Matematicamente

lunedì 23 luglio 2012

La Sezione Aurea Nelle Piramidi Egizie



E' arcinoto come la sezione aurea sia stata ampiamente utilizzata nell'Arte e nell'Achitettura. Matem@ticaMente le ha dedicato diversi post:

La Sezione Aurea Raccontata Dai Ragazzi


- La Spirale Cosmica: Sezione Aurea Dell'Universo


La Sezione Aurea: Il Rapporto Che Esprime La Bellezza, in cui si fa riferimento alla spirale logaritmica.


Sulla Sezione Aurea e dintorni, in cui si fa riferimento alla successione di Fibonacci.


I "coniglietti" di Fibonacci


Diagrammi Di Voronoi E Triangolazioni Di Delaunay

In questo articolo, ci occuperemo, in particolare dell'utilizzo che ne fecero gli antichi Egizi, i quali furono probabilmente i primi a usare la matematica nell'arte. Sembra quasi certo che essi attribuirono proprietà magiche alla sezione aurea (rapporto aureo, proporzione divina, Phi) e la utilizzarono nella progettazione delle loro superbe piramidi. 

Se si considera una sezione trasversale della Grande Piramide di Giza, si ottiene un triangolo rettangolo, il cosiddetto Triangolo Egiziano.


Il rapporto tra l'apotema della piramide (l'ipotenusa del triangolo) e la distanza del lato di base dal centro (la metà della dimensione di base) è 1,61804... che differisce da Phi soltanto di una sola unità nella quinta cifra decimale.


Se ipotizziamo che la dimensione di base è di 2 unità, allora i lati del triangolo rettangolo stanno nella proporzione 1: radice quadrata di phi: phi e l'altezza della piramide è pari alla radice quadrata di phi.



Sebbene le piramidi siano state trovate in altre parti del mondo, in particolare in America centrale, sono le piramidi egizie, e soprattutto la Grande Piramide di Giza, ad aver catturato l'immaginazione a livello mondiale.


La Grande Piramide di Cheope (o Khufu) è stato descritta come il monumento più duraturo mai costruito e il più grande edificio mai costruito. E' stata considerata come una delle Sette Meraviglie del mondo antico, e ancora oggi è considerata una delle maggiori attrazioni turistiche del mondo. La Grande Piramide è stata costruito dal faraone Cheope come monumento funebre, nel  2700 aC, ma non è stata la prima piramide egizia.


Piramide di Saqqara
Tale primato va alla piramide a gradoni di Saqqara a sud del Cairo, che fu commissionata dal faraone Zoser intorno al 2700 aC e progettata da  Imhotep, il primo grande architetto della storia, che fu anche molto altro.




La Grande Piramide è enorme: in origine era alta 146,5 m (ora 137,2 m), con una base quasi perfettamente quadrata, una estensione di 53 ettari e contenente circa 2 500 000 blocchi di pietra tagliati con estrema precisione, del peso di 2,5 tonnellate ciascuno. La sua vicina, la piramide di Chefren (o Khafre), è solo leggermente più piccola: originariamente era alta 143,5 m (ora 136,5 m).

La straordinaria precisione geometrica della sua costruzione interna ed esterna, il suo orientamento preciso rispetto ai quattro punti cardinali e la sua posizione rispetto al Tropico del Cancro e alla valle del Nilo, sono elementi che, secondo alcuni, suggeriscono che la Grande Piramide sia stata più di un semplice monumento funebre. C'è una crescente evidenza sul fatto che essa abbia rivestito un grande significato per le misure astronomiche  e quelle terrestri. Alcuni credono che, nella sua struttura, fosse racchiuso un significato mistico.
Altri come Aldo Bonet e Jean-Pierre Houdin non credono a tale significato mistico. Houdin afferma, infatti, che "Non ci sono Misteri nelle Piramidi!” (Leggere il post "La Grande Piramide Di Cheope E La Teoria Di Jean-Pierre Houdin")


Una delle icone più conosciute, che riflettono questo punto di vista, è la rappresentazione di una piramide sul Gran Sigillo degli Stati Uniti d'America, e la riproduzione sulla banconota del dollaro USA.







La Grande Piramide e Phi


Lo storico greco Erodoto racconta che, secondo i sacerdoti dei templi egizi, la Grande Piramide fu costruita in modo tale che l'area di ciascuna delle sue quattro facce fosse uguale al quadrato della sua altezza.




Sia l'altezza della piramide uguale alla radice quadrata di x unità, e la lunghezza dei lati di base di 2 unità. Allora il quadrato dell'altezza è x, e la lunghezza dell'apotema della piramide deve essere di x unità, in modo che l'area della faccia sia x .


Verificare che l'area di una faccia è  x, e dimostrare che x^2 = x + 1.


Questa equazione è la relazione che definisce, per Phi = 1.618033..., la sezione aurea. In altre parole, per una piramide a base quadrata di lato 2, l'altezza della piramide è radice quadrata di Phi  e l'apotema è Phi.


Le dimensioni effettive della piramide in cubiti reali erano: 280 per l'altezza; 356 per l'apotema; 440 per la lunghezza della base. 1 cubito reale = 0,525 metri, la lunghezza standard di un avambraccio, dal gomito alle dita.

Verificare che le dimensioni di cui sopra sono nel rapporto radice quadrata di x : x : 2.


Concludo l'articolo con un accenno alla relazione tra la Grande Piramide e pi greco.


La Grande Piramide e pi greco


Di seguito, si può considerare un altro rapporto evidente nella Grande Piramide:


"Il perimetro della base quadrata è uguale alla circonferenza di un cerchio avente raggio uguale all'altezza della piramide."


Verificare
Dato che la lunghezza della base della piramide è 2, e l'altezza, come sopra, è radice quadrata di Phi, dimostrare che pi greco = 4/radice quadrata di Phi. Verificarne l'esattezza  con la calcolatrice.


Verificare
Ora sostituire le misure del cubito reale del perimetro di base e l'altezza della Piramide (di cui sopra) in questo rapporto, per dimostrare che pi greco = 22/7.


Verificare
Ancora un altro rapporto, scoperto altrove negli antichi monumenti egiziani, è il risultato approssimativo: pi greco = 6/5 . Phi^2. Verificare, usando la calcolatrice.


Buone approssimazioni per Phi  sono date dai rapporti di termini successivi della successione di Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...Possiamo ottenere una buona approssimazione per pi greco, utilizzando tali rapporti. 


Con un cerchio di diametro 21 unità, la circonferenza è:


21 pi greco = 21 . 6/5 Phi^2 = 21 . 6/5 . Phi Phi = 21. 6/5 . 34/21 . 55/34 = 66


Questo dà un valore approssimato di pi greco pari a 66/21 = 22/7 



La più grande piramide egizia


Nel papiro di Mosca (c. 1850 aC) si trova il seguente problema:


Ti viene dato: un tronco di piramide di 6 cubiti di altezza, di 4 cubiti nella base inferiore e di 2 cubiti nella base  superiore. Calcola il quadrato di 4: il risultato è 16. Calcola il quadrato di 2: il risultato è 4. Prendi due volte 4: il risultato è 8. Addiziona 16, 8 e 4: il risultato è 28. Prendi un terzo di 6: il risultato è 2. Prendi due volte 28 : il risultato è 56. Ecco, è 56!


Ciò è equivalente alla formula:
V = 1/3 . (a2 + ab + b2), per il volume di un tronco di piramide a base quadrata di altezza h, avente 1 come lunghezza del lato di base, e b come lunghezza del lato della base superiore. (Cosa succede quando poniamo b = 0 ?)


Questo problema è stato definito come "la più grande piramide egizia", considerata come la più alta realizzazione della geometria egiziana.


Come sono riusciti gli egiziani ad ottenere questa formula?


Ci sono due spiegazioni:
(a) è stata ottenuta da una conoscenza del volume della piramide, utilizzando numeri quadrati;
(b) è stata ottenuta dal considerare il volume rimasto quando una piramide più piccola viene rimossa dalla parte superiore di una piramide più grande.


Lo storico della Matematica Aldo Bonet suggerisce una terza opzione: quella per equiscomposizione ed equicomposizione (C. B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori, pagine 22,23,24,25).


Verificare
Dimostrare che il problema del papiro di Mosca equivale alla formula moderna data. Ottenere la formula del volume, seguendo la spiegazione (b) di cui sopra, utilizzando piramidi quadrate aventi lunghezze di base a e b.


La piramide sulla sulla banconota del dollaro USA è in realtà un tronco di piramide. Tale piramide potrebbe essere stata utilizzata, dai sacerdoti egiziani, come base per le loro osservazioni astronomiche .
____________________________


Fonti dell'articolo


Fonte 1


Fonte 2



6 commenti:

  1. In effetti, non c'è male Pa.

    RispondiElimina
  2. Ciao Annarita, che la matematica e in particolar modo l’algebra abbia influenzato l’architettura ( da cui l’algebra è nata) è molto probabile, che il rapporto aureo sia stato conosciuto dalle civiltà potamiche ( come operazione inversa del teorema “di Pitagora”) è altrettanto probabile..certamente tu fai riferimento alle fonti 1 e 2 e lo fai stuzzicando i tuoi visitatori…pertò io, starei molto cauto prima di attribuire all’architetto Hemiunu durante la IV dinastia egizia ( 2620-2500 a.C), una consapevolezza del risultato di questi rapporti voluti da una scelta precisa di detti valori nella costruzione della Piramide di Cheope..se il rapporto aureo e il pigreco che ne scaturiscono sono molto vicini a quelli teorici è plausibile chiederci se ciò costituisce una prova! E, soprattutto poi, il perché di tutto ciò, e poiché io, non sono nemmeno un discepolo della corrente casualista… credo invece che sia più ragionevole che questi rapporti vicini a quelli teorici siano solo il frutto di una causa tecnica di costruzione della Piramide di Cheope, così come hanno esaminato e ipotizzato da tempo: Richard Gillings, Roger Fischler, George Markowsky e Kurt Mendelssohn ovvero, mediante un rullo dal diametro di un cubito reale col quale gli egizi avevano gettato la misura della base orizzontale e delle varie misure di controllo orizzontali della piramide e la sua elevazione mediante il cubito reale, vedere qui alla voce l’antico egitto:
    http://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_aurea

    Oppure, siccome il rullo ipotizzato ( una piccola colonna di granito) era molto vicino all’idea della ruota che ancora all’epoca di Cheope non avevano scoperto né sviluppata è più probabile che usassero la corda ciclo-metrica pari alla circonferenza estesa sul piano di una colonnetta di diametro pari al cubico reale, vedere anche a tal proposito: L. Giacardi e S.C. Roero la matematica delle civiltà arcaiche, stampatori didattica 1978, pag. 99, 101, 102.

    Annarita tu scrivi: “La Grande Piramide di Cheope (o Khufu) è stato descritta come il monumento più duraturo mai costruito e il più grande edificio mai costruito”
    Ed è vero ! In effetti fu il monumento più alto del mondo sino al 1880, anno di completamento della cattedrale di Colonia, le cui torri raggiungono i 159 metri di altezza…però sinceramente io mi sottraggo da una visione mistica della piramide di Cheope ( o delle altre) resto del parere, come dice l’Architetto Jean-Pierre Houdin: “ Non ci sono Misteri nelle Piramidi!”

    Per quanto concerne la corretta procedura che presuppone una conoscenza di una “formula” del volume del tronco di piramide, ci sarebbe anche l’opzione “c”: quella per equiscomposizione e equicomposizione, ma per questo invito a leggere C. B. Boyer, storia della matematica,mondadori, pag22,23,24,25.

    Un abbraccio

    Aldo

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  3. Ciao, Aldo. Aspettavo il tuo commento. Tu sei uno storico della Matematica e hai molto da dire su post come questo.

    Una precisazione: nell'articolo, non ho nominato Hemiunu, ma Imhotep cui è attribuita la progettazione della piramide di Saqqara.

    Inoltre, non ho affermato "che se il rapporto aureo e il pigreco che ne scaturiscono sono molto vicini a quelli teorici è plausibile chiederci se ciò costituisce una prova!".

    Ho solo riportato, in base alle due fonti citate, le connessioni esistenti tra la sezione aurea, il pi greco e le piramidi egizie. Per il resto sono d'accordo con le tue argomentazioni.

    Nemmeno io credo a una visione mistica della piramide di Cheope, ma alcuni lo pensano ed ho riportato ciò, che non è sicuramente un mio pensiero. Sai benissimo che credo fermamente nella tesi di Jean-Pierre Houdin.

    Grazie per la terza ipotesi c che integrerò nell'articolo.

    Come sempre, grazie.

    Abbracci
    Annarita

    RispondiElimina
  4. Ciao Annarita, temevo che il mio commento fosse frainteso. Il commento parte con il tuo nome per una questione di forma e cortesia, ma certamente non era rivolto a te che da tempo ormai so come la pensi in proposito, ma era rivolto alle altre scuole di pensiero e soprattutto alle più disparate che tu, come buona divulgatrice scientifica, stuzzichi per dargli giustamente spazio e opinione nonché soprattutto confronto con tutte le altre.

    Fai bene a farlo, poiché di queste scuole fanno parte anche noti egittologi del museo egizio di Torino, i quali, contrariamente a te e a molti altri, diffondono attraverso note trasmissioni televisive nazionali solo e soltanto il loro pensiero,giusto o sbagliato che sia, senza però, avere alcun contradittorio e di cui i conduttori o le conduttrici sono ignari dell’esistenza di altre scuole e di altre teorie molto più razionali e didatticamente più istruttive.

    Un abbraccio

    Aldo

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  5. Nessun fraintendimento, Aldo. Concordo con le tue considerazioni.

    Ho solo precisato a beneficio dei lettori.

    Un abbraccio.
    Annarita

    RispondiElimina

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