Matematicamente

sabato 28 maggio 2011

QUADRATI MAGICI: Didattica E Curiosità

"I Quadrati magici" è un post di didattica per voi di prima e di seconda, i grandoni stanno per spiccare il volo e il prossimo anno staranno altrove.

Vediamo un po' di cosa si tratta. Talvolta li avrete visti, penso, ma non abbiamo mai affrontato l'argomento. Adesso è arrivato il momento, così passerete un po' di tempo durante le vacanze estive.


I contenuti possono essere utilizzati, con opportuni adattamenti, sia dai colleghi interessati che dagli alunni.

I quadrati magici sono formati da una serie di numeri disposti su una scacchiera in modo tale che la somma dei numeri di ciascuna riga, colonna o diagonale dia sempre lo stesso valore, detto costante del quadrato magico.

Il numero di caselle che formano il lato della scacchiera è detto ordine del quadrato.
Esistono quadrati magici di ordine 3, 4, 5,..., 10 ecc., ma non esiste il quadrato magico di ordine 2 (due caselle per lato della scacchiera).


Alcune fonti fanno risalire i quadrati magici a oltre 3.000 anni fa. Essi sono i discendenti del più antico mistero conosciuto sui numeri, la leggenda di Lo Shu, che si trova in Cina in un libro intitolato Yih King.

Probabilmente, i quadrati magici ebbero origine proprio in Cina, ai tempi della dinastia Shang, circa 4000 anni fa. Secondo una delle leggende che riguarda Lo Shu (il primo quadrato magico di ordine 3), un pescatore trovò sulle rive del fiume Giallo, una tartaruga con incisi sul guscio strani segni; la portò a corte e i matematici dell'imperatore interpretarono i segni come un quadrato di numeri con somma costante uguale a quindici su ogni riga, colonna e diagonale, attribuendo loro un significato magico.

Un'altra  leggenda (vedere wikipedia) narra  che intorno al 2800 a.C. si ebbe una disastrosa piena del fiume Lo causata dall'ira del dio del fiume e che la popolazione offrì dei sacrifici al dio per far cessare il disastroso evento. Dopo ogni sacrificio dal fiume emergeva una tartaruga, ma la furia del fiume non si placava. Solo dopo vari tentativi un bambino si accorse che la tartaruga inviata dal dio aveva segnata sul guscio una rappresentazione del quadrato magico. Questo significava che il dio chiedeva un sacrificio di 15 entità e l'accoglimento del messaggio portò alla fine della piena.
Lo Shu significa "il saggio del fiume Lo".








simboli e quadrato magico 3x3
I segni sul guscio della tartaruga e la loro traduzione in numeri

Dalla Cina, i quadrati magici si diffusero in India da dove, solo nel Medioevo, furono introdotti in Europa. Amuleti in cuoio e in metalli preziosi con sopra disegnati quadrati magici erano usati una volta, ma ancora oggi, per scacciare il malocchio e per guarire le malattie.

* Quadrati magici di ordine 3


I ragazzi possono costruire facilmente un quadrato magico di ordine 3, formato dai nove numeri interi successivi a partire da 1, seguendo le istruzioni di seguito riportate:

1. disporre sulla scacchiera le pedine, precedentemente preparate, con i numeri da 1 a 9 nell'ordine;
2. spostare di una casella le pedine, facendole ruotare in senso orario attorno al 5 che si trova nella casella centrale;
3. scambiare di posto le pedine agli estremi di ciascuna delle diagonali (il 4 con il 6 e il 2 con l'8).

Il quadrato così ottenuto è magico perché il valore della somma dei numeri di ciascuna riga, colonna e diagonale è sempre uguale a 15, ovvero la costante del quadrato magico.



quadrato magico di ordine 3

RIGHE

COLONNE

DIAGONALI

6+1+8=15

6+7+2=15

6+5+4=15

7+5+3=15

1+5+9=15

8+5+2=15

2+9+4=15

8+3+4=15



Facendo ruotare il quadrato magico precedente in senso orario di 90°, 180° e 270°, intorno alla casella centrale contenente il 5, si possono ottenere i seguenti quadrati magici.

altri quadrati magici di ordine 3
Ribaltando ciascuno dei tre quadrati magici precedenti, incluso quello di partenza, si ottengono altri quattro quadrati magici.


4 quadrati magici di ordine 3
Si sono così ottenuti otto quadrati magici di ordine 3 la cui costante è sempre 15 perché si sommano sempre gli stessi gruppi di numeri. Il valore della costante si ottiene, applicando la formula:

K = n ( n² + 1) / 2.

K è la costante ed n è il numero che indica l'ordine del quadrato.

Nel caso dei quadrati di ordine 3, essendo n = 3, sarà:


K = 3 (3² + 1) / 2 = 15

E' possibile ottenere infiniti quadrati magici di ordine 3:

a. sommando o sottraendo lo stesso numero a tutti gli elementi della serie di numeri da 1 a 9:
quadrati magici di ordine 3 e k diverso
b. moltiplicando o dividendo per lo stesso numero tutti gli elementi della serie di numeri da 1 a 9:


quadrati magici di ordine 3 e k diverso bis


* Quadrati magici di ordine 4

Per far costruire ai ragazzi il più semplice quadrato magico di ordine 4, li faremo procedere secondo le istruzioni:


1. disporre sulla scacchiera di 4 caselle per lato le pedine con i numeri da 1 a 16;
2. scambiare di posto le pedine di una diagonale, per la precisione l'1 con il 16 ed il 6 con l'11;
3. ripetere il passaggio 2 per l'altra diagonale, scambiando il 4 con il 13 e il 7 con il 10.



quadrato magico diordine 4
Il quadrato numero 3 ottenuto è un quadrato magico di  costante 34, valore che risulta dalla somma dei numeri di tutte le righe, le colonne, le due diagonali e dei quattro numeri posti nelle caselle centrali, evidenziate in verde più scuro. Quadrati magici di tale genere sono chiamati anche diabolici.

Scambiando i numeri posti nelle due colonne centrali del quadrato, si costruisce un altro quadrato magico divenuto famoso perché raffigurato dal pittore tedesco Albrecht Dürer (1471 - 1528) nel suo celebre quadro Melencolia I.


melencolia I

quadrato magico di Durer













                   Particolare del quadrato magico di Dürer

I due numeri nelle caselle centrali dell'ultima riga formano 1514, anno in cui venne fatta l'incisione.

quadrato magico di Durer



Come per i quadrati di ordine 3, i ragazzi possono costruire altri quadrati magici di ordine 4, facendo ruotare o ribaltando quelli precedenti, oppure sostituendo i numeri con altri ottenuti sommando, sottraendo, moltiplicando, dividendo ciascun numero del quadrato magico n. 3 per lo stesso numero.

Vale la pena consultare l'lenco di tutti gli 880 quadrati magici di ordine 4, unici a meno di rotazioni e simmetrie.

Il numero degli 880 quadrati magici perfetti del quarto ordine, con somma costante 34, su righe, colonne e diagonali, è stato calcolato da Frenicle de Bessy, matematico del Seicento, amico di Descartes e di Fermat.

L'avvento del computer ha consentito di allargare l’indagine ai quadrati magici di ordine superiore. Nel 1973, grazie al pc si calcolò che i quadrati magici di ordine 5 sono 275 305 224. Il numero preciso dei quadrati magici di ordine 6 invece non è stato ancora calcolato. La meta però non è lontana. Secondo le più recenti indagini, dovrebbero essere circa 17 miliardi di miliardi.

Il problema più generale, ovvero trovare la regola che consenta di determinare il numero di quadrati magici di un dato ordine
, rimane però da risolvere.

Interessante il quadrato magico di Dürer con linee, visto sull'ottimo sito di Suzanne Alejandre della Drexel University.


quadrato magico di Durer con linee



























Un altro misterioso quadrato magico è il SATOR, ritrovato un po' ovunque nei reperti

archeologi europei, di cui il più famoso è quello rinvenuto nel 1925 negli scavi di Pompei motivo per il quale è noto anche come il Latercolo pompeiano.

Il quadrato del Sator risale al primo secolo d. C. e venne costruito sostituendo, ai numeri, delle lettere collocate in modo da formare la frase “SATOR AREPO TENET  OPERA ROTAS”: una frase palindroma ossia una frase che si può leggere in diverse direzioni, su righe o colonne, da sinistra a destra o viceversa.

Significa letteralmente “Il seminatore, col suo aratro, tiene con cura le ruote”, una frase che potrebbe essere interpretata come: "Dio, dal suo trono, regola con saggezza le sfere (dell'Universo)".


Continuando nella nostra carrellata "magica", vale la pena ricordare The Copernicus Magic Square, un curioso quadrato magico attribuito a Dattaraya Ramchandra Kaprekar, “l’uomo che giocava con i numeri”, un matematico indiano, grande esperto in teoria dei numeri. Il suo risultato più brillante riguarda il numero 6174, noto come la costante di Kaprekar.


gioco del 15Una applicazione interessante nella didattica è la soluzione del gioco del 15 a quadrato magico, con la somma costante uguale a 30 (vedere più avanti).

Il gioco del 15 è un rompicapo classico inventato da Samuel Loyd nel 1878.
Il gioco consiste di una tabella di forma quadrata 4 x 4 , su cui sono posizionate 15 tessere quadrate, numerate progressivamente a partire da 1, che deve essere in alto a sinistra.
Le tessere possono scorrere sia orizzontalmente che verticalmente nei limiti imposti da una sola casella vuota.


Lo scopo del gioco è di riordinare le tessere dopo averle "mescolate" casualmente: la posizione da raggiungere è quella con il numero 1 in alto a sinistra, come anzidetto, e gli altri numeri a seguire da sinistra a destra e dall'alto in basso, fino al 15 seguito dalla sedicesima  casella vuota.
gioco del 15
Se si conta come zero il sedicesimo blocchetto, è possibile costruire un quadrato magico con somma costante 30, tale cioè che i numeri di ogni riga, colonna e delle diagonali diano come somma costante 30.

Il Gioco del 15 da giocare online.

Un altro Gioco del 15 interattivo.


Un sito sui quadrati magici interattivi.

Seguono due quadrati magici di ordine 9 e 16 di  Michael Stifel (Arithmetica Integra,

Arithmetica Integra di Stifel1544). Tali quadrati sono quadrati magici perfetti. La somma dei numeri posti sulle righe, le colonne  e le due diagonali danno rispettivamente  le costanti "magiche" 369 e 2056.




16

81

79

77

75

11

13

15

2

78

28

65

63

61

25

27

18

4

76

62

36

53

51

35

30

20

6

74

60

50

40

45

38

32

22

8

9

23

33

39

41

43

49

59

73

10

24

34

44

37

42

48

58

72

12

26

52

29

31

47

46

56

70

14

64

17

19

21

57

55

54

68

80

1

3

5

7

71

69

67

66








256





9





247





246





12





13





243





242





16





17





239





238





20





21





235





2





3





226





213





45





46





210





209





49





50





206





205





53





54





201





32





254





4





33





200





63





193





192





66





67





189





188





70





71





185





58





224





253





252





34





59





178





169





89





90





166





165





93





94





161





80





198





223





5





251





222





60





81





160





101





155





154





104





105





151





98





176





197





35





6





7





221





196





82





99





146





141





117





118





137





112





158





175





61





36





250





8





37





62





174





100





113





136





123





122





133





144





157





83





195





220





249





23





38





73





173





107





114





129





126





127





132





143





150





84





184





219





234





24





218





183





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115





125





130





131





128





142





149





172





74





39





233





232





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75





86





148





138





124





135





134





121





119





109





171





182





40





25





231





41





76





87





147





145





116





140





139





120





111





110





170





181





216





26





27





42





180





162





159





156





102





103





153





152





106





97





95





77





215





230





28





43





179





177





88





168





167





91





92





164





163





96





79





78





214





229





228





202





199





194





64





65





191





190





68





69





187





186





72





57





55





29





227





225





44





212





211





47





48





208





207





51





52





204





203





56





31





30





255





248





10





11





245





244





14





15





241





240





18





19





237





236





22





1


I Franklin squares, quadrati magici particolari di Benjamin Franklin (Boston, 17 gennaio 1706 – Filadelfia, 17 aprile 1790). Potete trovarli qui. Il primo dei due è di ordine 8. La costante è 260 e la somma dei numeri su ogni mezza riga o mezza colonna è 130. Il quadrato è stato trovato su un libro pubblicato nel 1767.

Trovate voi l'ordine e la costante del quadrato magico più grande!

quadrati magici di franklin
Di seguito un interessante passaggio tratto dall'autobiografia di Franklin circa le proprietà dei suoi quadrati magici 8 x 8 e 16 x 16.


Aggiorno il post con i commenti di Aldo e Gaetano, che ampliano l'articolo.

Scrive Aldo:

Molto interessante Annarita! Se avrai notato, nel quadrato magico di ordine quattro, non solo i numeri delle quattro caselle centrali formano la costante 34 = (11 +10+6+7) ma anche i numeri delle caselle poste nei quattro angoli retti:

(16+2+11+5) = (3+13+8+10)= (6+12+1+15)= (9+7+14+4) = 34

Inoltre, se sono chiamati diabolici, tu sai che c’è un quadrato magico di Subirachs posto all’ingresso della famosa Sagrada Familia, di fianco al bacio a "Il bacio di Giuda"
(vedi immagine seguente).


sagrada familia
Il particolare del quadrato quasi magico di
Subirachs.

quadraato di subirachs
Ebbene, questo quadrato (non propriamente magico) porta ad avere la somma dei numeri nelle righe, diagonali, colonne, nonché quelli delle quattro caselle centrali e i numeri delle quattro caselle più esterne (1+ 4+ 15 + 13), sempre pari a 33, l’età di Gesù quando fu crocifisso: http://utenti.quipo.it/base5/numeri/quasubirachs.htm

Volevo far notare come il mio commento precedente lo avevo fatto anche nel 2009 su matematicamente.it, portando lo stesso ragionamento sul quadrato SATOR, considerando come croce baricentrica la parola TENET


Qui, con la lettera centrale N fungente da fulcro baricentrico speculare delle rimanenti lettere di TENET (TE-ET) sia in verticale che orizzontale, nonché in diagonale con le rimanenti lettere ( SR-RS) e (PR-RP), anche le altre quattro lettere rimanenti, al di fuori della croce (TENET) poste nei quattro angoli retti ( ARASOROP) sono speculari con le loro opposte e corrispondenti. Che particolare e magnifica simmetria!


Passiamo a Gaetano che scrive, citando un passaggio già letto sopra, nel post:

Interessante il quadrato magico di Dürer con linee, visto sull'ottimo sito di Suzanne Alejandre della Drexel University.

Se in un quadrato magico si riuniscono con rette i numeri successivi per ordine di grandezza, si ottiene una linea poligonale avente per estremi il numero più basso o il più alto, che è caratteristica del quadrato stesso. Molte volte tali linee sono di disegno elegante e potrebbero servire come aiuto mnemonico per ricordare la formazione del quadrato (vedi Matematica Dilettevole e Curiosa, Italo Ghersi, Ediz. Hoepli).

Infatti, è così per il caso del quadrato magico del Dürer, meglio noto come Tavola di Saturno e ampiamente trattato dal medico mago e astrologo Cornelio Agrippa (1486-1535), (vedi La Filosofia Occulta o La Magia - Ediz. Mediterranee). Complessivamente Agrippa ha trattato i quadrati da tre fino a nove colonne: in ordine le Tavole di Saturno, Giove, Marte, Sole, Venere, Mercurio e Luna.

Occorre dire che nell'antica magia è fondamentale la disciplina delle memoria quale corredo indispensabile di una lucida immaginazione, altrimenti i rituali magici sono compromessi. Di qui l'importanza delle linee mnemoniche, chiamate Caratteri, per risalire ai numeri compresi nel quadrato magico. I numeri poi corrispondono a lettere ebraiche che danno luogo a nomi diversi, secondo lo scopo del rituale in atto - mettiamo - per invocare un'Intelligenza o evocare un Demone.

Si capirà che l'antica magia ha solide basi nella Cabala ebraica che dei quadrati magici ne fa immenso uso per i rituali, come accennato.

Il Primo Capitolo del Terzo Libro della Magia Sacra (vedi Magia della Cabala, S.L. Mac Gregor Mathers, Ediz. Mediterranee) recita così: "Come conoscere ogni genere di cosa passata e futura, che però non sia direttamente contraria a Dio e contro la sua Santa Volontà".

Di seguito viene fatto un elenco degli scopi dei diversi quadrati presentati. Mi limito a due Quadrati in particolare, quelle del Primo Capitolo e Diciannovesimo Capitolo.

Quadrato del Primo Capitolo che serve a "Conoscere tutte le cose Passate e Future in generale".

Le parole qui elencate nel loro ordine, in orizzontale e verticale sono:
Milon, Irago, Lamal, Ogari, Nolim.

Si tratta di un Quadrato di 25 quadrati, ed è un campione completo di doppio acrostico.

Milon, sebbene ricordi il greco, difficilmente deriva da milos (frutto o altro albero) o da melilon (cosa preziosa o articolo di valore). Sembra piuttosto derivare dall'ebraico MLVN una varietà di cose o argomenti.

Irago viene forse dal greco eira, domanda o inchiesta, e ago, condurre, decidere. Ebraico RGO = rompere o analizzare.

  Lamal  , probabilmente dal caldeo MLA = completezza, pienezza.

Ogari dall'ebraico OGR = rondine o cosa che vola in fretta. Nolim dall'ebraico NOLIM = cose nascoste o coperte.

Nolim (che è spiegata successivamente)


Quindi possiamo estrarre la seguente formula dal Quadrato: «Varie questioni pienamente esaminate e analizzate, e anche velocemente, e perfino cose attentamente nascoste e celate ».

Quadrato del Diciannovesimo Capitolo che serve per i rituali destinato agli affetti e all'Amore da una fanciulla in generale.

Questo Quadrato somiglia al Quadrato, cosiddetto SATOR presente nel post a commento. In luogo delle parole Sator [= il Creatore], Arepo [= che si muove lentamente], Tenet [= mantiene], Opera [= le sue creazioni], Rotas [= come vortici], vediamo Salom [= pace], Arepo [= egli distilla], Lemel [= in pienezza], Opera [
= sul suolo secco], Molas [= «eccitandolo alla velocità, cioè alla vita»].
___________________________________________

- I quadrati magici di ordine 3 e 4, di colore verde  e arancione, sono stati da me realizzati con GeoGebra, le altre immagini sono state reperite in rete.

Riferimenti bibliografici e sitografici:

- Scuola e Didattica, inserto n.3, 15 settembre 2009, anno LV
- Wikipedia It
- Wikipedia En

Le altre fonti sono state linkate all'interno del post.

18 commenti:

  1. Annarita, non ho parole per ringraziarti. Hai svolto un lavoro starordinariamente bello e fondamentale per me perché sarà una bussola formidabile. Senza mi sarei persa.

    E' un privilegio conoscerti. Ho visto l'orario di pubblicazione del post e mi sento colpevole per averti sottratta al giusto riposo notturno.

    Ti voglio bene.

    Mara.

    RispondiElimina
  2. Cara Mara, è stato un piacere. Mi auguro che tu possa trarre davvero utili elementi per il tuo lavoro.

    Un caro saluto e un abbraccio.
    annarita

    RispondiElimina
  3. Annarita, leggevo tanti numeri 
    ed ecco che mi appare?
    Il gioco del 15
    Che emozione!
    Un gioco che quando l'ebbi per la prima volta tra le mani
    mi appassionò e imparai come a sistemare i numeri 
    in ordine sia in verticale che in orizontale.

    Un gioco che se guardo bene chi sà che non lo trovo  chiuso in qual
    cassetto.
    Devi sapere che ogni volta che lo vedo lo compro ancora oggi
     e poi  mi "sparo la posa" lo faccio in attimo.

    Grazie, adesso lo vado a giocare.

    Un bacione.

    RispondiElimina
  4. Bello, bello, bello...
    Io sono sempre stato affascinato dai quadrati magici, sin da più piccolo.
    E' stata, grazie anche mio "vecchio" (sfide all'ultimo numero), una passione che mi ha catapultato verso il "magico" mondo della Matematica ricreativa di cui i quadrati magici ne possono rappresentare l'emblema. E' più forte di me... vedo una "scacchiera" vuota e cerco subito di riempirla. Per trasposizione, nella programmazione, lo stesso fascino hanno le matrici. E' come trovarsi difronte a tanti cassettini da aprire, riempire, chiudere... riaprire dopo del tempo provando ad indovinare prima cosa c'era stato messo, o, tramite un modello, un ragionamento, un algoritmo preimpostato, dare un senso, un ordine. Nei quadrati magici puoi inserire a caso dei numeri (caos), puoi inserirli secondo delle regole (ordine) o puoi "nasconderci" dei "messaggi criptati", qualcosa che altri poi cercheranno di svelare.
    Dei 3 casi io prediligo l'ordine matematico che già di per sè ottiene il suo impatto magico, lo stupore di chi guarda, senza andare a cercare "pseudo magie" o esoterismi vari. Mi rendo conto che nel corso della storia/cultura di questi schemi, l'aspetto esoterico e simbolico ha contribuito a renderli famosi, ma oggi, stando con i piedi per terra, possiamo dire che la magia che si nasconde in questi quadrati é solo la Matematica, che io dico, è più che sufficente.
    Ma oltre che magica, la Matematica dei quadrati è divertente, molto e apre orizzonti logici che ben pochi altri giochi riescono a fare.
    Grandissima Annarita, sicuramente una risorsa didattica consigliabile, sicuramente un approccio divertente alla Matematica. Credo si possa consigliare vivamente ai ragazzi, e anche non, di COSTRUIRE QUADRATI e contemporaneamente fare matematica "divertentemente" utile per la costruzione di qualcosa di molto più importante: il ragionamento.

    Ho notato anche io l'orario del post e, da quello che leggo nel commento di Mara, mi sembra di capire che i quadrati magici possono anche "consolidare" un amicizia, e questa non è magia?
    Faccio anche io gli auguri a Mara per il suo lavoro ed a te che dire?
    Articolo fantastico su di una argomento magico
    Un salutone
    Marco


    RispondiElimina
  5. Interessante il quadrato magico di Dürer con linee, visto sull'ottimo sito di Suzanne Alejandre della Drexel University.

    Se in un quadrato magico si riuniscono con rette i numeri successivi per ordine di grandezza, si ottiene una linea poligonale avente per estremi il numero più basso o il più alto, che è caratteristica del quadrato stesso. Molte volte tali linee sono di disegno elegante e potrebbero servire come aiuto mnemonico per ricordare la formazione del quadrato
    (vedi Matematica Dilettevole e Curiosa di Italo Ghersi - Ediz. Hoepli).
    Infatti è così per il caso del quadrato magico suddetto del Dürer che è meglio noto come Tavola di Saturno ampiamente trattato dal medico mago e astrologo Cornelio Agrippa (1486-1535), (vedi La Filosofia Occulta o La Magia - Ediz. Mediterranee). Complessivamente Agrippa ha trattato i quadrati da tre fino a nove colonne: in ordine le Tavole di Saturno, Giove, Marte, Sole, Venere, Mercurio e Luna.

    Occorre dire che nell'antica magia è fondamentale la disciplina delle memoria quale corredo indispensabile di una lucida immaginazione altrimenti i rituali magici sono compromessi. Di qui l'importanza delle linee mnemoniche, chiamate Caratteri, per risalire ai numeri compresi nel quadrato magico. I numeri poi corrispondono a lettere ebraiche che danno luogo a nomi diversi, secondo lo scopo del rituale in atto - mettiamo - per invocare un'Intelligenza o evocare un Demone.

    Si capirà che l'antica magia ha solide basi nella Cabala ebraica che dei quadrati magici ne fa immenso uso per i rituali come accennato sopra da Agrippa.
    Il Primo Capitolo del Terzo Libro della Magia Sacra (vedi Magia della Cabala di S.L. Mac Gregor Mathers - Ediz. Mediterranee) dice così: Come conoscere ogni genere di cosa passata e futura, che però non sia direttamente contraria a Dio e contro la sua Santa Volontà.

    Di seguito viene fatto un elenco degli scopi dei diversi quadrati presentati. Mi limito a due Quadrati in particolare, quelle del Primo Capitolo e Diciannovesimo Capitolo.

    Quadrato del Primo Capitolo che serve per "Conoscere tutte le cose Passate e Future in generale".

    Le parole qui elencate nel loro ordine in orizzontale e verticale sono:
    Milon, Irago, Lamal e Ogari

    Si tratta di un Quadrato di 25 quadrati, ed è un campione completo di doppio acrostico. Milon, sebbene ricordi il greco, difficilmente deriva da milos, frutto o altro albero, o da melilon, cosa preziosa o articolo di valore. Sembra piuttosto derivare dall'ebraico MLVN una varietà di cose o argomenti. Irago viene forse dal greco eira, domanda o inchiesta, e ago, condurre, decidere. Ebraico RGO = rompere o analizzare. Lamal, probabilmente dal caldeo MLA = completezza, pienezza. Ogari dall'ebraico OGR = rondine o cosa che vola in fretta. Nolim dall'ebraico NOLIM = cose nascoste o coperte. Quindi possiamo estrarre la seguente formula dal Quadrato: « Varie questioni pienamente esaminate e analizzate, e anche velocemente, e perfino cose attentamente nascoste e celate ».

    Quadrato del Diciannovesimo Capitolo che serve per i rituali destinato agli affetti e all'Amore da una fanciulla in generale.
     
    Questo Quadrato somiglia al Quadrato, cosiddetto SATOR presente nel post a commento. In luogo delle parole Sator [= il Creatore], Arepo [= che si muove lentamente], Tenet [= mantiene], Opera [= le sue creazioni], Rotas [= come vortici], vediamo Salom [= pace], Arepo [= egli distilla], Lemel [= in pienezza], Opera [= « eccitandolo alla velocità, cioè alla vita »].

    Magica Domenica a tutti, dunque,
    Gaetano

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  6. Chiedo scusa. Correggo alcune cose (che non "quadrano") del mio intervento:

    Del primo Quadrato manca in prima battuta la quinta parola che è Nolim (che è spiegata successivamente).

    Del Dicannovesimo Quadrato correggere la frase dopo Rotas in questo modo:
    ... vediamo Salom [= pace], Arepo [= egli distilla], Lemel [= in pienezza], Opera [= sul suolo secco], Molas [= « eccitandolo alla velocità, cioè alla vita »].

    Gaetano

    RispondiElimina
  7. Rosaria, ti comprendo perfettamente. Il gioco del 15 ritorna sempre con le nuove generazioni. Ne ho uno anch'io che mi donò tre anni fa un mio alunno.

    Un bacione

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  8. Caro Aldo, ero a conoscenza del quadrato magico che hai citato. I tempi strettissimi in cui ho dovuto realizzare il post, mi hanno portata a trascurare altri elementi.

    Ti ringrazio di avermelo ricordato. Inserirò il riferimento nel post.

    Un caro saluto.

    annarita

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  9. Un commento molto molto interessante, Gaetano. Ti ringrazio di cuore.

    annarita

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  10. Grazie di aver precisato, Aldo.

    Un salutone.

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  11. "Il modo in cui faccio matematica è molto simile alla magia. In entrambe le discipline hai un problema che devi cercare di risolvere rispettando dei vincoli..... Il processo intellettivo nei due campi è quasi lo stesso..."

    Cara Maria, ti ringrazio di aver citato questa frase così significativa e vera.

    Un abbraccio.
    annarita

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  12. davvero bello e interessante prof!!!! (un po' lunghino....) Tampi

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  13. Salve prof! Sono Adele della 1b! é molto interessante e misterioso questo quadrato magico, mi piace!!!! Ciao a domani!!!

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  14. Mi dispiace contradirti, ma i quadrati 9x9 e 16x16 non possono essere chiamati perfetti, perche' per essere chiamato perfetto deve avere al suo interno oltre a orizzontal, verticali, e diagonali, anche molte altre posizioni: a gruppi, semi-diagonali, a zig-zag, frontali, e altri. Sia il quadrato 9x9 che il 16x16 possono essere: QUADRATI MAGICI PERFETTI.Ciao

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  15. Mi dispiace contradire, ma non si possono chiamare i quadrati 9x9 e 16x16 perfetti, perche' oltre alle costanti orizzontali, verticali, e diagonali, deve avere altre posizioni: semi-diagonali, a gruppi, a ziz-zag, frontali, e altre.
    Il quadrato 4x4 e' un esempio di Q.M. Perfetto.
    Da tenere presente che qualsiasi quadrato puo' essere magico ma quelli perfetti possono essere:
    il 4x4, il 9x9, il 16x16, il 25x25, il 64x64 e altri.
    Ciao

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    Risposte
    1. Il commento non è chiaro del tutto. Una volta si afferma che i quadrati citati non sono quadrati magici perfetti e subito dopo si nega quanto affermato.

      In ogni caso i due quadrati in questione di Michael Stifel, citati nel post, il 9 x 9 e il 16 x 16 sono quadrati magici perfetti perché soddisfano le condizioni richieste, che sono:
      1) La somma dei numeri presenti sulle singole righe uguale alle costante magica
      2) La somma dei numeri presenti sulle singole colonne uguale alle costante magica
      3) La somma dei numeri presenti sulle singole diagonali uguale alle costante magica
      4) I cui numeri presenti sono interi da 1 a n^2

      Quando almeno una di queste 4 caratteristiche non è presente, il quadrato viene detto quadrato magico imperfetto o non normale.

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  16. @frankray44
    Forse c'è un po' di confusione:
    ha perfettamente ragione la prof Annarita nel definire le 4 caratteristiche dei quadrati perfetti.
    Quelli di cui parli tu "altre posizioni: semi-diagonali, a gruppi, a ziz-zag, frontali, e altre" sono i quadrati supermagici e/o diabolici.

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  17. Forse avete ragione voi, credevo che i Quadrati Magici Perfetti si potevano chiamare quelli, che oltre alle caratteristiche della costante uguale per le posizioni: orizzontali, verticali, diagonali, avessero tante altre posizioni sempre con la stessa costante.
    A questo punto credo che da adesso chiamare i quadrati che io riesco a sviluppare: Quadrati Super Magici Diabolicamente a Fantasticamente Perfetti.
    Non vorrei sembrare uno spaccone, ma posso dimostrare quello che dico, e rimango a Vostra disposizione, facendo presente che non sono un professore di matematica, ma un pensionato appassionato fin dal 1960.

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