimo l'idea di utilizzare strumenti "materiali" a supporto della didattica. Credo che la manualità, il poter toccare, costruire, girare, rovesciare...ecc aiutino molto l'aspetto partecipativo e quindi anche la lezione viene seguita con più attenzione.
    E poi il tutto prende le sembianze di un bel gioco, cosa assolutamente da non trascurare, soprattutto ad una certa età.
    Gli esempi che tu hai proposto sono molto interessanti ed istruttivi.
    Anche noi all'inizio comunciavamo col costruire figure geometriche, ma alla fine ci ritrovavaamo sempre a lanciarci gli elastici (una multi-fionda).
    Sicuramente con la guida di una prof come te, avremmo potuto imparare di più e magari risparmiarci qualche livido.
    Aspetto la seconda parte.
    Un salutone
    Marco

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  3.  Annarita mia, non so proprio cosa dire...
    Questa sera, sono diciamo un tantino distratta 
    e lascio un  bel salutone a tutti questi interessanti
      numeri. 
    Aspetto il seguito...

    Un bacione ciao Prof

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  4. Sì, Maria, sui geopiani di Gattegno si potrebbe dire molto altro. Mi auguro di poterlo fare nella seconda parte e poi sicuramente non sarà sufficiente.

    Un bacione.
    annarita

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  5. Credo che la manualità, il poter toccare, costruire, girare, rovesciare...ecc aiutino molto l'aspetto partecipativo e quindi anche la lezione viene seguita con più attenzione.
    E poi il tutto prende le sembianze di un bel gioco, cosa assolutamente da non trascurare, soprattutto ad una certa età.


    Bravo, Marco, hai messo in evidenza due aspetti fondamentali nell'apprendimento in generale: l'aspetto ludico e quello manipolativo. Sei proprio in gamba!

    Bacione

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  6. Il seguito arriverà, rosariella, non appena possible. Gli impegni ritornano a crescere a dismisura!

    Un bacione.

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