Matematicamente

mercoledì 10 febbraio 2010

Matematica Della Tela Di Ragno

Cari ragazzi e cari lettori, riporto di seguito un interessante rompicapo preso dal volume Le meraviglie dei numeri (in lingua inglese, Wonders of numbers) di Clifford Pickover. Cimentatevi nella soluzione, che, in ogni caso, pubblicherò il prossimo giovedì.





Matematica della tela di ragno



Le strutture di cui si occupa la matematica somigliano più a merletti, a foglie d'alberi, al gioco di luci e ombre sui visi umani, che a edifici e macchine, gli ultimi a rappresentarli.

Scott Buchanan



Il dottor Googol ha sempre nutrito interesse per le ragnatele, delle quali cerca continuamente begli esemplari in tutto il mondo. Le più ampie di tutte le ragnatele sono quelle aeree, che vengono filate dai tessitori tropicali del genere Nephila e talvolta raggiungono 6 metri di circonferenza!

I ragni ogni tanto commettono errori. Alcuni ricercatori hanno provato che i ragni sotto l'influenza di droghe che alterano la mente tessono reti anormali. La marijuana per esempio fa sì che che i ragni lascino grandi spazi tra i fili dell'ordito e le spirali interne. I ragni sottoposti a trattamento di benzedrina generano una tela imprevedibile, apparentemente incompiuta, mentre la caffeina porta a tele tessute a casaccio.

Che rapporto c'è con un affascinante
rompicapo matematico?

ragn_3_lacuneUn giorno mentre era a spasso per i boschi, il dottor Googol si imbatté in una enorme ragnatela tonda con un diametro maggiore di 30 centimetri. Mentre il sole si rifletteva attraverso la sua scintillante superficie, sviluppoò il
seguente rompicapo.

Prendete un ragno allucinato sotto l'influenza di una droga. Mentre tesse la sua tela, il ragno vi lascia delle lacune.
Nella figura 1, vengono mostrate 3 lacune. Il dottor Googol chiama questa semplice ragnatela come ragnatela (2, 2), perché si compone di 2 linee radiali e di 2 linee circolari.


In ogni nodo (intersezione) della tela, il ragno costruisce un numeretto che indica il numerazione_retenumero degli altri nodi che può raggiungere lungo la stesa linea radiale e circolare senza essere fermato - o da una lacuna o da un lato esterno.
Nella figura 2, il ragno ha segnato il nodo in cima con un 4, perché se scivola giù lungo il raggio tocca un nodo prima di raggiungere la lacuna, e se scivola in tondo, tocca altri 3 nodi, di cui 1 se va in verso antiorario, e 2 se procede in verso orario.


La figura 3 mostra una
ragnatela (4, 3). La moglie del ragno che l'ha tessuta arriva a casa, divora il marito (com'è usanza di alcune femmine di ragno) e ripara la tela. Decide di lasciare la numerazione così com'è, per ricordarsi di non innamorarsi più di ragni drogati.



ragna_4_3Riuscite a determinare dov'erano collocate originalmente le lacune?

Infine, i "
numeri ragno" si definiscono come la somma dei numeri che si trovano in ciascun nodo della tela. Ad esempio, la tela (2, 2) della figura 2 ha un numero pari a 44.

Usando solo 4 lacune, quali sono il minimo e il massimo "numero ragno" che potete produrre su una ragnatela (2, 2) e su una ragnatela (4, 3)?










Le figure sono state da me realizzate con GeoGebra.


7 commenti:

  1.  Rosaria: buongiorno e arrivederci 
    questo post non fa per me...
    Un bacione 

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  2. Ci credo, Rosaria. Il post mette alla prova anche i matematici più bravi!

    Salutoni
    annarita

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  3. Hmmm, dopo un po' di tentativi, mi sa che mi arrendo, per quanto riguarda il problema del minimo/massimo.
    Anche nel caso più semplice, il (2,2) le possibilità sono troppe, pur tenendo conto delle simmetrie; finora il massimo che ho ottenuto è 54 (togliendo tre archi di cerchio esterni e uno interno), e il minimo 24 (togliendo due segmenti all'interno della corona e due segmenti interni), ma mi mancano (credo) tante di quelle combinazioni che sinceramente non saprei come andare avanti...
    Però davvero un problema sfizioso, Annarita, di quelli che quando li risolvi ti dànno soddisfazione!

    Bacio!

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  4. Grazie, Mauretto. Sei stato bravissimo. Hai ragione sulla sfiziosità del problema!:)

    Bacioni!

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  5. ciao, al primo quesito non sono riuscito a rispondere,ma al secondo, nella ragnatela 2,2 per ottenere il massimo le lacune vanno poste sulla prima (partendo dal centro) e sulla terza linea circolare di due angoli opposti (quelli formati dalle linee radiali). Ad esempio le lacune possono essere lasciate sulla terza linea circolare e sulla prima degli angoli che hanno i nodi 11 e 11 sulle semirette che si incrociano con la terza linea circolare e in quello opposto che ha sempre 11 e 11. Per il minimo bisogna lasciare lacune su 4 linne radiali in modo che non si intersichino con nessuna delle linee cicolari. In questo mondo si interromperanno anche le linee circolari e i numeri dei nodi saranno il più basso possibile.
    Spero di essere stato il più chiaro possibile..
    Un saluto da riccardo 3b

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  6. se devo essere sincero, non ci ho capito una mazza. Avevo promesso alaa prof che avrei risposto, ma.... non so neanche da che parte voltare il foglio! Ho cercato anche di barare, guardando nei post di risposta, ma non ci ho capito nulla neanche lì. E' una cosa troppo avanzata per la mia picoola mente.

    Dal matematico umiliato, Jacopo Barnabè di 3B

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  7. Annarita ma davvero anche i ragni fumano!!!!????

    Scherzi a parte, stavo giusto cercando un giochetto per i miei secondetti, come sempre sei un vulcano di idee.

    A proposito ho letto il carnevale della matematica, vedi che se lo chiedono anche loro come fai a fare tutte ste cose!

    Io pretendo un goccio dell'elisir che usi.

    Ti abbraccio forte!

    Elena

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