Matematicamente

sabato 4 aprile 2009

Curve Celebri: Arbelos Di Archimede O Coltello Del Calzolaio

250px-Arbelos_Shoemakers_Knife

Cari ragazzi di 3° B e cari lettori, vi propongo una delle curve geometriche celebri: l'arbelos di Archimede (Dentro la Storia: Archimede, per saperne di più su questo grande della scienza). Leggete con attenzione quanto segue. Lunedì ne parleremo a scuola.

***

"...abbiamo una collezione di lemmi che è giunta fino a noi attraverso l'arabo. [...] I lemmi non possono, tuttavia, essere  stati scritti da Archimede, nella loro forma attuale, perché il suo nome è ivi citato in terza persona  più di una volta. ... anche se è molto probabile che alcune delle proposizioni  siano da attribuirsi ad Archimede, ad esempio, quelle riguardanti le figure geometriche chiamate rispettivamente arbelos (letteralmente coltello del calzolaio) e salinon  (probabilmente una saliera) ..." Thomas L. Heath, The Works of Archimedes
Si reputa che Archimede di Siracusa (Αρχιμήδης ο Συρακούσιος) (287-212 aC) sia stato il primo matematico a studiare le proprietà della curva denominata "Arbelos".  Il termine arbelos significa in greco "coltello del calzolaio", e questo termine è attribuito alla zona colorata di azzurro in figura, che assomiglia alla lama di un coltello usato dagli antichi calzolai.

"La parola greca: o (a) / rbhlos [ arbelos; di  genere  masch.] significa coltello del calzolaio (h è il simbolo utilizzato per eta).  Dalla stessa radice arb-abbiamo anche: h (a) rbu / lh [di genere fem. ]: un tipo di scarpe (mezzo-stivale; come il mezzo stivale del soldato).  Questa parola sopravvive nel greco moderno, ma nella sua forma dorica, cioè con la finale alfa (a) invece di eta (h): h (a) rbu / la" Antreas P. Hatzipolakis


immaginegreca

Un calzolaio con un  arbelos  che taglia la pelle per calzature

 (The Cambridge illustrated history of ancient Greece, a cura di Paul Cartledge, Cambridge University Press, 1998)

arbelos1 L’arbelos è l’area colorata di azzurro, nella figura precedente.  La posizione della tacca D è arbitraria, e può essere posizionata ovunque lungo il diametro AB.
La lunghezza della semicirconferenza di diametro AB  è  uguale alla somma delle lunghezze delle due semicirconferenze più piccole, rispettivamente di diametro AD e DB.
Se consideriamo la perpendicolare per D, che interseca la prima semicirconferenza nel punto C, vi è associato un cerchio azzurro, come  mostrato nella figura seguente, che ha la stessa area dell’arbelos.

arbelos2

arbelos3
I cerchi A1 e A2, iscritti nelle due parti dell’ arbelos ADC e CDB,  sono chiamati cerchi gemelli di Archimede e la loro area è la stessa.  Il  cerchio S, che racchiude i cerchi gemelli A1 e A2,  ha la stessa area dell’arbelos


arbelos4


Se consideriamo la tangente alle due semicirconferenze di diametro AB e BC in E ed F, allora i segmenti EF e BD sono della stessa lunghezza, poiché essi sono diametri di un cerchio avente come centro il punto di intersezione di EF e BD.


EF = BD

Dal punto B ed EF può essere costruito un cerchio che ha la stessa area dei due cerchi gemelli di Archimede. Quindi in realtà non ci sono solo 2, bensì 3 cerchi di Archimede.

***

Sulle proprietà dell'arbelos non è finita. Compatibimente con gli impegni, ve ne proporrò altre!



14 commenti:

  1. Un tema interessante quello delle curve celebri. Avevo intenzione di proporle ai miei alunni di terza. Questo post me ne dà l'input.


    Le applet java sono molto efficaci. L'argomento si presta anche come base per il colloquio d'esame per la sua connotazione di ampio respiro.


    Che cosa dire? Un grazie sincero.


    Buon week end

    Ruben

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  2. Di nulla, Ruben. Concordo sulla trasversalità di approccio al tema delle curve celebri.


    Salutoni e a presto.

    annarita

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  3. Che piacere passare da te, cara Annarita, non conoscevo l'arbelos.

    Grazie, buon lavoro. Ciao prof

    Enzo

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  4. Caro Enzo, lo so che tu apprezzi la matematica in tutte le sue forme.


    Un abbraccio

    annarita

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  5. Molto interessante. Sono un ammiratore di Archimede e ho letto con interesse la tua esposizione. complimenti. Mi chiedo se l'argomento non sia troppo complesso per una Terza media.

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  6. Ciao, professore. Benvenuto! Comprendo la tua perplessità. Ti rispondo che dipende dalla classe di riferimento e da quello che si fa e da come lo si fa. La mia è una classe di livello medio/alto con alcune punte veramente di diamante...ergo.

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  7. Interessante questa lezione delle curve celebri.

    Bellissimi i disegni. Il primo ricorda una di quelle strutture tensoattive che si utilizzano nelle mostre e fiere.

    Mi chiedo: la mezzaluna che uso in cucina e' anch' essa una curva celebre? Non vorrei si montasse i pomoli...

    Vale

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  8. Complimenti per la trattazione, temo che la mia terza attuale non sia in grado di scalare tali vette...

    Ciao, Daniele

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  9. E chi lo sa, Pier, se la tua mezzaluna è una curva celebre? Può darsi;)

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  10. Ciao, Daniele,...di Osmosi delle idee?


    Ci sono classi e classi...;) e si fa quel che si può.

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  11. Questo dimostra che la scienza non è solo razionalità pura ma anche fantasia e inventiva: è proprio una bella idea questa del coltello del ciabattino. Un caro saluto e tanti auguri per una serena Pasqua, Fabio

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  12. Proprio così, caro Fabio. Ricambio l'augurio di una Pasqua Serena a te e ai tuoi cari.


    Un abbraccio

    annarita

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  13. Mio nonno materno era un calzolaio e faceva scarpe su misura nel laboratorio di un negozio di scarpe di Caserta.
    Le faceva anche a noi della famiglia, dunque sono cresciuta tra gli arnesi del ciabattino e ricordo che quando il nonno tagliava le suole usava uno strano coltello.. Leggendo questo post ho rivisto mio nonno sempre curvo sullo scannetto del calzolaio e mi son ricordata non solo del coltello, ma di tutti gli attrezzi che usava e quando bagnava la pelle e di come la lavorava, prima di tagliarla a seconda la misura.
    Grazie a mio nonno tutta la famiglia abbiamo sempre posseduto scarpe su misura.Poi con la sua dipartita abbiamo finito di avere scarpe su misura.

    Tanti attrezzi di mio nonno, oggi li ha mio fratello.

    Grazie a questo tuo post mi hai fatto fare un salto all'inditro, un saltone veramente.

    Grazie ciao

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  14. Grazie a te, Rosaria per questo tuo interessante "amarcord".

    Un caro saluto.

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