Il paradosso di Zenone

Cari ragazzi di terza (o meglio ex-terza) se vi trovate a passare dal blog vi consiglio di leggere con attenzione il famoso paradosso di Zenone, che enuncio di seguito. Provate a ragionarci su per gioco e se vi doveste trovare in difficoltà leggete la soluzione, fornita dopo l'enunciato. Diciamo che il problema, in cui si fa ricorso alle serie, può essere un utile esercizio di preparazione in vista del passaggio alle scuole superiori.

Naturalmente, possono cimentarsi anche i grandi se ne hanno voglia

Il piè veloce Achille  sfida alla corsa una lenta tartaruga, dicendole:

- Scommettiamo che riesco a batterti nella corsa anche dandoti dieci metri di vantaggio ?

La tartaruga risponde: - Sai, io sono molto lenta,  ma se mi dai un vantaggio di dieci metri, non riuscirai a battermi!

Achille replica:- Sì che posso, io sono il doppio più veloce di te.

E la tartaruga:- Anche se sei il doppio più veloce non potrai mai raggiungermi. Vedi, mentre tu percorri i dieci metri, che mi hai dato di vantaggio, io mi sposto in avanti di cinque. Tu dovrai poi percorrere questi cinque metri, ma io mi sarò spostata in avanti di altri due metri e mezzo, che tu dovrai recuperare. Ma, mentre tu cercherai di raggiungermi facendo questi due metri e mezzo, io mi sarò spostata di un altro metro e venticinque e così via senza fine, cosicchè tu non potrai mai raggiungermi.

Così dicendo, la tartaruga tracciò sulla terra un disegno che spiegava la situazione. Achille osservò a lungo il disegno, ripetendo mentalmente più volte il percorso della gara, non capacitandosi di come non fosse possibile, a lui così veloce, raggiungere il più lento animale. D'altronde Achille avrebbe potuto, seguendo un altro ragionamento, sostenere di poter vincere la gara. Infatti, quando Achille avesse percorso, diciamo, trenta metri, la Tartaruga ne avrebbe percorsi solo quindici; detratti i dieci metri di vantaggio iniziali, Achille si sarebbe ancora trovato in vantaggio di cinque metri. Il paradosso appassionò molto gli antichi, che non conoscevano la teoria delle serie e trovavano inspiegabile il ragionamento. Proviamo anche noi a riflettere su quel disegno...

SOLUZIONE
Quando Achille si trova in Ao la tartaruga è in To. Achille corre per raggiungerla ed arriva in A1. La tartaruga nel frattempo si è spostata in T1, avendo percorso metà della distanza di Achille, ma restando sempre in vantaggio. Il processo si ripete, apparentemente fino all'infinito e sembra proprio che Achille non raggiunga mai la tartaruga.

Svolgiamo però il calcolo delle distanze, cosi come dei tempi, supponendo che la velocità di Achille sia v =1 m/s (ricordando che la distanza AoA1 è di dieci metri). Achille percorre una distanza pari a Da = 10+5+2.5+... metri, in un tempo t = 10+5+2.5+... secondi.

La tartaruga percorre una distanza Dt = 5+2.5+1.25+... metri in un tempo uguale. Si vede subito che si tratta di tre serie geometriche convergenti. Per es. Da = 10(1+1/2+1/4+...) = 10[1/(1-1/2)] = 10(2) = 20 metri. Dt è la metà di tale valore mentre il tempo impiegato è t = 10(1+1/2+1/4+...) = 10[1/(1-1/2)] = 10(2) = 20 secondi. Dunque dopo venti secondi, avendo percorso venti metri in tutto, Achille raggiunge la tartaruga e un attimo dopo la supera definitivamente.

La vittoria dell'uno o dell'altra dipende da dove viene posto il traguardo. L'errore nel ragionamento è quello di ritenere che una somma di infiniti termini debba dare sempre un risultato infinito. Alla luce delle moderne conoscenze matematiche la soluzione è addirittura banale e si riduce ad un semplicissimo esercizio di cinematica.

A presto

Le Torri di Hanoi

Il problema delle Torri di Hanoi deriva da una antica leggenda indiana che recita così: «nel grande tempio di Brahma a Benares, su di un piatto di ottone, sotto la cupola che segna il centro del mondo, si trovano 64 dischi d'oro puro che i monaci spostano uno alla volta infilandoli in un ago di diamanti, seguendo l'immutabile legge di Brahma:

continua a leggere >>

Vai al gioco delle Torri di Hanoi

Buon divertimento

Gerberto D'Aurillac: matematico o mago?

Gerberto D’Aurillac (ca. 940-1003) nacque poverissimo in una famiglia contadina. Entrò in convento a Saint-Géraud e studiò nel monastero di Aurillac. Si interessò della cultura islamica che apprese in Spagna, dove imparò di tutto: musica, filosofia, letteratura, matematica, alchimia, astronomia, teologia comparata e altro. Poi passò da Reims a Bobbio e da Ravenna a Roma, dove fu nominato Papa Silvestro II nel 999, con l’aiuto dell'imperatore Ottone III.

Primo papa di origine francese della storia, fu universalmente noto per la sua conoscenza in logica, retorica, matematica, geometria, astronomia, musica e medicina. Le radici cristiane dell’idea di Europa sono particolarmente evidenti nel pensiero di Gerberto ed è quindi importante riscoprirne la figura.

Grazie a lui la Chiesa si aprì all’Europa dell’Est. Egli fondò, infatti, le prime diocesi in Ungheria e in Polonia. La prima in terra di Polonia fu la diocesi di Gniezno, da cui sarebbe poi venuto Giovanni Paolo II. Grazie al suo prestigio, la scienza fece il suo ingresso nelle scuole cattedrali e nelle nascenti Università. A lui si deve la diffusione dell’astrolabio e dei numeri arabi da 1 a 9. Costruttore di organi e teorico della musica, rese accessibili agli studenti le ultime novità nei vari settori del sapere di cui era esperto, dando così impulso a tutte le scienze.

Visse in un periodo di incertezza per il futuro a causa della fine del millennio. Si narra che il popolo distrusse la maggior parte delle sue "diaboliche" invenzioni, perché spaventato da esse. Pare che  i popolani avessero in particolar modo timore di una cosa: la fantomatica "testa" di Gerberto. Egli, infatti, avrebbe gelosamente custodito un oggetto, una specie di testa meccanica dorata, che teneva appoggiata su un tavolo. Si narra che quando c'era da risolvere una situazione difficile, Gerberto  dava alla "testa" i quesiti da risolvere e questa gli forniva le corrette soluzioni. La "testa" in possesso di Gerberto era probabilmente una specie di computer. Il termine "testa" poteva significare  "mente", "intelletto", "memoria" e modernamente "elaboratore dati", "computer"? Potrebbe darsi….

Un fatto è certo: la figura di Silvestro II, Gerberto d'Aurillac, è poliedrica quanto controversa.

Si narra che durante il suo soggiorno spagnolo si fosse convertito all’Islam. Tornato in Francia, si riconvertì al cristianesimo, fu fatto vescovo di Reims e successivamente scomunicato per una questione di donne.
Un uomo bruciato? No nel caso del Nostro. Intorno al 960,  Gerberto incontrò la Fata Meridiana, che gli apparve in un bosco e gli promise l’ascesa agli alti ranghi della società. Chi fosse quest’entità non è cosa nota. Alcuni sostengono fosse un seguace del demonio…..
Ad ogni modo, da quel momento l’ascesa cominciò veramente….. per  condurlo sino al seggio di Pietro. Non si sa con certezza come morì, ci sono almeno quattro diverse versioni, che qui non si riportano.

Sappiamo che le sue spoglie mortali riposano nella cattedrale di San Giovanni in Laterano, a Roma. Il luogo della sua sepoltura è oggi visibile dietro al pilastro di S. Filippo Apostolo.
Si dice che dalla tomba esca un rivolo d’acqua ogni morte di papa mentre quando muore un vescovo la tomba si inumidisce solamente…….

Ultima esercitazione...finalmente!

Cari ragazzi,

ecco qui l'ultima esercitazione;-). Mi raccomando concentrazione e calma per lunedì! Va bene?

Scaricatela da Google Docs.

A presto

Un'altra esercitazione

Ciao ragazzi di 3° A.

Allego, come promesso, un'altra esercitazione per la prova scritta di matematica. Se ne avete bisogno, non esitate a contattarmi su questo blog.

Scaricate l'esercitazione da Google Docs.

Buon lavoro