Matematicamente

domenica 27 luglio 2008

Oltre La Geometria Euclidea [Scheda Storica]


Cari ragazzi di tutte le classi, in prima abbiamo iniziato lo studio della geometria. Lo scorso anno tre ragazze dell’ex-prima A (Agnese, Miriam e Letizia) scrissero un post interessante “Si inizia con la geometria”, in cui esponevano il risultato di una loro ricerca sulla geometria euclidea e  sull’opera di Euclide (vi invito a rileggere il post, che è molto istruttivo!).



Adesso riprendiamo l’argomento con un excursus veloce circa la nascita e l’evoluzione della geometria euclidea…e oltre!!!



Buona lettura!



***




La nascita della geometria probabilmente avvenne quando l’uomo primitivo iniziò ad osservare la natura e cercò di riprodurre per mezzo di disegni quello che vedeva: guardando il Sole e la Luna è nato il concetto di cerchio, le stelle sono i punti, una grande pianura il piano, una montagna il triangolo. Per molti anni la geometria è stata così relegata a motivazioni pratiche come la costruzione di oggetti (frecce, ciotole…) ispirandosi alle forme “geometriche” derivabili dalla natura.



Dobbiamo arrivare alle grandi civiltà Egiziana ed Assiro-Babilonese per vedere i primi elementicalcoli di geometria applicati alla misurazione di lunghezze e superfici.
Il grande sviluppo della geometria si fa risalire al VII secolo a. C. quando i matematici greci, grazie anche alle conoscenze acquisite nei numerosi viaggi in Oriente, iniziarono ad elaborare un sistema strutturato. Poco alla volta la geometria diventò slegata da ogni applicazione pratica e gli enti geometrici diventarono concetti mentali sui quali cercare legami e proprietà. Pitagora prima (VI secolo a. C.) ed Eudosso poi (IV secolo a.C.) diedero un notevole contributo in questo senso, ma l’intervento più importante fu quello di Euclide (300 a.C. circa). Nella sua opera, i 13 libri degli Elementi, che sono il primo trattato scientifico arrivato sino a noi, Euclide raccoglie le conoscenze geometriche dell’epoca e le espone in modo sistematico, astratto e generalizzato, creando così un modello di teoria matematica che è rimasto insuperato per secoli. Nei suoi libri, Euclide segue uno schema logico ben preciso: inizia a definire i “termini”, cioè la definizione delle parole usate nel seguito; successivamente vengono enunciate le proposizioni non dimostrate, chiamate assiomi o postulati. Tutte le altre conseguenze, i teoremi, derivano dalle definizioni iniziali mediante processi  di ragionamento chiamati dimostrazioni.
Per secoli, Euclide è stato considerato un’autorità scientifica indiscutibile e la sua geometria (la cosiddetta geometria euclidea) costituì il  modello di base per la rappresentazione della realtà in gran parte del mondo. Essa influenzò anche l’arte, l’architettura e la stessa psicologia dell’uomo, il suo modo di vedere le cose e di pensare.



saccheriNel 1700 il gesuita italiano Girolamo Saccheri, considerando gli assiomi di Euclide, volle provare a dimostrare il 5° postulato (per un punto esterno a una retta passa una e una sola parallela) a partire dagli altri assiomi. Nel tentativo di provare la sua tesi, partendo dalla negazione del 5° postulato,  riuscì a costruite una pseudogeometria che funzionava anche senza il 5° postulato. La sua opera conobbe una certa fama dopo la sua morte, ma poi andò dimenticata.



 



 



La svolta avviene circa un secolo dopo, quando il matematico russo Nikolaj Ivanovic Lobacewskij (1793-1856) e l’ungherese Janos Bolyai ( 1802- 1860), indipendentemente uno dall’altro, capirono che non era possibile dimostrare il 5° discopoincaréiperbolicaassioma di Euclide a partire dagli altri assiomi. Entrambi costruirono una geometria basata sulla considerazione che, data una retta r e un punto P fuori di essa, esiste più di una parallela  per P alla retta r. Con questo nuovo assioma riuscirono a costruire una nuova geometria alla quale fu dato il nome di geometria iperbolica. In essa non valgono molti teoremi (per esempio il teorema di Pitagora o quello relativo alla somma degli angoli interni di un triangolo) ed è possibile compiere operazioni geometriche impossibili (ad esempio la quadratura del cerchio).



 



Un secolo più tardi, il tedesco Georg F.B. Riemann (1826-1866), sempre negando il 5° postulato di Euclide, costruì un’altra geometria, detta geometria ellittica, basata sul presupposto che per un punto esterno ad una retta non si può condurre alcuna parallela.
Per avere un esempio della geometria ellittica basta considerare un mappamondo. Su di esso è possibile costruire un triangolo con tre angoli retti. Basta, infatti:



geometriaellittica• Posizionarsi sull’Equatore in corrispondenza del meridiano di Greenwich (0°)
• Spostarsi a destra lungo l’Equatore per 90°
• Salire verso il polo Nord
• Ripercorrere il meridiano di Greenwick fino a giungere all’Equatore.



Ma allora perché studiare la geometria euclidea? Possiamo affermare senza ombra di dubbio che le sue conclusioni continueranno a valere ancora per molti anni. Sulla superficie terrestre continueremo ad usare questa geometria per costruire case, strade ed altro ancora. Allo stesso tempo, però, oggi disponiamo anche di altre geometrie che possiamo utilizzare a seconda dei nostri scopi.
Nello studio dell’astronomia, spesso, soprattutto per gli oggetti più distanti (quasar), si ricorre alla geometria iperbolica.



Nella robotica invece si possono muovere i bracci del robot lungo circonferenze o su una sfera, utilizzando le leggi della geometria ellittica. Un’altra applicazione la troviamo 180px-Industrial_Robotics_in_car_productionnella determinazione delle rotte degli aerei. I piloti degli aerei sanno benissimo che per andare da Milano a New York è più veloce passare dal Polo Nord che viaggiare lungo il parallelo: utilizzano così la geometria ellittica anche se forse non l’hanno mai studiata.



 



 



 



 



***



Una versione bilingue (inglese-greco) degli Elementi



Euclid's Elements (using geometry applet)



Euclid's Elements (Table of Contents)



Leggi i post correlati, cliccando sul tag "geometria">>



_________________



Bibliografia di riferimento: Vacca, Artuso, Bezzi “Geometria 1”, ATLAS 



17 commenti:

  1. Bellissimo percorso storico della geometria.

    Ciao, Daniele

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  2. Che belle le geometrie non euclidee, anche se poi hanno avuto soprattutto il merito di rendere ancora più grande il grande Euclide!


    Maurizio.

    RispondiElimina
  3. @Daniele: grazie, Dan, per l'apprezzamento:)


    @Maurizio: concordo con la tua considerazione su Euclide:)


    Salutoni a entrambi!

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  4. Leggo una tua maggior frequenza di post e commenti: sei gia' tornata a casa o a Gallipoli il tempo e' brutto?

    Euclide? Who' s who?

    Oh, I remember.

    Amarcord.

    E' quel geometra di cui Moro tento di smantellare l' assioma delle parallele cercando di farle diventare convergenti.

    Al di la' delle battute, grazie ancora una volta per costringermi a ripassare la storia della geometria.

    Vale.

    PL

    RispondiElimina
  5. Ciao Annarita! Leggo sempre volentieri i tuoi posts : mi rinfrescano la memoria e allargano le mie conoscenze matematiche !

    passo per un saluto veloce ma come sempre mi fermo a leggere anche se tra un'interruzione e l'altra. Da alcuni giorni ho problemi con la connessione e quindi leggo a rate e super velocemente.

    un abbraccio

    elisa

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  6. bella ouverture nel mondo della geometria, semplice ed istruttiva.

    ...e il nastro di Moebius? :)

    Michelangelo

    RispondiElimina
  7. @Pier Luigi: non sono ritornata a casa...e a Gallipoli il tempo è stupendo;). La maggiore frequenza di post e di commeti è puramente casuale.;)


    Perché non ti logghi più, quando lasci un commento?

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  8. @Elisa: ti ringrazio di passare dai miei blog e di lasciare commenti nonostante le tue difficoltà di connessione.


    Un abbraccio

    annarita

    RispondiElimina
  9. Grazie dell'apprezzamento, Michelangelo. Ci sono dei post sul nastro di Moebius. Cerca nel tag "topologia";)


    A presto!

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  10. Ho letto affascinata, anche se devo essere sincera, io sono ferma alla geometria euclidea. Però vorrei capirci qualcosa in più. Cercherò, tra le mille cose di questa estate, di metterci anche questo!

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  11. Non so perche' i miei commenti siano tornati ad essere anonimi.

    Adesso provo con l' URL di trackback.

    Altrimenti URLLLLL

    Vale

    PL

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  12. Ciao, Zvet! Lieta di leggerti:). Passa a trovarmi...mi farai sempre piacere.

    Un abbraccio e a presto:)

    RispondiElimina
  13. Pier Luigi, più che con l'url di trackback, dovresti provare ad inserire unsername e password quando accedi a splinder;)


    Un abbraccione

    annarita

    RispondiElimina
  14. Grazie dei commenti ai miei ultimi post.

    Grazie dei consigli.

    Vale

    PL

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  15. Pier Luigi, rivedo finalmente il tuo simpatico sorriso :)


    Come potrei non commentare i tuoi post, che leggo con enorme interesse? Ormai sono diventati una piacevole abitudine.


    Un abbraccio

    annarita:)

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  16. Bello, attenzione pero' che il meridiano e' di Greenwich, non Greenwick.
    Detto questo, bello parlare anche delle geometrie non euclidee in modo semplice e a disposizione di tutti per approfondire!

    Andrea

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  17. Benvenuto, Andrea. Ti ringrazio di aver segnalato il refuso, dovuto alla velocità di scrittura.

    Sai quando si pubblicano post per tre blog giornalmente, può capitare!

    Annarita

    RispondiElimina

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