Matematicamente

mercoledì 5 agosto 2009

Numeri Palindromi

palindromeCari ragazzi e cari lettori, dopo i numeri felici  e "Il segreto del 57 e altre magie" vi propongo un’altra curiosità matematica: i numeri palindromi!
Nello studio dell’italiano, penso abbiate incontrato il termine “palindromo” . In ogni caso, vediamo di cosa si tratta.
Il palindromo (dal greco antico πάλιν "indietro" e δρóμος "corsa", col significato "che corre all'indietro") è una sequenza di caratteri che, letta al contrario, rimane identica. Il concetto si riferisce principalmente a parole, frasi e numeri. Secondo una leggenda l'inventore e il primo virtuoso del genere sarebbe stato il poeta greco Sotade, vissuto ad Alessandria d'Egitto nel III secolo.


Esempi di termini palindromi sono i seguenti:

 re-ma-re, Ma-rem-ma, Ne-ro-ne

Passiamo adesso dai palindromi sillabici ai palindromi numerici, la curiosità matematica che ci interessa, con alcuni esempi:

1991; 2002; 2112; 2992; 357753; 1288821.

Rilevate facilmente che i numeri elencati hanno la caratteristica di essere letti da sinistra a destra e viceversa rimanendo identici a se stessi come se fossero riflessi in uno specchio!

Un numero palindromo è un numero scritto in modo che la disposizione delle cifre sia simmetrica rispetto al centro del numero: a1a2a3 ...|... a3a2a1.

Tutti i numeri con una sola cifra sono palindromi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
I numeri palindromi di due cifre sono nove: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.

Ci sono 90 numeri palindromi con 3 cifre e 90 con 4 cifre.

I numeri palindromi minori di 104  sono 199  mentre sono 1099 i numeri palindromi minori di 105.
Osserviamo alcuni comportamenti curiosi.

Scriviamo in fila, a partire da 1, un numero pari ( in questo caso sei) di numeri consecutivi, ad esempio: 123456. Proseguiamo aggiungendo la sequenza 54321, ovvero rendiamo palindromo il numero considerato, ritornando nuovamente a 1, ottenendo: 12345654321.

Il palindromo 12345654321 è divisibile per 11, che è a sua volta un numero palindromo.
Il quoziente della divisione 12345654321/ 11 = 1122332211 è ancora un numero palindromo.
1122332211/11= 102030201 è un numero palindromo, dove è interposto uno zero in ogni coppia di cifre!

Il numero palindromo 4.211.672.540.455.378.958.718.869.999.688.178.598.735.540.452.761.124 formato da 52 cifre è un quadrato perfetto.

Inoltre 2211^3 = 10.662.526.601

Sommando tutti i numeri naturali da 1 al palindromo 3.654.345.456.545.434.563 si ottiene ancora un numero palindromo: 6.677.120.357.887.130.286.820.317.887.530.217.766.

Esiste anche una interessante congettura sui palindromi che non è stata ancora dimostrata, ed è così formulata:
 “Considerare un numero e invertire le  cifre che lo compongono. Sommare quindi a quello iniziale il numero così ottenuto. Se la somma non è un palindromo, ripetere il procedimento. E’ vero che reiterando il procedimento, a partire da un numero qualunque, si ottiene un palindromo?”

Applichiamo il procedimento al numero 87:
1. Invertendo sue cifre, otteniamo
78
2. effettuiamo la somma tra 87 e 78, ottenendo
87 + 78 = 165 non palindromo
3. ripetiamo il procedimento invertendo le cifre di 165, ottenendo
561
4. sommiamo
165 + 561 = 726 non palindromo
5. ripetiamo ancora e sommiamo
726 + 627 = 1353 non palindromo
6. e ancora
1353 + 3531 = 4884  è un palindromo!

In pochi passaggi abbiamo ottenuto il numero palindromo 4884 a partire dal numero originale 87.

Applicando il procedimento ad altri numeri si otterrà nella maggior parte dei casi un numero palindromo. In effetti solo pochissimi numeri non diventano palindromi! E questo lascia insoluta la congettura indicata. Il più piccolo numero che non diventa palindromo è 196.

Il Project Euler si è interessato di risolvere il seguente problema: trovare il palindromo più grande generato dal prodotto tra due numeri di tre cifre ciascuno. Chi vuole saperne di più consulti questa pagina.

Particolari palindromi sono i primi palindromi, oggetto di ampie ricerche e approfondimenti.

Il più piccolo primo palindromo è 11, che è anche l’unico con un numero pari di cifre.
Tutti gli altri palindromi con un numero pari di cifre, sono infatti divisibili per 11.

I palindromi primi di tre cifre sono quindici: 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919 e 929.
Non ne esistono con quattro o sei cifre, mentre sono 93 a cinque cifre: 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, …

Proseguiamo con le curiosità matematiche sui numeri palindromi con i repunits: numeri primi contenenti soltanto la cifra uno come, ad esempio 11.
Il più grande repunit, trovato nel 2002 è il numero: (18067^(4201)-1)/18066, formato da 17879 cifre 1.

Si possono trovare approfondimenti sui  repunits  a questa pagina web.

Ed ecco una bella piramide di numeri palindromi primi, proposta da G. L. Honaker, Jr.

piramide_palindromi

Consultate:











 E, per finire, un gioco sui palindromi tratto dai Giochi matematici 2002:

Siamo nell'anno duemiladue. Il numero 2002 è un numero che si puo' leggere - senza che ne cambi il valore - da destra verso sinistra e da sinistra verso destra. Si dice che è un numero palindromo.
Quali saranno i prossimi dieci anni che si indicheranno con numeri palindromi?

Soluzione del gioco.
I prossimi dieci anni palindromi sono: 2112 - 2222 - 2332 - 2442 - 2552 - 2662 - 2772 - 2882 - 2992 - 3003

17 commenti:

  1. Un argomento molto interessante! Lo proporrò a scuola per un'attività interdisciplinare italiano-matematica.

    Grazie degli spunti, utili come sempre.

    Baci

    Mary

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  2. Conoscevo l'esistenza dei numeri palindromi, ma non avevo mai letto un articolo così dettagliato e ricco di link a risorse specifiche.

    Grazie, Annarita. Spulciero tutti i link con calma.

    baci-baci e divertiti!;)

    Arte

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  3. E non vale! Da quando in qua metti un gioco e subito dopo la soluzione? È vero che è estate, ma il cervello non lo dobbiamo mai mandare in vacanza... ;-)


    Abbraccione!

    P.S. Com'è il mare a Gallipoli? :-)

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  4. Hai ragione, Maurè! Ma proprio perché è vacanza ho fatto uno strappo alla regola;)


    Il mare di Gallipoli è straordinario, come sempre.


    Un abbraccione. Passo presto a trovarti:)

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  5. Brava Mary! L'argomento in effetti si presta per un'attività interdisciplinaare mirata.

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  6. Eh, Arte, ce n'è da spulciare;)

    Ciao!

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  7. Quanto son simpatici i palindromi :)))


    Ti abbraccio ancora, dovunque tu sia!




    Bruno

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  8. Cara Annarita, ho letto con piacere quanto c’era da dire sui numeri palindromi, non mi resta che aggiungere una cosa sulle parole palindrome.


    Attrattivo e pieno di fascino è il famoso quadrato magico di Pompei con la nota antica iscrizione palindrome «SATOR AREPTO TENET OPERA ROTAS» [vedi qui] inserita per l’appunto in un quadrato perfetto che permette di leggerla in verticale, in orizzontale, per dritto e per rovescio.


    Abbracci Gaetano

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  9. Decisamente, Bruno! Ricambio l'abbraccio.

    A presto

    annarita

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  10. Sì, caro Gaetano. La scritta del Sator dà luogo ad un palindromo, hai perfettamente ragione. Grazie di averlo ricordato.


    Un caro saluto

    annarita:)

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  11. Beh, un matematico inglese burlone potrebbe risponderti palindromicamente: "I prefer pi".

    Ciao!

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  12. Bella, Pop, bella!;)


    A presto!

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  13. Interessanti post, come sempre ricchi di informazioni preziose.

    Ricordo che un anno andando sulle Dolomiti con i nipoti abbiamo giocato con le targhe palindrome delle auto e moto che incrociavamo in autostrada. In quella occasione, studiammo anche l' alfabeto greco, con il quale, per farlo memorizzare, costruivo storielle comiche. Viaggio che i miei nipoti, oggi chi all' universita' e chi al classico, ricordano con piacere.

    Felici e radiosi vacanze.

    Vale

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  14. Pier, hai svolto con i tuoi nipoti quella che didatticamente viene denominata interdisciplinarità.

    Bravo. Complimenti.


    Baci

    annarita

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  15. Se vi può interessare ho elaborato un algoritmo su come trovare:

    Il primo numero palindromo successivo ad un numero dato.

    potete trovare lo schema a blocchi a questo indirizzo
     ed il codice VB.Net a questo
    ho cominciato a parlarne anche su Olimpoinformatico e potete trovarmi quì ...  il mio nik è Scrigno.

    Nella speranza che qualcuno che legge possa darmi qualche indicazione su dove andare a leggere qualcosa sull' argometo  vi porgo i miei saluti :-)



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  16.  Annarita, ciao
    Oggi è un numero palindromo e non potevo non scriverne.
    Qui: http://www.danielegouthier.it/pigrecoquadro/01022010.html
    Così come non potevo non citare questo tuo bellissimo post.
    Daniele

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  17. Grazie mille, Daniele. Troppo buono.

    Un salutone.
    annarita

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