Matematicamente

mercoledì 18 luglio 2012

Come Spiegare Zero Elevato Alla Zero Agli Undicenni?



Questo articolo trae spunto da una discussione scaturita su G+  intorno al seguente quesito, posto da Tania Tanfoglio:



l'equazione y=a^b
1. è vera per ogni valore di a e di b
2. è vera per ogni a>o e per ogni valore di b
3. nessuna delle precedenti

La prima risposta è stata scartata per il caso particolare in cui  a=0 e b=0 ovvero per la forma 0^0. Non entro nel merito di quale sia la risposta esatta delle tre, rivolgendo la mia attenzione a 0^0, su cui sono già stati  scritti tre post: da Gianluigi Filippelli su Dropsea, da Juhan su Al tamburo riparato e da Maurizio Codogno su Il Post, che sono in ordine un fisico, un ingegnere informatico e un matematico.


La risposta su cui concordano, in generale, tutti è la seguente:


0^0 è una forma indeterminata.


Juhan ha sviluppato un approccio informatico secondo cui 0^0=1 perché altrimenti non sarebbe utile.


Se volete saperne di più andate a leggere i tre post che ho segnalato.


La questione che mi interessa mettere in evidenza è come spiegare che 0^0 è una forma indeterminata ai primini della scuola media!


Essì, miei cari, le potenze con annessi e connessi si affrontano in prima media e tutti i libri di testo riportano 0^0 come forma indeterminata. Si tenga conto che gli undicenni conoscono soltanto l'insieme dei numeri naturali e non conoscono né il concetto di funzione né quello di equazione.


Inoltre è piuttosto astruso a quella età anche il concetto di definizione, ragione per cui, nella prassi didattica, il concetto di potenza, all'interno dei numeri naturali, viene introdotto in modo operativo come la moltiplicazione di n fattori uguali, per cui:


2^3= 2 x 2 x 2


4^5= 4x 4 x 4 x 4 x 4


ecc.


Fin qui, fila tutto liscio e l'operazione viene compresa senza difficoltà...ma i problemi hanno inizio con i casi particolari.


Che cosa succede quando l'esponente è 0 e la base un numero naturale diverso da zero?


Esemplificando, come considerare situazioni quali 5^0 oppure 3^0?


Il problema viene risolto abbastanza agevolmente, ricorrendo alle proprietà delle potenze, ed in particolare al quoziente di potenze di ugual base e di ugual esponente. Esemplificando:


5^3: 5^3= 5^3-3= 5^0 ma 5^3 = 125 e 5^3: 5^3= 125 : 125 =1  quindi 5^0 =1


per cui


n^0 =1, con n diverso da zero. 


Il caso 0^n, con n diverso da zero, viene accettato senza problemi dai ragazzi perché riescono a conferire un senso preciso a situazioni del tipo:


0^5 = 0 x 0 x 0 x 0 x 0 = 0


Ma come considerare il caso in cui sia la base che l'esponente sono entrambi uguali a zero? In sintesi, qual è il risultato di 0^0?


A questo punto, lascio formulare ai ragazzi le loro ipotesi perché non trovo didatticamente significativo affermare semplicisticamente che 0^0 è una forma indeterminata, così come riportato nel manuale scolastico, e dire loro che ne comprenderanno il significato più avanti, procedendo negli studi.


Le ipotesi che scaturiscono dai ragazzi sono, in genere, le seguenti:
  • non lo so;
  • 0^0 non ha significato perché non ha senso moltiplicare zero volte lo zero;
  • consideriamo, ad esempio, il quoziente 0^3 : 0^3 = 0^3-3 = 0^0 ma 0^3 = 0 quindi  0^3 : 0^3 = 0 : 0 = ad un numero naturale qualsiasi perché qualsiasi numero moltiplicato per zero dà sempre zero come risultato, quindi il risultato non si può determinare.
Beh, io sono soddisfatta così. 
__________________________________

AGGIORNAMENTO


Juhan informa in un commento di avere pubblicato un secondo post sulla questione:


"...dopo il primo post ne ho pubblicato un altro, per tirare le conclusioni e dire che sì per i computer 0^0 vale 1 ma per me resta indeterminato. Poi con il 'puter giungo a un compromesso ;-)"


12 commenti:

  1. Ho seguito la discussione ed ho letto tutti e tre i post che tu hai segnalato, ognuno dei quali affronta la questione con punti di osservazione diversi ed interessanti. Mancava il punto d'osservazione di chi poi deve spiegare certe cose ai "famosi undicenni". La tua spiegazione non fa un grinza soprattutto in considerazione delle riflessioni finali. E c'è di che essere soddisfatti per un docente, soprattutto per le ultime due ipotesi che scaturiscono dai ragazzi.
    La seconda denota un ragionamento di una logica quasi spietata, mentre la terza lascia intravedere un bel potenziale; sicuramente terreno fertile su cui lavorare.
    Sarebbe interessante capire bene il significato del termine "indeterminata" e una volta fatto questo chiedersi se forse in questo caso sia più adatto il termine "indefinita".
    Una cosa è certa:
    certe discussioni sembrano essere poco utili (quasi astratte) ad un occhio poco attento alla didattica, ma così non è. Sono sempre stimoli che mettono in moto meccanismi di pensiero e quando il cervello è in moto (qualsiasi sia il motivo) è comunque sempre un bene.
    Un salutone
    Marco

    RispondiElimina
  2. Ottimo. Solo una precisazione: dopo il primo post ne ho pubblicato un altro, per tirare le conclusioni e dire che sì per i computer 0^0 vale 1 ma per me resta indeterminato. Poi con il 'puter giungo a un compromesso ;-)

    RispondiElimina
  3. Sarebbe interessante capire bene il significato del termine "indeterminata" e una volta fatto questo chiedersi se forse in questo caso sia più adatto il termine "indefinita"

    Considerazione condivisibile, Marco, ma sui termini "indeterminata" e "indefinita" non sono d'accordo nemmeno i matematici avanzati...a questa età bastano e avanzano le conclusioni dei ragazzi.

    Naturalmente, se dovesse scaturire da qualcuno dei miei undicenni il termine "indefinita", soltanto allora la questione potrebbe essere presa in considerazione.

    Grazie dell'apporto.

    Un salutone.

    Annarita

    RispondiElimina
  4. Juhan, grazie di avermi avvisato del secondo post. L'ho appena letto. Più tardi lo linkerò per completezza.
    Adesso vado a fare gnam gnam;)

    Ciao!

    RispondiElimina
  5. cara Annarita, passo per un saluto e un abbraccio:))
    Ciao!

    RispondiElimina
  6. Ricambio il saluto e l'abbraccio, Rosaria. Buona serata.

    A presto!

    RispondiElimina
  7. Eccomi giunto a questo bellissimo post grazie a Marco, perché oggi ho scritto anche io di 0 alla 0, ma in chiave più "poematematica" che rigorosa ;) Mi sono lasciato trascinare da un momento di delirio creativo (il link è questo, se magari sei curiosa: http://naturamatematica.blogspot.it/2013/03/zero-elevato-alla-zero-essere-1-o-non.html?showComment=1364417472961#c3005045264543619401)
    Concordo con ogni parola scritta da Annarita, veramente un bel pensiero di grande valenza didattica!
    Anche io spesso sono combattuto tra il sapermi "accontentare io" di quello che possono pensare gli alunni alla loro età ed al loro livello di studi, e il fornire invece loro concetti spiegati in maniera sufficiente ad "accontentare loro".
    E faccio sempre come mi suggerisce il binomio cervello-cuore in quel momento... ;)

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Scusa il ritardo, Chris, ma questo è un periodo difficile per me. Grazie dell'apprezzamento.

      Il binomio cervello-cuore non sbaglia, in genere:)

      Elimina
  8. Premetto che sono fondamentalmente un finitista, ma non riesco a capire le bontà di questi ragionamenti: 0^-3 quanto farebbe? Come posso rinunciare ad evidenti proprietà dal momento che sono ancora nei numeri razionali? Il problema evidente è il punto di discontinuità della funzione reciproco. Secondo me, come del resto accade spessissimo in ambiti ben più complessi si lascia al formalismo una cosa che non si risolve con la cognizione. Ed il termine indefinito richiamato non è casuale al posto di indeterminato. Perché è esattamente quello, non è definita nell'algebra che riguarda l'insegnamento degli undicenni (che non studiano le sfere di Riemann). L'osservazione è ancora più comprensibile se si cerca di materializzare fisicamente anche solo il concetto di zero e basta. Rappresentatemi uno zero in fisica che non sia in condizioni limite. Secondo me oltre il meritorio movimento di meningi intorno al problema, bisognerebbe anche dare una risposta strategica, che potrebbe suonare così per quanto strana: non ci conviene a perdere tempo nel definirlo, ci sono altri problemi che hanno la precedenza, perché forma è anche sostanza.

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Non so chi lei sia, ma evidentemente non ha esperienza di insegnamento agli undicenni. La sua risposta strategica, a mio avviso, non ha alcunché di strategico perché ai ragazzi suonerebbe come una specie di raggiro oppure come se l'insegnante non conoscesse la risposta.

      Invece il "movimento di meningi" è sempre produttivo così come è sempre produttivo tutto ciò che ne consegue.

      Elimina
    2. Ecco un esempio del problema dell'anonimato sul Web. Cosa della quale sono favorevolissimo ma...
      Perché il commento meriterebbe un corposo approfondimento, secondo me, ma contestualizzato. Per esempio per me lo zero c'è eccome, altrimenti i computer non funzionerebbero. E vengono realizzati con componenti per cui lo zero è un'estrapolazione.
      Poi il campo dell'insegnamento, provare per credere.
      "Apriamo il dibattito?"; "no il dibattito no!" (cit).

      Elimina
    3. Juhan, personalmente non sono favorevole all'anonimato. Lo posso tollerare soltanto in casi molto particolari. Questo, poi, è un blog didattico e dovrebbe essere un buon motivo per non commentare da anonimi.
      Anche per me e per la Matematica, intesa specificamente dal punto di vista didattico, lo zero c'è eccome!;)

      Elimina

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...