Matematicamente

domenica 6 settembre 2009

Epitrocoide, Una Curva Roulette

In geometria per epitrocoidedal greco epi "su" e trokhos "ruota", si intende una curva piana ottenibile da un punto fissato ad un cerchio di raggio r, posto ad una distanza d dal centro, quando il cerchio rotola all'esterno di un altro cerchio di raggio R. E' quindi una curva  piana appartenente alla categoria delle roulette ovvero delle curve generate da un punto di una figura che rotola su di un'altra.



epitrocoide1

 Una epitrocoide si può individuare con il seguente sistema di equazioni parametriche:
x = (R + r)\cos\theta - d\cos\left({R + r \over r}\theta\right)
y = (R + r)\sin\theta - d\sin\left({R + r \over r}\theta\right)
L'immagine seguente si riferisce all'epicotroide a due lobi, ottenuta per R = 2r, ed è il profilo in sezione della camera di combustione del motore rotativo Wankel.

epitrocoidea2lobi



epitrochoidConsideriamo l'equazione dell'epitrocoide nella forma parametrica:

x = (a + b) cos(t) - c cos((a/b +1)t), y = (a + b) sin(t) - c sin((a/b +1)t)

Dove a è il raggio del cerchio fisso mentre b è il raggio del cerchio che rotola sul primo.

Per l'epitrocoide, dell' esempio fornito sopra, il cerchio di raggio b rotola all'esterno del cerchio di raggio a. Il punto P e' a distanza c dal centro del cerchio di raggio b. Nell'esempio dato,  a = 5, b = 3 e c = 5 (Cosi' P va all'interno del cerchio di raggio a).

Per approfondire, visitate la pagina di Robert Ferréol, da cui sono tratte le seguenti immagini che rappresentano vari tipi di epitrocoidi.

Peritrocoide

peritrocoide

Rosetta o Rodonea

rosaceepitrochoid

spirographe1

spirographe2

Segue l'applet  di uno spirografo per tracciare epitrocoidi. Divertitevi pure!

 










Created by Anu Garg.

Ecco come è possibile utilizzare i controlli nell'applet:

-  Le prime tre barre di scorrimento nel pannello di controllo consentono di cambiare R, r e O, rispettivamente.

- È possibile utilizzare le successive tre barre di scorrimento per modificare il colore del disegno: i valori del rosso, del verde e del blu possono variare nel range 0-255.

- L'ultima  barra di scorrimento consente di scegliere il numero di iterazioni per lo Spirografo. 

- È possibile utilizzare il tasto Random per selezionare i valori casuali per i raggi e il colore.

Un esempio di epitrocoide appare nel lavoro Instruction in measurement with compasses and straight edge (1525) di Dürer. Egli le chiamò linee di ragno perche' le linee che utilizzò per costruire le curve rassomigliavano ad un ragno.

Queste curve vennero studiate da la Hire, Desargues, Leibniz, Newton e da molti altri.

Sono epitrocoidi anche le seguenti curve: epicicloide, ipocicloide, ipotrocoide

12 commenti:

  1. Mi piace da morire questa matematica fatta di bellissime immagini colorate! Annarita, permettimi: ma la seconda equazione non è anch'essa parametrica ?

    Maurizio

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  2. Certo che lo è , Maurizio. Non ho riletto per bene tutto. Vedi l'ora in cui ho postato? Vado a rettificare. Grazie. Meno male che ho lettori attenti!

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  3. Annarita, sono Mary. Che belle quelle figure colorate. La matematica svolta in questo modo acquista fascino anche per una come me che con la matematica è perennemente in lotta!;)


    bacioni:)

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  4. Fortissimo, Annarita! Mi sono divertita un mondo con lo spirografo;)


    Lo voglio proporre a scuola. Chissà che non sia utile a motivarli allo studio della geometria!


    Bacioni

    Arte

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  5. Prova, Arte. Lo farò anch'io;)

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  6. Mi è piaciuto parecchio questo tuo articolo!

    E poi mi son divertito con le animazioni che si producono tenendo premuti i pulsanti estremi dello spirografo :)))


    Un abbraccio, Annarita ;)





    Bruno

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  7. Già, Bruno! Lo spirografo è divertente...


    Bacioni

    annarita

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  8. Articolo interessante!


    A proposito di rose matematiche, non so se ti è mai capitato di leggere la guida a Mathematica di Stan Wagon:


    http://www.stanwagon.com/


    ci sono esempi davvero istruttivi...

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  9. Benvenuto extrabyte. No! Non ho letto la guida che hai segnalato.

    Grazie mille. Cercherò di documentarmi:)


    A presto!

    annarita

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  10. Cercavo il nome delle figure geometriche incluse nel volano di affettatrici manuali del mio cliente (www.slicers.it)  e ho trovato questo bellissimo sito. Complimenti è proprio istruttivo. Spero che i miei nipoti (3 e 6 anni) incontrino in avvenire una prof di matematica come Lei  ...

    Valeria Vernon

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  11. Grazie a lei per l'apprezzamento, Valeria. In bocca al lupo ai suoi nipoti.

    A presto!
    Annarita Ruberto

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