Sophie Germain – A Life Between Numbers and Freedom

1880 illustration of a young Sophie Germain (circa 1790)

                                                                  

We know that women also worked on Mathematics, but their interest encountered several limitations due to their gender.

For example, Sophie Germain, born on 1st April 1776 in Paris, made important contributions to the field of Mathematics, in particular to number theory and the applied mathematics of acoustics and elasticity.

Sophie's interest in mathematics sparked at the age of 13 when she read about Archimedes' death. She thought that maths must be an interesting subject, if someone could love it so much to die for it.

She learned Latin and Greek by herself to be able to read Euler and Newton works. Furthermore she read every mathematics book in the home's library.

Her parents, initially opposed to her wishes, assigned her a private tutor for her mathematical studies, but Sophie was not satisfied and wanted to attend the University, forbidden to women during her time.

She thus decided to enroll at the École Polytechnique using the pseudonym Monsieur Antoine-August Le Blanc.

Lagrange 

Sophie studied independently on the course notes without attending, in order not to be discovered. Lagrange, at the time a teacher at the École, was struck by Le Blanc's skill and wanted to meet him. So Sophie had to reveal her true identity.

Lagrange introduced her into the mathematical community.

Under his guidance, Sophie devoted herself to advanced study, especially of Number Theory and Fermat's Last Theorem.

During the study of the theorem that  provided a foundation for mathematicians exploring the subject for hundreds of years after, she found a type of prime number: Sophie Germain's prime.

Carl F. Gauss

In 1804, she began an epistolary correspondence with Carl F. Gauss, still using the same pseudonym, to deepen her studies of number theory. Gauss was thrilled when he learned she was a woman, confirming his esteem for her.

Sophie subsequently devoted herself to the study of vibrating plates and, with the help of Lagrange, obtained the correct solution to the plate problem. This solution, however, due to the prevailing machismo, went down in history as Lagrange's differential equation, and is only recently mentioned as the Germain-Lagrange plate equation.

This important contribution is a work full of brilliant insights that lays the foundations of the modern theory of elasticity.

I suggest the book 'Sophie Germain: An Essay in the History of the Theory of Elasticity'.

It took her several years of work to be recognized and appreciated for her contributions to the field of mathematics and science: the Academy of Sciences of Paris finally awarded her work on elasticity in 1816.

Sophie Germain is considered an icon of feminism for the fight against the social and cultural prejudices of her time.

Sophie Germain (Œuvres_philosophiques, 1896)

A brilliant and tenacious mind, she has left an indelible mark not only on the history of mathematics and science, but also on the cultural and social fabric of humanity. Her cultural legacy is a song of perseverance, an ode to the strength of the intellect that rises against the storms of prejudice.

Born in an era when women were excluded from academia and relegated to the margins of intellectual life, Sophie immersed herself in numbers and equations with a passion that defied convention. Her contributions are jewels of a legacy that shines with rigor and genius. But what makes her cultural legacy so poignant is the price she paid to pursue it: years of clandestine study, letters exchanged with giants like Gauss, who only later discovered the true identity of that extraordinary mind. Her life was a slow, painful chipping away at the walls of exclusion, an act of creation that was not limited to formulas, but redesigned the boundaries of the possible.

Socially, Sophie Germain emerges as an icon of feminism ante litteram, a beacon of resistance against the prejudices that chained women to silence. It was not only her intelligence that made her a symbol, but the courage with which she faced a world that denied her space. In an era in which female education was seen as an aberration, she appropriated knowledge with a determination that had the flavor of rebellion. Each step towards recognition was not only a personal victory, but a collective one, a silent cry for all women crushed by the weight of social expectations.

Sophie did not just fight for herself: her example became an inspiration, a reminder that the fight against cultural and gender prejudices requires time, sacrifice and an unyielding obstinacy. Although she did not live to see the full recognition of her genius, her name resonates today as a symbol of emancipation, an echo of what a woman can achieve when she dares to challenge the destiny that was imposed on her.

Her legacy, therefore, is twofold: a mathematical heritage that still illuminates science today, and a living testimony to the transformative power of those who refuse to be forgotten.

Sophie Germain is not just a scientist; she is a sentiment, a breath of hope for anyone fighting to be heard in a world that too often closes its doors.

On 27 June 1831, she passed away from breast cancer.

The plaque on Sophie Germain house at 13, rue de Savoie. Source

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Images: they come from Wikimedia Commons and are in the public domain, except the last one (the plaque) which is licensed under the Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.

References:

Sophie Germain (on Wikipedia) 

Badass Wimmin of History Presentes Sophie Germain

Sophie Germain, la boss des maths

Marie-Sophie Germain - Biography

Paul Erdős: The Wandering Genius Who Loved Only Numbers

 

On 26 March 1913, Paul Erdős was born: one of the most prolific and influential mathematicians of the 20th century, a legendary figure not only for his academic contributions, but also for his eccentric lifestyle and his unique vision of mathematics as a collaborative and universal activity.

Born in Budapest, Hungary, to a Jewish family, Erdős lived a nomadic existence, traveling incessantly between conferences, universities and colleagues' homes, with a suitcase and a few personal belongings, dedicating his life entirely to mathematics.

He is known for his work in fields such as number theory, combinatorics, graph theory and probability. He published over 1,500 papers before his death in 1996, collaborating with more than 500 co-authors, a record that gave rise to the famous "Erdős number", an index measuring the collaborative distance between a mathematician and Erdős himself through joint publications. Among his most famous results are the Erdős-Kac theorem (also known as the fundamental theorem of probabilistic number theory), his contributions to Ramsey theory, and his work on prime numbers. His ability to pose deep and challenging problems often opened up new avenues of research.

Erdős’s legacy goes beyond his theorems. He embodied an approach to mathematics as a collective, almost mystical enterprise: for him, mathematical problems were part of an ideal “Book,” written by some kind of transcendent entity, which mathematicians were tasked with discovering. His recurring phrase, “my brain is open,” reflected his willingness to collaborate with anyone, regardless of age, nationality, or prestige. This spirit inspired a culture of openness and sharing in the mathematical community. Erdős was also a symbol of cultural resilience. Growing up in a time of political turmoil and persecution of Jews in Europe, he transformed personal hardship into tireless creative energy. His minimalist lifestyle – he owned little, lived as a guest of others, and donated much of his earnings in prizes for solving mathematical problems – reflected an almost monastic dedication to knowledge.

Morally, Erdős represents an ideal of intellectual altruism. He did not seek personal fame or material wealth, but the advancement of knowledge for the common good. His generosity manifested itself in the monetary prizes he offered for solving problems he proposed, a way of stimulating the curiosity and talent of others. Furthermore, his refusal to conform to social conventions – he never married and did not have a permanent home – can be seen as a rebellion against materialism and a call to pursue what truly matters. Erdős was also deeply human: he loved to joke, invented terms such as "epsilons" for calling children (referring to the small mathematical quantity ε), and had an inclusive ethic that made him a friend to all. His death from a heart attack, while attending a conference in Warsaw on 20 September 1996, was emblematic: he died doing what he loved, surrounded by the community he had helped build.

Paul Erdős left a legacy that intertwines mathematical brilliance, a collaborative cultural approach, and a moral example of selfless dedication. His life demonstrates that true greatness lies not only in achievements, but in the way one lives and inspires others. To this day, his name is synonymous with creativity, connection, and a passion for discovery.

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Image: Erdős with Terence Tao (ten-year-old ), 1985. Via Wikimedia Commons 

References and further reading

Paul Erdős- Biography 

PAUL ERDŐS 

N Is a Number: A Portrait of Paul Erdös 

The Man Who Loved Only Numbers 

Emmy Noether: The Queen Of Mathematics Who Revolutionized Physics

Born on 23 March 1882, Emmy Noether, considered by Einstein the most important woman in history of mathematics, had a great passion for theoretical physics and abstract algebra.

She made many relevant contributions to the field of mathematics.

In 1915, Noether accepted an invitation from Hilbert and Klein to move to Göttingen, the "Mecca of Mathematics."

Many of the faculty did not want her there, but she worked hard and soon was given a job as a lecturer.

Even though she still was not paid for her efforts, for the first time, Noether was teaching under her own name.

Three years later, she began receiving a small salary for her work.

There she became a world-class algebraist who attracted students and younger colleagues who themselves became leading mathematicians.

In fact, during her time at the University of Göttingen, Emmy accumulated a small following of students known as "Noether's boys".

In 1933, Hitler and the Nazis came into power in Germany.

Noether moved to the USA, where Bryn Mawr College offered her a position teaching. There she taught until her death in 1935, being an inspiring teacher for her students.

"In the judgment of the most competent living mathematicians, Fräulein Noether was the most significant creative mathematical genius thus far produced since the higher education of women began. In the realm of algebra, in which the most gifted mathematicians have been busy for centuries, she discovered methods which have proved of enormous importance in the development of the present-day younger generation of mathematicians. Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas. One seeks the most general ideas of operation which will bring together in simple, logical and unified form the largest possible circle of formal relationships. In this effort toward logical beauty spiritual formulas are discovered necessary for the deeper penetration into the laws of nature."

- Albert Einstein, Princeton University, May 1,1935 (Source)

Emmy discovered the symmetries of a physical system are inextricably linked to physical quantities that are conserved, such as energy. These ideas became known as Noether’s theorem, the foundations of modern physics.

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References

Celebrate the mathematics of Emmy Noether

Emmy Noether, Mentors & Colleagues 

Emmy Noether

Image: Portrait of Emmy Noether, before 1910 (Public Domain)

Author: unknown

Image Source 

La Matematica È il Segreto Nascosto per Capire il Mondo

Pubblico un interessante video da TED Ideas worth spreading, in cui Roger Antonsen (logico, matematico e informatico norvegese) spiega come un piccolo cambio di prospettiva può rivelare schemi, numeri e formule quali passaggi verso l'empatia e la comprensione.

Il filmato è sottotitolato in lingua italiana, ma, se preferite la lettura, più avanti trovate la traduzione della TED translator Silvia Fornasiero.

Teoria dei Numeri: La Regina della Matematica

Fonte dell'immagine

Si dice che Carl Friedrich Gauss, uno dei più grandi matematici di sempre, avesse affermato:

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica".

Le proprietà dei numeri primi giocano un ruolo cruciale nella teoria dei numeri, che studia le proprietà dei numeri interi; una domanda intrigante è come essi siano distribuiti all'interno degli altri numeri interi.
Nel 19° secolo ci sono stati indubbi progressi nella risposta a questa domanda con la dimostrazione del Teorema dei numeri primi, ma abbiamo anche visto Bernhard Riemann proporre quello che molti considerano il più grande problema irrisolto in matematica - l'Ipotesi di Riemann.

La teoria dei numeri è un'antica disciplina. Le prime formulazioni dei problemi della teoria dei numeri, e le soluzioni di alcuni di essi, risalgono, infatti, a Pitagora e alla sua scuola e sono enunciate negli Elementi di Euclide.
Euclide ha dimostrato l'infinità dei numeri primi con il metodo della reductio ad absurdum, un metodo di dimostrazione che procede con la formulazione di una proposizione che poi si risolve in una contraddizione, dimostrando così che la proposizione è falsa.
Un altro problema è, sin dai tempi più antichi, quello della risoluzione di equazioni a coefficienti interi: Pitagora risolveva equazioni quadratiche legate ai triangoli rettangoli, Euclide utilizzava equazioni lineari per calcolare il massimo comun divisore di due numeri interi e Archimede studiava equazioni quadratiche, note oggi come equazioni di Pell. 

Il Problema dei Tre Raggi

Il Problema dei Tre Raggi è l'apprezzabile lavoro svolto da Tamar Barabi, una studentessa israeliana del primo anno di scuola superiore. ll risultato dei suoi sforzi è stato pubblicato su Pi in the Sky* (Numero 20, 2017), alle pagine 26 e 27.

L'intraprendente fanciulla racconta come un bel dì, dopo aver risolto un esercizio di geometria, si rese conto che la risoluzione poteva esserne facilitata applicando un semplice teorema...che scoprì in seguito, con somma meraviglia, non essere stato ancora formulato!
Consultò, infatti, il suo insegnante e alcuni suoi parenti impegnati nel campo della matematica fuori del suo paese di origine, e alla fine- d'accordo con i suoi genitori- si mise in contatto con un professore universitario e altri esperti. 
Appurato che il teorema non era stato ancora formulato, nonostante la sua evidente semplicità e valenza logica, decise di elaborarne la formulazione con relativa dimostrazione, un po' aiutata in questo dal suo insegnante e da suo padre, insegnante pure lui.

Ecco a voi il teorema, in inglese.

I 10 Numeri Più Interessanti- 2° Parte

Riprendiamo con la nostra breve rassegna dei dieci numeri più interessanti!
Vi consiglio, però, di leggere la prima parte pubblicata un po' di tempo fa, prima di inoltrarvi nella lettura di questo articolo.
Comunque, riporto di seguito, per comodità, i prime cinque numeri: 0, π, e, i, 2^1/2.

*****

Ecco il sesto numero.

I 10 Numeri Più Interessanti- 1° Parte

Non esistono numeri non interessanti, a mio parere. O, se vi piace di più, tutti i numeri sono interessanti.  "Perché ne sei così sicura?"- mi chiederete.
Presto detto!
Supponiamo che esista un insieme non vuoto ed ordinato di numeri non interessanti. Deve allora esserci un numero non interessante che sia il più piccolo. Ciò lo rende però interessante, in virtù del fatto che è il più piccolo numero non interessante. Dal momento che i numeri in questo insieme sono stati definiti come non interessanti, siamo pervenuti ad una contraddizione perché questo più piccolo numero non può essere al tempo stesso interessante e non interessante. Pertanto, l'insieme dei numeri non interessanti deve essere vuoto, così dimostrando che non esistono numeri non interessanti.

Vabbé, il mio sproloquio non è stato convincente. Ed infatti è un adattamento del paradosso del numero interessante, un paradosso semiserio che nasce dal tentativo di classificare i numeri naturali come "interessanti" o "non interessanti". Il paradosso afferma che tutti i numeri naturali sono interessanti. La "prova" è per assurdo.
Il tentativo di classificare tutti i numeri in questo modo porta ad un paradosso o antinomia di definizione. Ogni ipotetica partizione dei numeri naturali in insiemi interessanti e non interessanti sembra fallire: poiché la definizione di "interessante" è di solito soggettiva ed intuitiva, il paradosso va inteso come una applicazione semiseria di autoreferenza. 

Il paradosso viene ridotto se si prova a definire oggettivamente il termine "interessante". 

Proseguiamo, dunque!

Secondo i matematici, ci sono numeri più interessanti di altri. Per togliere un po' di ambiguità al significato di interessante, conveniamo che i matematici trovino interessanti dei numeri aventi delle proprietà matematiche che li differenziano da altri numeri.
Ecco qui un elenco che ne propone una decina.
Probabilmente alcuni non saranno completamente d'accordo sulla scelta; vale, comunque, la pena darle un'occhiata e magari lasciare i vostri suggerimenti nella sezione dei commenti al post.

Tommy e L'Irrazionalità di Pi Greco...a Fumetti

Mi sono espressa più di una volta riguardo all'utilità dell'impiego dei fumetti come strumenti per insegnare e per apprendere.

Riporto la prima parte di un mio vecchio post sul tema:

"Che i fumetti siano uno strumento a favore della didattica e dell'apprendimento non è una novità!

I giovani alunni possono apprendere la storia, la matematica, le scienze e altre discipline con approccio ludico!

Dai primi anni '40, negli USA, molti educatori, come W.W. D. Sones (1944) e altri, hanno condotto uno studio specifico sull'uso dei comic books in ambito educativo, ricavando dati circa la loro utilità.
Sono apparsi, pertanto, alcuni programmi supportati dai fumetti, mentre il “Journal of Educational Sociology” ha dedicato al tema il volume 18 del 1944 , Issue 4 . Alcuni fumetti considerati nocivi (F. Wertham, 1954) per l’istruzione hanno, però, bloccato la sperimentazione da parte degli educatori favorevoli ai fumetti.

Nel 1970, c’è stata una ripresa nell’utilizzo dei fumetti da parte di insegnanti come R. W. Campbell, R. Schoof (Koenke, 1981), B. Brocka (1979), ed una successiva crescita fino al raggiungimento di un importante traguardo: nel 1992, il libro a fumetti “Maus” di Art Spiegelman, dedicato alla tragedia dell'Olocausto, vinse il premio Pulitzer.

ll professore di fisica J. Kakalios (2002) e N. Williams dell’American Language Institute dell’Università di New York (1995) usano i comic books nelle loro lezioni.

Ai nostri giorni, gli educatori sperimentano nuovi modi di insegnare attraverso i fumetti, i cui punti di forza sono evidenti.

I fumetti possono catturare e mantenere l’interesse del lettore grazie alla sollecitazione visiva delle immagini; la “persistenza visiva” è, infatti, una caratteristica unica dei fumetti perché il tempo avanza al ritmo del lettore, a differenza di film e animazioni. Il fumetto funge, inoltre, da ponte verso discipline e concetti difficili, sviluppando le capacità analitiche e critiche del pensiero. Secondo Berkowitz & Packer (2001) i fumetti possono essere utilizzati nella didattica di discipline e contesti formativi diversi; essi utilizzano, infatti, un linguaggio che, apparentemente, è compreso quasi universalmente (Sones, 1944); il loro uso nell’educazione è basato sulla teoria della doppia codifica di Clark & Paivio (1991): il riconoscimento è arricchito dalla presenza dell’informazione sia in forma verbale che visiva.

EduComics è un progetto della European Union Comenius education, nell'ambito del Life Long Learning Programme (ref num 142424-2008-GR-COMENIUS-CMP), che consiglio di consultare.

I fumetti sono utilizzabili non solo dagli insegnanti, ma anche dagli alunni, che possono collaborare alla costruzione dei percorsi di apprendimento."

Se vi interessa il contenuto, potete continuare a leggere qui.

Alcune Curiosità Sulle Terne Pitagoriche

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Prima di addentrarci nel percorso delle preannunciate curiosità, vale la pena ricordare che cos'è una terna pitagorica.

In parole brevi, si tratta di tre numeri interi positivi corrispondenti alle lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo- a, b, c, i due cateti e l'ipotenusa rispettivamente- per i quali è valida la relazione pitagorica:

a^2 + b^2 = c^2

(3, 4, 5) è un ben noto esempio di terna pitagorica, che è anche primitiva perché 3, 4 e 5 sono numeri coprimi (o primi tra loro o relativamente primi), cioè il loro massimo comun divisore vale 1.

La seguente gif animata vale più di mille parole...beh si fa per dire, ma non troppo in realtà!

Math Mahjong Game: Gioca con le Quattro Operazioni

Math Mahjong Game è una variante del gioco cinese Mahjong e rappresenta un modo divertente per i giovanissimi  studenti di fare pratica con le quattro operazioni di base: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.

Comunque, il gioco è aperto a chiunque si voglia divertire con i numeri, indipendentemente dall'età anagrafica.

Il giocatore sceglie le tessere con i numeri e utilizza gli operatori per risolvere un problemino di matematica (cioè 3 + 2 = 5 oppure 9 - 8 + 2 = 3), quindi fa clic su "Invia" (Submit). Maggiore è il numero degli operatori utilizzati e dei problemini risolti, più alto è il punteggio raggiunto.
Per vincere la partita, si devono completare i problemini fino a quando non siano state utilizzate tutte le tessere del tabellone.

Andrew Wiles E La Dimostrazione Dell'Ultimo Teorema di Fermat

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L'Accademia norvegese di Scienze e di Lettere ha deciso di attribuire il premio Abel per il 2016 a Sir Andrew J. Wiles

"for his stunning proof of Fermat’s Last Theorem by way of the modularity conjecture for semistable elliptic curves, opening a new era in number theory."

ovvero

"Per la sua sensazionale dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat per mezzo della congettura di modularità per le curve ellittiche semistabili, che apre una nuova era nella teoria dei numeri."

Il Presidente dell'Accademia norvegese di Scienze e di Lettere, Ole M. Sejersted, ha annunciato il vincitore del premio Abel 2016, presso l'Accademia di Oslo, il 15 marzo 2016.
Andrew J. Wiles riceverà il premio Abel dal principe ereditario durante la cerimonia di premiazione che si terrà ad Oslo il 24 maggio prossimo.

Il Paradosso della Ruota di Aristotele

Il paradosso della ruota è citato nell'opera greca Mechanica, la cui dubbia paternità è attribuita ad Aristotele.

Vediamo di cosa si tratta!

Osservare con attenzione la gif animata che rappresenta una ruota, formata da due cerchi concentrici aventi un differente diametro: una ruota all'interno di un'altra ruota.

Fonte: Wikimedia Commons

C'è una corrispondenza uno ad uno tra i punti del cerchio grande e i punti di quello piccolo, pertanto la ruota dovrebbe percorrere la stessa distanza senza tenere conto se rotola da sinistra a destra lungo il segmento superiore oppure lungo quello inferiore. Ciò sembrerebbe implicare che le due circonferenze relative ai due diversi cerchi siano uguali, il che è impossibile.

Il Teorema di Holditch: un Teorema Un Po' Dimenticato

La bella animazione che vedete è una creazione di Matthew Henderson, in cui si osserva un segmento di lunghezza fissata, i cui estremi si muovono lungo il contorno di un’ellisse, tracciando un insieme di nuove forme. Si consideri l'area della forma tracciata da un punto che dista p unità da un estremo del segmento e q unità dall'altro estremo. Il teorema di Holditch, considerato una pietra miliare nella storia della matematica, dice che tale area è minore dell'area dell'ellisse di almeno π × p × q, dove p e q sono le lunghezze dei due segmenti, in cui il punto divide il segmento dato. Curiosamente, questa formula è valida non solo per un'ellisse, ma per qualsiasi tipo di curva chiusa convessa.

I Concetti Indispensabili della Matematica: Il Senso del Numero e la Numerazione

ll Carnevale della Matematica #91, che sarà ospitato dai Maddmaths! il 14 novembre prossimo, ha per tema: "I concetti indispensabili della matematica". 
Tema cruciale che accomuna tutti gli insegnanti di Matematica a livello internazionale. Ergo, l’argomento, per me che sono un’insegnante di Matematica nella Scuola Secondaria di 1°grado, si presenta alquanto arduo e complesso da affrontare in un singolo post.

“I concetti indispensabili della Matematica” mi fanno pensare all’ottimizzazione del curricolo scolastico e ai lavori, che hanno impegnato per anni gruppi di lavoro dei docenti di matematica, all’interno dei singoli istituti di appartenenza oppure in gruppi allargati e formalizzati in ambito provinciale, regionale, e nazionale. Del lavoro è stato fatto, ma molto resta ancora da fare, a mio avviso, anche se disponiamo da alcuni anni delle Indicazioni Nazionali per i curricoli disciplinari scolastici.

Il Radiante e la sua Relazione con il Cerchio

In base alla mia esperienza di insegnante, il concetto di radiante non è così immediato per gli studenti della Scuola secondaria di 1° grado. Questa ottima animazione di Lucas V. Barbosa (fonte) può rappresentare un aiuto per la comprensione di tale concetto.

Sui Presunti Inganni della Matematica

Fonte dell'immagine

In matematica, esiste la verità sempre e comunque oppure può annidarsi l’inganno?
Nel dialogo seguente, due amici discutono proprio su tale problematica.

Lucio: «A questo mondo, non esiste la verità! L’inganno e la falsità la fanno da padrone. Non ci si può fidare di niente e di nessuno».
Fosco: «Ma che cosa stai dicendo! Sorvoliamo sul “nessuno”, ma non si può tollerare il “niente”. Ti stai dimenticando della matematica. Può esserti antipatica quanto vuoi, ma non puoi disconoscerle tre qualità uniche: rigorosità, certezza e verità!».
Lucio: «Ecco! Ha pontificato, come al solito. Ai fini del nostro ragionamento, se proprio vogliamo ragionarci sopra, mi interessa soltanto la terza presunta qualità…per il momento! Tu dici che la matematica contiene la verità, eppure su questo punto non concordano nemmeno gli stessi matematici, e mi riferisco ai matematici di professione».
Fosco: «Ad esempio?».
Lucio: «Beh, sì, ad esempio, Odifreddi ha dichiarato, in un articolo del "Corriere della sera" (mi sembra fosse il n. 12 del 22 marzo 2007), che: “Diversamente dalle religioni, la scienza non ha dunque bisogno di rivendicare nessun monopolio della verità: semplicemente ce l’ha”.

Il Grand Hotel di Hilbert: un Aiuto Animato per Comprendere il Concetto di Infinito

Fonte dell'immagine

Qualche anno fa, pubblicavo "Un racconto ispirato al Paradosso del Grand Hotel di Hilbert".
Oggi, è la volta di un interessante filmato di TED-Ed "The Infinite Hotel Paradox", incentrato sullo stesso tema.

Il citato paradosso è un esperimento mentale, ovviamente brillante e senza dubbio suggestivo, creato dal matematico tedesco David Hilbert, il cui soggetto è un albergo con un numero infinito di camere.
Potrebbe sembrare facile da capire, forse. Ed invece, non lo è affatto. Che cosa fare, ad esempio, se l'albergo è al completo, ma una persona vuole prendere ugualmente una camera? E che dire di quaranta persone? Oppure di un autobus super affollato, o addirittura infinitamente pieno di persone? Infinitamente pieno, un comune autobus? Sì, un autobus infinitamente pieno, però non precisamente comune.
Jeff Dekofsky, comunque, risolve questi problemi di alloggio, ricorrendo al paradosso di Hilbert mediante una bella animazione, per aiutarci a comprendere il concetto di infinito.

"Insegnare la Matematica", nell'Eredità di Emma Castelnuovo

Il testo seguente è la conclusione della lectio magistralis "Insegnare la Matematica", tenuta da Emma Castelnuovo al Festival della Scienza del 2007. (A questo link potete scaricare il pdf della lectio)

«Una scuola così, in particolare un insegnamento della matematica così, aiuta i nostri nuovi allievi, quelli che vengono da paesi lontani, e di cui parecchi sono anche qui ora presenti; aiuta questi allievi di altre lingue a imparare l'italiano. È la matematica che aiuta, non è il corso di italiano che è sempre troppo ricco di parole e di espressioni. È la matematica che ha poche parole, che è un linguaggio ristretto ma vivo. I nuovi allievi che ci vengono da altri paesi apprendonol'italiano attraverso la matematica in gran parte, e i nostri allievi si sforzano di parlare l'italiano corretto, in matematica, proprio per aiutare i compagni. Se fosse solo questo, il fine di un insegnamento della matematica, se fosse solo questo, cioè di dare un'umanità, di dare un aiuto a questi giovani che vengono da paesi di cui conosciamo le condizioni, se fosse solo questo, io dico che bisognerebbe veramente ringraziare l'insegnamento della matematica.»

Tre Rettangoli Aurei In Un Icosaedro Regolare

Ragazzi, con questo post approfondiremo la conoscenza dell'icosaedro regolare, uno dei cinque solidi platonici che già conoscete.
Sapete già che questo particolare poliedro regolare è formato da 20 triangoli equilateri congruenti, ha inoltre 30 spigoli, ovviamente congruenti, e 12 vertici.

Non sapete, invece, che i 12 vertici dell'icosaedro regolare possono essere ottenuti intersecando tre rettangoli aurei reciprocamente ortogonali.

Ma vediamo prima che cos'è un rettangolo aureo.

In geometria, un rettangolo aureo è un rettangolo le cui lunghezze dei lati sono tra di essi nel rapporto aureo 1: (1 + sqrt (5))/2, cioè 1: φ (la lettera greca phi), dove φ vale approssimativamente 1.618.

Nella figura (a + b) / a = a/ b = 1, 618 = φ

Rettangolo aureo