Matematicamente

sabato 3 ottobre 2009

La Sfera Cava E L'Accorto Geometra [La Soluzione]

Carissimi, grandi e piccini, ecco a voi la soluzione della sfida lanciata su questo blog il 27 settembre scorso. Ringrazio tutti coloro che si sono cimentati, e, in particolare, Mauro e Gianluigi.

Veniamo al dunque!

Sappiamo che il volume della sfera è i 2/3 di quello del cilindro in cui essa può essere inscritta.


4/3 x pi greco x R³ = 2/3 (2 x pi greco x R³)


Poiché la sfera viene totalmente inserita nel cilindro, essa fa fuoriuscire i 2/3 dell'acqua contenuta. L'aumento di peso è dunque il peso della sfera, meno i due terzi dell'acqua inizialmente contenuta nel cilindro, cosa che, in chilogrammi, é uguale ai due terzi del volume del cilindro, V, espresso in decimetri cubi.


20 = 40 -  2/3 V

V = 30 dm³



Il volume della sfera è


 V' = 2/3 * V = 20 dm³,


 e la sua densità è


 40/V' = 2 kg/dm³


_________________________________

Qui potete leggere il post dedicato da Gianluigi alla soluzione.

Quella che segue è invece la soluzione di Mauro lasciata nei commenti al post.

Allora, visto che la sfera pesa 40 kg e l'aumento di peso è di soli 20, se ne deduce che l'acqua fuoriuscita pesa 20 kg. Ora, presumendo che l'acqua sia distillata e quindi con densità 1 g/cm³, dato che l'acqua fuoriuscita occupava il volume della sfera, dalla formula

20000 = 4/3 π r³

si trae r = 16,84 cm

e dunque per il volume del cilindro (3/2 di quello della sfera)

V = 30.000 cm³

Mentre, per la densità della sfera, basta osservare che essa sposta una quantità d'acqua pari a metà del proprio peso e dunque deve avere una densità doppia, quindi pari a 2 g/cm³

14 commenti:

  1. sempre molto interessanti i tuoi post e così imparo sempre qualcosa.

    un caro saluto

    elisa

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  2. Tutte (o quasi...) le strade portano a Roma! ;-)


    Abbraccione!

    P.S. A propo', quand'è che ti fai viva da queste parti, così organizziamo una bella cenetta??? ;-)

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  3. E' vero, Mauretto...Roma è sulla strada di tutti, prima o poi!;)


    Per la cenetta, non saprei...ma non la escludo.

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  4. Grazie annarita per aver pensato che avrei potuto trovare la soluzione...sapevo che non ci sarei mai arrivata;(

    Un abbraccio, roberta.

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  5. Rosy: un timido saluto al risultato post... :-)


    Uno grande a te

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  6. Rob, ne sono ancora convinta!;) Dovevi applicarti un pochino...


    salutoni

    annarita

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  7. Elisa, scusami. Mi era sfuggito il tuo commento.Un ringraziamento anche a te per l'apprezzamento.


    Un caro saluto

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  8. rosy, ricambio il saluto.


    Un abbraccione

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  9. Non capisco l'equazione risolutiva: errore di battitura?


    Saluti,

    Gianluigi!

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  10. Proprio così, Gianluigi: un errore di battitura, un uguale (=) al posto di un meno (-).


    Corretto! D'altronde si deduceva dal calcolo successivo che c'era un errore in tal senso...


    La velocità di digitazione fa di questi scherzi!!!


    Grazie per averlo segnalato.


    Ciao!

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  11. Di nulla! Di nulla!

    In ogni caso mi pare che nel ragionamento non si tenga conto della spinta di Archimede (che è equivalente per modulo e segno al peso del liquido espulso dall'inserimento della sfera nel cilindro).

    Come mai?


    Saluti,

    Gianluigi.

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  12. Gianluigi, il problema chiede di conoscere il volume e la densità quindi nel ragionamento ci si può concentrare sulla massa piuttosto che sul peso.


    Lo so che hai ragionato da fisico (lo sono anch'io!), ma questo è un problema di matematica eheheh...e la matematica tende a modellizzare il reale, mentre la fisica tende ad affrontarlo (il reale) entrando nei fenomeni naturali;)


    Considerazioni a parte, la soluzione che ho riportato è quella fornita dal volume 17 delle Sfide Matematiche, dove ho preso la sfida che ho proposto!


    Salutoni:)

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  13. E al di là di considerazioni e soluzioni mi sono comunque divertito e nella ricerca della soluzione e nella discussione!

    E a tal proposito, visto che sei anche tu un fisico, se mai dovesse concretizzarsi un'idea che mi frulla per la testa da tempo (una sorta di equivalente del Carnevale della Matematica, ma con qualche modifica), spero di averti tra i partecipanti!


    Saluti,

    Gianluigi!

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  14. Tu concretizza, Gianluigi che poi ne riparliamo!;)


    A presto!

    annarita

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