Matematicamente

venerdì 5 agosto 2011

Sulla Didattica Della Stereometria Nella Scuola Media

concavo e convesso di EscherLa didattica della geometria dello spazio o stereometria, nella scuola secondaria di 1° grado, presenta dei problemi spinosi. Non a caso, i ragazzi incontrano difficoltà a volte notevoli nello studio degli argomenti ad essa inerenti.

Provo quindi ad esternare alcune considerazioni per fare il punto sulla situazione, ovviamente in base alla mia esperienza.




Mentre la geometria piana trova una sua rappresentazione (materiale, approssimata) nel disegno tracciato sopra un foglio disteso sul piano, per la geometria dello spazio questo aiuto manca. Il costruire modelli delle figure in tre dimensioni risulta, infatti, meno agevole: bisogna ricorrere a castelli, nei quali fili tesi e lunghi aghi metallici stanno a rappresentare rette; sottili fogli di carta, o legno o metallo, hanno la funzione di piani; mentre, per altri casi, bisogna ricorrere a plastici opportunamente modellati.

Ma la realizzazione più ovvia dello “spazio”, al quale fa riferimento la geometria, si ha nell’ambiente stesso in cui viviamo. E basta saper guardare per cogliere le circostanze, essere colpiti dalle situazioni che appunto consentono di parlare di “caratteri geometrici” in quanto ci circonda.

Ciò  lascerebbe supporre in noi una maggiore dimestichezza con lo “spazio” che non con il “piano”, e che il primo dei due meglio si prestasse come mezzo di educazione alla visione dei fatti geometrici.
Ma, nella realtà della didattica quotidiana, le cose non vanno in questo modo.  Accade anzi il contrario.
Forse manca l’abitudine ad osservare nel modo più adatto; forse influisce negativamente la convinzione che la geometria si debba cercare nei libri e non intorno a noi; forse la colpa è della scuola; forse...

Sta di fatto che fattori psicologici e ancestrali orientamenti fanno apparire più spontaneo il passare dal piano allo spazio, che non il viceversa.

Anche di fronte ad opere di architettura è raro che l’osservatore vi ricerchi e vi riconosca i segni della geometria, di cui l’artista si è valso in larga misura, consapevolmente o no.


architettura sensoriale
E a fenomeni geometrici è legata la produzione delle ombre da parte della luce solare o di altra sorgente luminosa, la possibilità della fotografia e della cinematografia, l’effetto della prospettiva che al pittore consente di creare il senso della realtà!
Queste considerazioni consigliano di iniziare lo studio della stereometria, a livello di scuola media, soffermandosi sopra una descrizione ad hoc, in cui i termini e i concetti geometrici scivoleranno quasi inavvertitamente.

prospettiva
Si richiamerà l’attenzione sugli spigoli e le pareti della stanza in cui ci troviamo, e li riguarderemo come “rette” e “piani”, per osservarne i mutui comportamenti, con i casi di “parallelismo” e di “incidenza”; l’impossibilità che due piani (due pareti consecutive) abbiano in comune soltanto un punto e non un’intera retta; la presenza di rette “sghembe”. E in un secondo tempo vi troveremo anche rette e piani perpendicolari, e piani ortogonali tra loro.

rette sghembe
Basta poco per andare lontano, ma la prudenza consiglierà di procedere a piccoli passi.

Gioveranno i confronti, le analogie e i contrasti (le rette sghembe!) con la geometria piana.

Ma il discorso può e deve essere cominciato molto prima. E comunque se, per esemplificare, di quadrati e cubi si parlerà, se ne cercherà l’occasione in riferimenti a modelli in cui ci si possa facilmente imbattere: il vetro di una finestra, i dadi, i cubetti di legno per le costruzioni, ecc.


cubetti di legno per le costruzioni

Dall’osservazione di una oggettiva realtà e dalle circostanze che essa offre, si passerà al libro: in un secondo tempo, ma ci si passerà e si insisterà nel leggerlo. Non dimentichiamolo, perché la scuola deve insegnare a leggere.

Abbiamo fatto cenno, in precedenza, all’ombra, alla fotografia, alla cinematografia, alla prospettiva, nei loro aspetti geometrici. Questi si riducono a due sole operazioni: proiezione  e sezione.

Proiettare una figura (piana), F, da un punto S (centro di proiezione), significa semplicemente costruire le rette che uniscono S ai punti della figura F.



proiettivita

Queste, a seconda del contorno della figura (
poligonale o curvilineo), riempiono una piramide o un cono.

Sono termini che si usano in terza media, si tratta soltanto di dar loro un significato più generale, poiché ci troviamo ora dinanzi a superfici che si estendono all’infinito (piramidi indefinite
e coni indefiniti).
Se le tagliamo (sezioniamo, intersechiamo) con un piano, si ottiene, sopra questo, la proiezione della F da S.

In questo articolo, ovviamente le parole devono essere stringate, ma un più lungo discorso e un abbondante aiuto di esempi, suggestivi e facili da riconoscere, faranno subito comprendere ai ragazzi questi concetti, per loro nuovi soltanto in apparenza.


piramide indefinita cono circolare retto
Tagliando il cono indefinito o la piramide indefinita con un piano che ne incontri tutte le generatrici, e limitando opportunamente la figura, si hanno i coni e le piramidi nella comune accezione del termine (con qualche maggiore generalità per i primi).


piramidi e coni
E si può anche parlare, senza difficoltà, di una proiezione parallela e allora, dalle piramidi e dai coni, si passa ai prismi e ai cilindri.


prismi e cilindri
Unità di visione significa economia di pensiero e le sintesi educano a riconoscere analogia di situazioni intrinseche nella disparata molteplicità dei casi. E non è piccola conquista!

Una breve considerazione meritano i software di geometria dinamica (GeoGebra, Cabri, ecc.), ma anche il software di grafica 3D, tra cui l'ottimo Sketchup di Google,  che possono essere di grande supporto se utilizzati consapevolmente.




sketchup di google

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- Le immagini provengono dalla rete

Bibliografia consultata:

- Sull'Apprendimento della matematica a livello di scuola media, a cura di Carmela Gasperi, Pubblicazioni a cura dei C.D.N.
- Il libro di matematica per la scuola media, L. Campedelli, (ed. varie Ghisetti e Corvi, Milano)


5 commenti:

  1. Annarita, anche non comprendendo molto bene la materia 
    ma sempre ho notato la geometria esatta che ci circonda.

    Che bel post che hai elaborato 
    Complimenti! 

    Ciao, bacio.

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  2. Certo è strano...
    Come giustamente hai scritto, lo spazio tridimensionale ci circonda e noi stessi ne facciamo parte, eppure comprenderlo, riconoscerlo o rappresentarlo risulta non proprio così naturale. Io credo che dipenda da come nei primi anni di vita ci insegnano ad interaggire con esso. Una delle prime preoccupazioni degli adulti, giustamente, è comunicare con i bambini e permettere loro di esprimersi e comunicare a loro volta nel modo più semplice possibile. Prima di tutto ci insegnano a parlare e poi ad esprimerci con il disegno e la scrittura.
    Questi ultimi due mezzi sono fortemente bidimensionali. Ecco quindi che i bambini, almeno nei loro primissimi anni di vita, parlano, disegnano, colorano e scrivono. Quello che era il naturale muoversi ed interagire con lo spazio, in qualche modo viene "schiacciato" su fogli bidimensionali per l'esigenza di comunicare ed esprimersi.
    E' tutta una mia "ipotesi delirante", ma se, anche grazie alle nuovissime tecnologie, si insegnasse ai bambini a comunicare in 3D, forse il "senso dello spazio" non lo si perderebbe. Ma come fai a far utilizzare la tecnologia ad un bambino che non sa ancora neanche leggere? Con le immagini, le icone. Una buona immagine spesso è molto più rappresentativa ed esplicativa anche di una frase o parola che spiega.

    Non c'è bisogno che riprenda poi il solito discorso sulla scelta dei giochi da far fare ai bambini; anche lì si può stimolare (o conservare) il senso dello spazio scegliendo i giochi giusti.

    Bel problema quello che hai posto, io ho detto la mia cavolata, ma rimane a voi insegnanti il compito di "recuperare" il naturale senso dello spazio. Per come stanno oggi le cose credo che sarà molto difficile non improntare un percorso che parta dal bidimensionale per arrivare poi al 3D, ma sai, con qualche "pazza idea" forse qualcosa potrebbe cambiare.
    Un salutone
    Marco



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  3. Rosaria, Marco, Maria, vi ringrazio dell'apprezzamento, scusandomi per la tardiva risposta. Mia scusante il pesante lavoro che ho dovuto svolgere e che ho appena portato a termine in questi giorni.

    @Marco: le tue riflessioni sono sensate e condivisibili.

    Un abbraccio a tutti e tre.

    annarita

    RispondiElimina
  4. Ciao Annarita,
    complimenti per il post molto molto interessante.
    Forse può entrare a far parte di questo discorso la questione della topologia: come, quando e quanta farne alle medie.
    Io sono convinto che la topologia abbia un valore enorme nella sviluppo delle capacità dei ragazzi ma è una questione tutta da studiare ...

    ciao,
    alla prossima,
    guzman.

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  5. Ciao, Guz. Grazie dell'apprezzamento.
    Concordo circa la grande utilità della topologia nello sviluppo delle capacità dei ragazzi, ma, come ben dici, è una questione da approfondire bene.

    Un salutone a te e famiglia.

    Annarita

    RispondiElimina

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