Matematicamente

giovedì 21 ottobre 2010

Problema Di Monty Hall

Cari ragazzi,

non molto tempo fa abbiamo parlato di Statistica e accoglienza, una semplice e concreta attività affrontata con i primini; oggi, spostandoci all'ambito della teoria della probabilità, vi propongo il celebre problema di Monty Hall.




Il problema di Monty Hall è un famoso problema di teoria della probabilità, legato al gioco a premi americano Let's Make a Deal (
“Facciamo un affare!”). Prende il nome da quello del conduttore dello show, Maurice Halprin, noto con lo pseudonimo di Monty Hall.

Nel gioco vengono mostrate al concorrente tre porte chiuse; dietro ad una si trova un'automobile, mentre ciascuna delle altre due nasconde una capra. Il giocatore può scegliere una delle tre porte, vincendo il premio corrispondente. Dopo che il giocatore ha selezionato una porta, ma non l'ha ancora aperta, il conduttore dello show – che conosce ciò che si trova dietro ogni porta – apre una delle altre due, rivelando una delle due capre, e offre al giocatore la possibilità di cambiare la propria scelta iniziale, passando all'unica porta restante.

Cambiare porta migliora le chance del giocatore di vincere l'automobile? La risposta è sì: cambiando le probabilità di successo passano da 1/3 a 2/3.





Il problema è anche noto come paradosso di Monty Hall, poiché la soluzione può apparire controintuitiva, sebbene non si tratti di una vera antinomia, non generando nessuna contraddizione logica. [Continua a leggere]

Il problema di Monty Hall (MHP) è un famoso esempio di “illusione cognitiva” spesso utilizzata dagli psicologi del ragionamento per dimostrare la difficoltà delle persone a ragionare in termini di probabilità.

Segue la formulazione originaria del problema di Monty Hall.



IL PROBLEMA DI MONTY HALL



Supponi di essere ad un gioco televisivo a premi. Ti viene detto di scegliere una porta su tre. Dietro una porta c’è un’automobile lussuosa, dietro le altre due ci sono due capre. Tu scegli una porta, diciamo la numero 1, che non apri. Il presentatore, che sa cosa c’è dietro alle porte, apre un’altra porta, diciamo la numero 3, che rivela una capra. Il presentatore a questo punto ti dice: “vuoi cambiare con la porta numero 2?” Hai qualche vantaggio nel cambiare la tua scelta iniziale?
[Fonte]


Per approfondire, potete consultare la web page del problema di Monty Hall.

E adesso gustate un video.





Potete seguire sul sito
di Marilyn vos Savant la controversia sul problema di Monty Hall, sorta nei primi anni ’90.


Marilyn vos Savant, accreditata all’epoca dal Guinness Book of World Record di un QI (quoziente intellettivo) pari a 228  come la persona vivente più intelligente al mondo,  risponde, sin dal 1986, ai lettori della rivista Parade nella rubrica domenicale “Chiedi a Marilyn”, in cui risolve enigmi logico-matematici (tra i quali particolare risonanza ebbe appunto il Problema di Monty Hall) e risponde alle domande dei lettori su una varietà di argomenti.





8 commenti:


  1.  Resterei ferma alla prima idea
    non cambierei.
    seguirei il primo intuito
    Non ci vedrei nessun vantaggio 
    a cambiare la  porta.


    Ti abbraccio e notte serena 
    Ciao!


     

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  2. Io non ho ben capito perchè cambiare porta aumenti le possibilità da 1/3 a 2/3.
    Per me la prima volta che scelgo, le possibilità di trovare la macchina sono 1/3, non trovo la macchina, bene, il conduttore apre una delle porte con dietro la capra e mi chiede se voglio cambiare porta.
    Le possibilità sono due:
    1)
    decido di tenere la porta che avevo scelto e quindi non gioco più,
    rimane quindi 1/3 di probabilità iniziale.
    2)
    decido di cambiare porta, ma a questo punto e come se facessi una nuova partita, questa volta però le probabilità sono di 1/2 perchè una porta è stata eliminata dal gioco. In questo modo gioco due volte con 1/3 di probabilità la prima volta e 1/2 la seconda. Avendo giocato 2 volte non dovrei sommare le due probabilità ( 1/3+1/2 )e poi dividerle per 2 ?
    Il risultato sarebbe 5/12 che comunque è sempre maggiore di 1/3, quindi sembra che convenga cambiare porta.

    Probabilmente ho scritto una grossissima cavolata,
    o "l'illusione cognitiva" mi ha completamente disorientato.
    Aiuto Annarita, da dove viene fuori 2/3
    Un saluto
    Marco



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  3. Marco, bella l'immagine! Dai prova ancora...pensa che hanno dato la risposta errata molti PhD in matematica...eppure la risoluzione è, tutto sommato, semplice! Basta riflettere sul fatto che il concorrente NON RISCEGLIE A CASO fra le due porte rimanenti ma CAMBIA SEMPRE LA PORTA!

    RispondiElimina

  4. Bravissimo, Marco. Sei grande! Una bellissima dimostrazione grafica alla quale dedicherò un post specifico.

    Bravo non solo per la dimostrazione, ma anche per le riflessioni che la accompagnano!

    Un abbraccione.
    annarita

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  5. Complimenti, campione! Ho atteso pazientemente l'esito di questa tua appassionata ricerca della soluzione del problema, certa del tuo successo nell'impresa! Sei grandioso! Utilizzerò prossimamente a scuola questa tua "sofferta soluzione", nell'approccio allo studio della  disintegrazione della probabilità totale e del teorema di Bayes. Grazie, Marco, e grazie a te, Annarita, per questo accattivante ed interessantissimo post.
    Un grande abbraccio ad entrambi!
    Serena notte,
    maria I.

    RispondiElimina

  6. Cara Annarita
    Come ho già detto mi sono divertito cercando di risolvere questo problema,
    quindi ho provato ad impegnarmi prima di tutto per me stesso,
    ma la tua opinione ed il tuo giudizio sono per me davvero importanti e mi fa quindi piacere che tu sia rimasta soddisfatta.
    All' amica Maria I che stava nascosta dietro un angoletto, che incuriosita e divertita soprattutto dalle mie prime farneticazioni, che dice che con fiducia attendeva pazientemente la fine delle mie sofferenze, dico grazie.

    Grazie Maria e Annarita di non essere intervenute, di non aver interrotto la mia ricerca della soluzione,
    di aver atteso che potessi arrivarci da solo.

    Oggi, risolto ormai il problema, ho riletto con attenzione l'intero post e mi rendo conto che effettivamente la soluzione era già nel video o nei link informativi proposti, ma ieri, completamente affascinato dal problema e ansioso di provare a risolverlo, non ho neanche finito di leggere il post, mi sono armato di carta e penna e mi sono immerso nel problema escludendo tutto il resto.

    Sono contento che sia andata così e non mi vergogno di aver scritto anche delle "boiate";
    vi ringrazio tantissimo per avermi permesso di "pensare ad alta voce"

    Se vorrete utilizzare la mia dimostrazione con i vostri studenti io ne sarò davvero orgoglioso.
    Un abbraccione ad entrambe
    Marco


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  7. Salve prof Annarita.
    Sono il papà di Marco e mi permetto di intervenire
    nella vostra discussione, dopo aver chiesto l'autorizzazione a mio figlio,
    che si sta agitando dietro le mie spalle
    preoccupato per quello che potrei scrivere.

    Vorrei pubblicamente ringraziarvi
    per quello che in questa occasione,
    ma anche in altre, avete fatto per mio figlio.
    Soprattutto mi piacerebbe mettere in risalto questa vostra
    pagina che personalmente considero un perfetto esempio
    di didattica e di come vanno motivati i ragazzi.


    Ieri mi chiama Marco e felicissimo mi comunica di
    essere riuscito a risolvere un gioco che lei aveva proposto,
    Vengo su questa pagina e leggo post e commenti.
    Lo richiamo, gli dico che è stato bravissimo
    e che il giorno dopo, oggi, ne avremmo parlato di persona.
    Questa mattina rileggiamo la pagina insieme,
    gli rifaccio i complimenti e però gli faccio
    notare che il fatto di non aver letto attentamente
    l'articolo ed eventualmente i link di riferimento
    non era certo una cosa positiva; per me era come
    non aver letto attentamente la traccia di un tema
    o di un problema a scuola, cosa che poteva fargli
    commettere errori proprio come effettivamente è successo.
    Lui, dal profondo della sua innocenza mi risponde:
    < Primo non siamo a scuola, secondo, se avessi fatto
    quello che dici tu, non avrei mai provato a risolvere il problema
    >

    Mi ha lasciato interdetto
    Sono stato "costretto" a rispondergli che aveva ragione lui.
    Ho da poco riletto i vari commenti e mi sono soffermato
    soprattutto sul numero 10 in cui Marco dice:
    < Grazie Maria e Annarita di non essere intervenute,
    di non aver interrotto la mia ricerca della soluzione,
    di aver atteso che potessi arrivarci da solo
    >
    Ho capito allora il vero senso di questa pagina,
    del problemino proposto e probabilmente dell'intero blog,
    ho capito perchè nessuno alla prima soluzione di Marco
    gli ha risposto che aveva scritto una vera "boiata",
    ne avrebbe avuto tutti i motivi; ho capito perchè lei, Annarita,
    invece di giudicare subito gli ha consigliato di informarsi meglio
    ed alla seconda soluzione, con un piccolo complimento,
    lo ha spinto a provare ancora, ho capito perchè la prof Maria I
    e probabilmente altri lettori, sono rimasti in silenziosa attesa.
    La ciliegina sulla torta sono state le gratificazioni finali.

    Se penso che quello che io ho capito solo dopo una attenta
    rilettura e che invece probabilmente a Marco era già ben chiaro
    quando ha scelto questo blog per interagire,
    mi rendo conto quanto spesso noi genitori
    poco conosciamo ed apprezziamo la capacità di riflessione,
    selezione e scelta dei nostri ragazzi.
    I ragazzi vanno verso chi è capace di ascoltarli, comprenderli,
    incentivarli e motivarli, senza fare grandi ragionamenti
    sono in grado di riconoscere immediatamente queste qualità.


    Mi scuso per eccessiva lunghezza di questo mio commento,
    ma mi è sembrato doveroso ringraziare lei Annarita ed i
    suoi lettori; soprattutto ho ritenuto opportuno
    mettere in evidenza questa pagina che mostra in maniera
    chiara come un docente, direi anche educatore,
    dovrebbe comportarsi di fronte
    ad un ragazzo volenteroso che ha il desiderio di misurarsi.


    Ringrazio tutti per la pazienza
    e vi prometto che non ci saranno altri interventi;
    questo blog è un luogo costruttivo e sicuro,
    in cui lascio volentieri mio figlio,
    certo di lasciarlo in buone mani.

    Grazie a tutti,
    chiaramente anche a nome di Marco
    Donato

    RispondiElimina

  8. Caro Donato, passo al tu perché qui siamo tra amici e con gli amici si interagisce in modo diretto!

    Intanto mi congratulo con te e tua moglie per  questo ragazzo dalle indiscutibili capacità e per come lo state tirando su. La famiglia, insieme alla scuola, ha una grande responsabilità nei riguardi dell'educazione dei giovani. Se Marco è tenace nel perseguire determinati obiettivi, oltre che alla sua volitività, deve molto a voi che lo seguite, lo sostenete e lo incentivate lungo il suo percorso di crescita.

    Hai colto quali sono gli intenti dei miei blog. Penso, infatti, che i giovani debbano essere supportati, motivati, incuriositi, in modo da rendere appetibile e quindi percorribile il complesso itinerario che porta alla conoscenza.

    Marco, in realtà, non ha mai detto "boiate" nei suoi tentativi precedenti alla soluzione perché il dilemma di Monty Hall è un esempio piuttosto riuscito di "tunnel mentale" o "illusione cognitiva", ed è riuscito a trarre in inganno addirittura dei fisici vincitori di premi Nobel!

    Ti ringrazio della fiducia che riponi in questo blog e in me che lo gestisco.

    Mi ha fatto molto piacere questo scambio e sei libero di tornare tutte le volte che lo vorrai.

    Un cordiale saluto.
    annarita


    RispondiElimina

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