Matematicamente

domenica 25 maggio 2014

"Il Diagramma Di Argilla: L'Alba Del Pensiero Scientifico" Di Aldo Bonet


Presento, in questo post, "Il Diagramma Di Argilla: L'Alba Del Pensiero Scientifico" un articolo di Aldo Bonet*, studioso ed esperto di Storia della Matematica antica, con cui l'autore opera un ipotetico itinerario storico-interpretativo del diagramma di argilla, che, a suo parere (ed anche secondo me, dopo le varie e convincenti letture dei suoi documenti, già pubblicati su questo blog), fu fondamentale sia per la nascita del pensiero algebrico-geometrico prescientifico che per l’uscita dell’uomo mesopotamico dalla protostoria.

Ma leggiamo per intero la sua introduzione.

"Con il presente articolo, intendo percorrere un ipotetico itinerario storico-interpretativo del diagramma di argilla, che, a mio parere, fu fondamentale per la nascita del pensiero algebrico-geometrico prescientifico ed anche per l’uscita dell’uomo mesopotamico dalla protostoria. Questo, inoltre, fu fondamentale per la peculiarità simbiotica interattiva con l’uomo, garantendo la sua evoluzione insieme con quella concomitante della matematica e del pensiero scientifico. 

Secondo la mia ipotesi, il diagramma di argilla a modulo quadrato fu una formidabile, inattesa e versatile macchina matematica scaturita da un’arcaica arte edile costruttiva mediante mattoni pieni standardizzati che ha creato il primordiale pensiero scientifico."

E ancora:

"A mio parere, questo simmetrico diagramma di argilla a modulo quadrato fu scoperto dagli antichi artigiani-costruttori Sumeri e utilizzato anche dalle altre civiltà potamiche orientali- Egizi, Cinesi, Indiani- come versatile e formidabile macchina algebrico-geometrica che consentiva in modo semplice- così come ho dimostrato con le mie pubblicazioni- di arrivare, tramite un artigianale algoritmo visivo, alle soluzioni dei loro numerosi problemi algebrici rinvenuti, di visualizzare regole o identità algebriche notevoli, da loro già conosciute, e di imbastire artigianalmente altre importanti scoperte matematiche, compiute dalle citate civiltà potamiche, ma sempre ancorate a quest’unico strumento matematico di base, utilizzato come una sorta di gioco logico-enigmistico."

Vi invito a leggere con estrema attenzione l'intero articolo, al quale potete accedere cliccando sul seguente widget di Issuu.




AGGIORNAMENTO

A beneficio dei sostenitori del diagramma di argilla.

Spero che Annarita integri al post questo ennesimo indizio a sostegno del diagramma di argilla che spiega ulteriormente ciò che ho scritto a pag. 3 dell’articolo.

Diofanto di Alessandria (Egitto, III sec d.C. circa), nella sua Aritmetica, espone anche alcuni sistemi di 2° grado affini a quelli visti e risolti dalle civiltà mesopotamiche.

Propongo, per esemplificare, quello del tipo standard: somma – prodotto (x + y = s;  x∙y = b).

L’enunciato di Diofanto recita così: “Trovare due numeri quando la loro somma e il loro prodotto siano uguali a numeri assegnati “ 

Il sistema è risolto abilmente da Diofanto e traspare, nel suo procedimento di risoluzione, l’applicazione inequivocabile dell’arcaico principio mesopotamico: quello della semisomma [u= (x + y)/2] e della semidifferenza [v= (x - y)/2].

Diofanto, risolve il sistema di 2° grado scomponendo i due numeri (o le due incognite) in questo modo: x= u + v ;   y= u – v .  Ovvero, in due sub-radici, dove, se era nota l’una (u), bisognava trovare l’altra (v) o viceversa.

A questo generico enunciato, Diofanto, pone un limite o condizione volto a ottenere soluzioni razionali positive, il quale, recita: ”È necessario, tuttavia, che il quadrato della semisomma dei numeri superi il prodotto degli stessi di un numero quadrato, cosa che è d’altronde figurativa

Tradotto algebricamente, l’enunciato si presenta come segue:


  u^2 =  [(x + y)/2]^2 = x y + v^2  

Che cosa volesse dire Diofanto con l’ultima frase della condizione posta “cosa che è d’altronde figurativa” -  ἒστι δὲ καὶ τοῦτο πλασματικόν (1) - ha scatenato una ridda di ipotesi ed interpretazioni: c'è chi sostiene che Diofanto abbia voluto fare riferimento ad una costruzione di tipo babilonese e chi invece sostiene che fosse di tipo euclideo, come la proposizione II, 6.  Noi invece, dopo aver letto l’articolo, sappiamo che Diofanto faceva riferimento alla quarta parte del diagramma di argilla:



Diofanto aveva sviluppato un‘algebra “sincopata – simbolica” mascherando così nel calcolo il diagramma di argilla cui faceva comunque riferimento. 

Oggi, per noi la cosa è chiara! E sappiamo anche cosa intendesse dire Diofanto con quell’ultima parte della condizione posta. E, detta alla Diofanto: “ἔστι δὲ καὶ τοῦτο πλασματικόν.

Secondo il Professor Giovanni Ceschi, insegnante di greco presso l’Istituto Liceo Prati di Trento, da me interpellato e che ringrazio moltissimo per la preziosa disponibilità, nonostante i suoi numerosi impegni scolastici, la frase diofantea, meglio se scritta


ἔστι δὲ καὶ τοῦτο πλασματικόν

la si può tradurre e inquadrare più correttamente come: 


Cosa che peraltro è anch’essa figurativa”(2)

Questa interpretazione del Prof. Giovanni Ceschi, che mi è stata subito fornita dallo stesso grazie alla competenza nel proprio ambito di insegnamento, pur con la riserva (a dimostrazione della sua serietà professionale) di essere direttamente verificata nell’Opera originale (all'interno, quindi, di un contesto più ampio in cui è stata scritta da Diofanto nella sua Aritmetica), già di per sé non è assolutamente da trascurare sul piano di un’analisi linguistica oggettiva. 

Questa migliore traduzione, che reputo adeguata ed affidabile, mi porta a pensare che Diofanto, con la sua ultima frase, stesse semplicemente facendo riferimento a qualcosa di analogo, che aveva visualizzato, e che era da ricollegare a qualcosa di precedente. In altre parole, a mio parere, Diofanto, stava affermando che la condizione da lui posta era correttamente visualizzabile sullo stesso diagramma di argilla esattamente come il principio della semisomma e della semidifferenza, preventivamente visualizzato (o raffigurato) proprio come nella figura sopra indicata.
………………………………………………………… 
(1) Maracchia S. (2005/2008). Storia dell’Algebra. Napoli: Liguori, pag 123.

(2) Secondo Jöran Friberg. (2007). Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics. Londra: World Scientific, pag. 328- 329-330, la frase in questione la si può inquadrare come "And this can be shown in a diagram" ovvero “E anch’essa può essere visualizzata in un diagramma”. Jöran Friberg propone, quindi, tre tipi di diagrammi in Fig.13.1.1 a pag 330 del suo libro e ciascuno rispettivamente assegnato ad ogni problema contenuto nell’Aritmetica di Diofanto: I.27- I.28- I.30. Ebbene, tutti e tre i diagrammi proposti, se osservati attentamente, sono riconducibili e, pertanto, contenuti nell’unico diagramma di argilla, da cui discendono e che io propongo.   


Jöran Friberg. (2007). Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics. pag. 330

Notare che, l’abbreviazione “sq.“ deriva dalla parola inglese “square” che significa: “quadrato

Pertanto, quando vediamo per esempio l’espressione: sq.(a – b) /2, dobbiamo leggerla come: “il quadrato della semidifferenza”, che tradotto algebricamente : [(a – b) /2]^2

Per comodità di comprensione terrò le espressioni con le dovute abbreviazioni usate da Jöran Friberg, il quale, peraltro, usa per le incognite ( o numeri incogniti) le lettere “a, b“ e per i termini noti: “m, n, k

Jöran Friberg, propone tre diagrammi in Fig.13.1.1 a pag. 330 del suo libro: Il primo a sinistra, interpreta geometricamente la condizione posta (diorismo) da Diofanto nel problema I ,27 della sua AritmeticaIl diagramma in mezzo (o al centro) per il problema Ar. I,28, e l’ultimo a destra per il problema Ar. I,30.

Fig. 1. Jöran Friberg. (2007).
  Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics, pag. 330.

(Figura inserita su gentile concessione dell’autore)

Desidero far vedere, qui di seguito, come gli stessi diagrammi, proposti da Jöran Friberg, appartengano tutti e tre all’arcaico e unico Diagramma di argilla mesopotamico, a cui Diofanto faceva verosimilmente riferimento.


DIAGRAMMI DI JÖRAN FRIBERG RICOSTRUITI CON IL DIAGRAMMA DI ARGILLA QUADRATICO
(Jöran Friberg's Diagrams, reconstructed with the clay square diagram)


Riprendiamo quello a sinistra nella Fig. 13.1.1- Ar. I,27, interpretandolo con il Diagramma di argilla.
Fig. 2. Diagramma di argilla che visualizza la relazione: sq. (a+b) /2 = sq. (a-b) /2 + a.b

Riprendiamo quello al centro nella Fig 13.1.1- Ar. I,28, interpretandolo con il Diagramma di argilla.

Fig.3. Diagramma di argilla che visualizza la relazione:2(sq.a+ sq.b)=sq.(a+b)+sq.(a-b)

Riprendiamo quello a destra nella Fig 13.1.1- Ar. I,30, interpretandolo con il Diagramma di argilla.


Fig. 4. Diagramma di argilla che visualizza la relazione: 4.a.b + sq. (a-b) = sq. (a+b)

______________________________________

*Aldo Bonet è uno studioso di Storia della Matematica antica, da decenni. La sua ricerca lo ha portato a concretizzarne i risultati in numerosi articoli pubblicati su riviste specialistiche, tra cui “L’Educazione Matematica” e “Periodico di Matematiche”,Mathesis Nazionale.
Tra i suoi lavori, brillano come gemme “La Scienza di Talete” e il “Diagramma di argilla”.
Lo studio di Aldo Bonet sul "Diagramma di Argilla" è incluso nella
Bibliography of Mesopotamian Mathematics, alla lettera B, di Duncan J. Melville, professore di Matematica presso la  St. Lawrence University  in Canton, NY., tra  i cui interessi di ricerca c’è appunto La matematica mesopotamica.

9 commenti:

  1. Caro Aldo, sono anni ormai che seguiamo le vicende del prezioso diagramma di argilla qui sul blog di Annarita. È sempre un piacere verificare che è vivo e vegeto, pronto a far sentire la sua voce antica.
    Speriamo che chi ha orecchi per sentire sappia ascoltare la sua voce. Il tuo geniale quanto certosino lavoro di riscoperta di questo gioiello merita di essere riconosciuto a pieno titolo dalle associazioni matematiche di questo paese.

    In bocca al lupo.

    Ruben

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  2. Ciao Ruben.

    Sono anni per voi che seguite le vicende del diagramma di argilla e decenni per me che lo studio in profondità scoprendo sempre nuove conferme…chissà perché. Il diagramma è rinato dal 1978 ma per far ascoltare la sua voce, più che di orecchi c’è bisogno di umiltà da parte degli storici delle matematiche che hanno fatto scelte di campo purtroppo scontante verso ipotesi discutibili, ma formulate da “illustri” professori di cui, i nostri storici titolati, non sono in grado di contrastare per una mancanza di competenza. Vedi, già il fatto che alcuni corrono ai ripari inserendo il principio della semisomma e semidifferenza nelle nuove edizioni dei loro libri ( pur non citando le mie pubblicazioni ma per parità di condizioni, nemmeno quelle di Hoyrup), un principio che prima snobbavano, per me è già comunque un piccolo segnale positivo, come il fatto che alcuni si lascino andare a determinate confidenze positive sul mio diagramma che agli inizi della sua rinascita mi deridevano. Quello che sto ancora aspettando è che lo combattano con tutte le loro armi. Prima ti ignorano, poi ti deridono, poi ti combattono, poi vinci. (Gandi)

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  3. Questo per me è un periodaccio in quanto a tempo a disposizione, ma non potevo esimermi dal leggere il nuovo articolo dell'amico Aldo, articolo come sempre molto ben fatto ed estremamente interessante.
    Riguardo al diagramma d'argilla sapete bene come la penso e se fosse per me ne inserirei storia ed uso sin da subito nelle scuole perché la sua valenza didattica è indiscutibile. Sono comunque fiducioso che anche se solo a piccoli passettini alla volta, prima o poi riceverà il giusto merito e considerazione storico-matematica.

    Un salutone a te cara Annarita e uno a Aldo che ringrazio prima di tutto per l'articolo e poi anche per la menzione che ha voluto "regalarmi".

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    1. Caro Marco, non parliamo di periodaccio per piacere! Anche se per motivi diversi, sappiamo entrambi cosa vuol dire.

      Buono studio!☺

      Annarita

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  4. SERENA MARCHITELLI 1B31 maggio 2014 20:37

    Buona sera prof,
    complimenti a tutti quelli che hanno scoperto IL DIAGRAMMA DI ARGILLA anche se non è per me semplice da capire visto che sono solo in prima media.
    Ancora complimenti e a mercoledì

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    1. Buonasera Serena. I complimenti vanno soltanto ed esclusivamente ad Aldo Bonet, lo studioso ed unico padre del Diagramma di Argilla. "Tutti quelli" non esistono, Serena. Compreso?

      A mercoledì.

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  5. Ti ringrazio Annarita dell’aggiornamento e della tua affidabilità sempre disponibile.

    Nell’Aritmetica si capisce chiaramente, seguendo attentamente, passo dopo passo, tutti gli algoritmi risolutivi di Diofanto, che rispecchiano l’uso sistematico figurativo del diagramma di argilla e anche, con la divisione in quattro parti quadrate tramite le due cordicelle ad esso sovrapposte, dell’applicazione sistematica del millenario principio della semisomma e semidifferenza di origine mesopotamica, che era preventivamente visualizzato.
    Ciò che conta è anche l’apprezzamento, verso questo mio articolo, dello specialista svedese Jöran Friberg e dell’architetto specialista francese Jean-Pierre Houdin che mi hanno onorato con le loro gradite e-mail e di cui, colgo l’occasione per consigliare vivamente ai visitatori anche la lettura delle loro opere che ho indicato nella bibliografia in ordine alfabetico.

    Un abbraccio

    Aldo

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    Risposte
    1. Piacere mio, Aldo. Sono anch'io contentissima degli apprezzamenti da parte di due studiosi così autorevoli a livello internazionale.

      Lunga vita e giusti riconoscimenti al Diagramma di Argilla.

      Un abbraccio.
      Annarita

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  6. Questo commento è stato eliminato dall'autore.

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