Matematicamente

martedì 1 gennaio 2008

Dal merletto di Koch al fiocco di neve di Koch, la geometria frattale interpreta la natura!

Cari ragazzi di 1°, qualche tempo fa, introducendovi allo studio della geometria euclidea alcuni di voi si stupirono quando affermai che essa si basa su assiomi e postulati (tra cui il 5° postulato di Euclide), negati i quali la geometria euclidea non ha più validità e si possono generare altre geometrie.


All'epoca, dovetti frenare la vostra naturale curiosità, giusto per procedere passo dopo passo e fornirvi le basi necessarie alla comprensione delle geometrie non euclidee.


Oggi vi propongo, per rispondere in parte alle vostre domande, un assaggio della geometria frattale, anche se per voi l'assaggino si fermerà all'aspetto estetico delle forme geometriche, i frattali.


Quando ci addentreremo, in futuro, nello studio della Geometria frattale, vi renderete conto di come essa interpreti meravigliosamente la natura. Gli oggetti della natura (alberi, montagne, nuvole, foglie, felci etc. ) si presentano, infatti,  con un carattere irregolare e non possono essere studiati usando le proprietà della geometria euclidea (rette, poligoni, cerchi). Questo ha giustificato l'introduzione di un nuovo tipo di geometria da parte del matematico Benoit B. Mandelbrot (1982): la geometria frattale appunto.


Per i visitatori adulti, invece, l'articolo si propone di fornire risorse e informazioni nei riguardi di questa meravigliosa geometria, che per essere compresa non può prescindere dalla conoscenza delle trasformazioni geometriche affini.


Bene, introduciamo il merletto di Koch, suggestivo frattale che deve il suo nome al matematico Helge Von Koch che lo presentò in un articolo pubblicato nel 1904, prima quindi che fosse conosciuto il concetto di frattale, inteso modernamente. All'epoca fu visto come una curva dalle proprietà curiose, per non dire anomale e quasi patologiche. Nel link fornito prima, si può osservare come viene costruito, facendo ricorso unicamente a tecniche di geometria elementare.


Quello che vedete è il frattale denominato "merletto a trina di Koch".


koch05_merletto a trina


A questo indirizzo, potete scaricare un software molto semplice, realizzato in Delphi, per analizzare meglio la costruzione del merletto di Koch. Il programma freeware consiste in un unico file zippato ed utilizzabile in ambiente Windos.


Dal merletto a trina di Koch, si può ottenere il cosiddetto fiocco di neve . Basta combinare insieme tre copie del frattale lungo i lati di un triangolo equilatero. Andate a questo indirizzo per osservare come si fa.


Ecco un'immagine del fiocco di neve di Koch.


fioccodineve


Osservate adesso il frattale seguente: è possibile distinguere infinite copie del fiocco di neve e, quindi, anche del merletto di Koch. Per ottenerlo, occorrono sei trasformazioni affini. Da notare che il frattale è costruito dentro un esagono regolare. In letteratura, questo frattale è denominato appunto Esagono di Koch.


fioccokochfrattale


Allora, ragazzi, la vostra curiosità è stata in parte soddisfatta? Lo so, lo so...alcuni di voi vorrebbero saperne di più. Dovete avere un po' di pazienza! Va bene?


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RISORSE SUI FRATTALI


Fractal gallery


Sprott's Fractal Gallery


Frattali


I Frattali


Fractal Domains Gallery


Dall'ultimo sito, ecco il frattale "Christmas tree"


fractal_of_the_week_thumb

1 commento:

  1. Ragazzi, riprenderemo presto il discorso sui frattali. A domani.

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