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Cari ragazzi e cari lettori,
è arrivato il 14 maggio e con esso la 25° edizione del Carnevale della Matematica, che inaugura la sua terza annualità. E' anche il Carnevale di un giorno di mezza primavera che ricorda tanto la mezza estate shakespeareana...anche se non è il sogno di una notte, ma una confortante, seppur virtuale, realtà!
Il sogno, però, è intrigante...e allora continuiamo a sognare, discutendo di bellezza: la Bellezza della Matematica a cui voglio dedicare l'introduzione dell'odierno post carnevalesco.
Prima di perderci nella bellezza, desidero ringraziare, per aver contribuito alla diffusione del Carnevale della Matematica 25:
- Bruno Berselli, autore del bellissimo logo che campeggia in apertura del post. Bruno è un talento non solo in ambito artistico, ma anche in ambito matematico. Vi invito a leggere "Bruno Berselli e Matem@ticaMente su OEIS".
- VOCESCUOLA
- MADDHMATS!
- SCUOLA E DIDATTICA
- QUADERNONE BLU
Dicevamo della Bellezza della Matematica...
Perché parlare della bellezza della matematica? Per diversi motivi, in primis per la cattiva reputazione che essa ha sempre avuto tra le materie di insegnamento! La ragione di ciò è probabilmente da ricercarsi nel fatto che pochi, ahimé, sono capaci di rendere partecipi i “non specialisti”, e, peggio ancora, i ragazzi a scuola, del suo vero significato, della sua bellezza intrinseca.
Consiglio a tutti di leggere, se non lo avete già fatto, La bellezza della matematica di Serge Lang, Bollati Boringhieri; libro in cui l’autore si è prefisso l’arduo compito di far percepire il fascino della matematica, affrontando, a beneficio di un vastissimo e diversificato pubblico, problemi di matematica che hanno impegnato e impegnano tuttora matematici di professione.
Il libro riunisce i testi di tre conferenze tenute a Parigi al Palais de la Découverte. Gli argomenti affrontati sono sempre scelti tra quelli inclusi nei programmi scolastici tradizionali e resi comprensibili anche a un lettore non particolarmente preparato, grazie all'esposizione accattivante e vivace.
Riporto le considerazioni di alcuni grandi, riguardo alla bellezza della matematica.
Secondo Bertrand Russel, “La matematica, rettamente concepita, non possiede soltanto la verità, ma la suprema beltà, beltà fredda e austera, come quella della scultura, senza ricorsi alle debolezze della nostra natura, senza i fastosi ornamenti della pittura o della musica, ma d’una purezza sublime e capace d’una severa perfezione, quale soltanto l’arte più elevata può raggiungere”.
Secondo Hardy, la maggiore attrattiva della matematica sta nella sua bellezza, paragonabile alle forme create da un pittore o da un poeta. Sebbene si dichiari incapace di definirla, Hardy riesce comunque a individuare alcune caratteristiche che rendono un teorema "bello": l'imprevedibilità, l'inevitabilità e l'economia.
Cesare Pavese affermava: “Sappiamo che il più sicuro e rapido modo per stupirci [qualunque altro metodo è più lento] è di fissare imperterriti sempre lo stesso oggetto. Un bel momento questo oggetto ci sembrerà, miracoloso, di non averlo visto mai”. Con ciò intendeva dire che la bellezza è esperienza di novità! Spesso sentiamo che se non avvertiamo novità la vita non è bella. C’è correlazione stretta tra l’esperienza di novità e bellezza.
La bellezza è legata alla novità nel senso che mostra quanto può essere nuova ogni cosa preesistente. La bellezza è il volto della realtà.
Queste affermazioni forse non convinceranno gli scettici che continueranno a chiedersi che cosa sia la matematica; domanda che ha tormentato, in realtà, matematici, logici e filosofi al punto che oggi hanno quasi rinunciato a definirla.
Bertrand Russel diceva che la matematica è la scienza in cui non si sa di cosa parli e neppure se cosa dice sia vero. Forse non aveva torto, però di cose da dire la matematica ne ha tante, così tante che occorrerebbe considerarle una a d una per rendere loro giustizia! Impresa impossibile in questa introduzione, perciò vi parlerò di un caso noto, il caso del falco pellegrino, sperando di rendere il senso di ciò che voglio intendere.
Gli ornitologi sanno che il falco pellegrino attacca le prede seguendo una traiettoria a spirale. Gli studiosi si sono posti vari interrogativi:
- Perché il rapace piomba giù in tal modo, raggiungendo velocità elevatissime, oltre i 300 km/h?
- Quale velocità potrebbe raggiungere, se andasse in linea retta?
- Perché procede a spirale?
Si sono, inoltre, chiesti se la traiettoria spiraliforme fosse casuale o se fosse sempre la stessa spirale, potendosi nel secondo caso ritrovare una regolarità. E così è stato descritto con precisione come tutti i falchi pellegrini attacchino la preda sempre nello stesso modo.
Per un caso fortunato, quella curva era già stata studiata dai matematici. Secoli prima, nel 1600, un “tal” Cartesio, senza sapere nulla dei falchi pellegrini, aveva studiato la spirale logaritmica, scoprendo che è una curva equiangolare: ovvero l’angolo compreso tra la retta tangente in un punto P alla traiettoria e la retta congiungente il punto P al centro (alla preda del falco), detta polare, è un angolo costante.
L’angolo caratteristico della traiettoria, tracciata dal falco pellegrino, è di 40°.
Per l’ornitologo è stata un’illuminazione, sapendo già che il falco pellegrino ha una divergenza oculare di 40°. In parole povere, il falco pellegrino, in assetto normale di volo, non vede davanti a sé bensì lateralmente, con tale angolatura.
Ciò vuol dire che il rapace, per puntare dritto alla preda e planare in linea retta su di essa, dovrebbe fissarla con un occhio, storcendo la testa e abbandonando l’altro occhio. Con tale posizione innaturale e l’attrito dovuto al collo storto, non riuscirebbe sicuramente a piombare velocemente sul suo obiettivo. Invece, fissando con lo stesso occhio la preda, e seguendo la traiettoria a spirale logaritmica, il falco continua a vedere la preda, conservando un perfetto assetto di volo!
Tutto ciò è spiegato dalla matematica! Non è qualcosa di emozionante?
Ricordiamo che, secondo Pavese, la bellezza è sempre un’esperienza di novità: l’oggetto fissato rivela il suo volto, e l’uomo, che osserva, resta stupito, facendo esperienza di novità e, quindi, di bellezza.
La matematica è l’arte di spiegare in un certo modo perché le cose stanno procedendo proprio in quel modo. Essa è in grado di spiegare certi oggetti della realtà, di far “vedere” il loro perché; aiuta insomma a comprenderli, non esaurendoli, ma mettendo nelle condizioni di riconoscere alcuni aspetti identificativi di quegli oggetti.
La matematica non spiega tutta la realtà, però spiega una cosa vera della realtà.
Comprendere perché il falco pellegrino attacca in quel modo, è un particolare che non esaurisce quell’esperienza, ma appartiene alla realtà del falco pellegrino.
La matematica aiuta a spiegare perché certe cose stanno in un certo modo e perciò aiuta a rivelare il loro vero volto, con ciò consentendo di fare esperienza di matematica e di bellezza.
Il perché di molte cose è nella realtà degli oggetti, ma non è immediatamente evidente. Solo dopo averlo visto, si riconosce che c’è sempre stato.
Nell’osservare la modalità di attacco del falco pellegrino, non vediamo la spirale logaritmica, ma, una volta scoperta la struttura matematica della traiettoria, allora comprendiamo meglio cosa sta facendo il falco pellegrino.
Un altro elemento della bellezza insita nella matematica è che essa tocca il nostro desiderio di infinito. Pensiamo, ad esempio, al teorema sull’infinità dei numeri primi, uno dei più bei teoremi esistenti. Se i numeri primi fossero stati 4.964.898.965, nessuno avrebbe mai ricordato questo teorema, ma, in virtù dell'affermata infinità, ricordiamo questo teorema per tutta la vita.
Il discorso sarebbe ancora lungo, ma mi fermo perché so che siete impazienti di proseguire!
Concludo questa parziale riflessione sulla bellezza della matematica con il sommo poeta.
Dante, Il Paradiso, Canto 28:
E déi saper che tutti hanno diletto
quando la sua veduta si profonda
nel Vero si che si quieta ogn’ intelletto.
Quinci si può vedere come si fonda
l’esser beato nell’atto che vede
non in quel ch’ama, che poscia seconda;
e del vedere è misura mercede
che grazia partorisce e buona voglia:
così di grado in grado si procede.
E, adesso, avanti con i contributi!
1. BLOGGHETTO
Il simpatico Flavio Ubaldini propone "Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 18 - il basso medioevo in Europa: Fibonacci"
Di seguito l'incipit dell'articolo:
Abbiamo visto che i filosofi scolastici estesero la logica formale di Aristotele con una particolare attenzione alle modalità, e cioè ai concetti di possibilità e necessità.
Abbiamo inoltre citato Guglielmo di Ockham come uno dei nomi più rappresentativi tra i filosofi scolastici.
Come afferma Boyer, ai tempi di Gerberto (940 circa - 1003), la cultura musulmana aveva raggiunto il suo apice, ma i dotti latini contemporanei non sarebbero stati in grado di apprezzare i trattati arabi se ne fossero venuti a conoscenza.
All'inizio del XII secolo però la situazione cominciò a cambiare in una direzione che ricordava il cambiamento verificatosi nella cultura araba nel IX secolo.
2. DIECI ALLA MENO NOVE
L'ottimo Aldo Ficara ci parla di "Ellissi, iperboli, circonferenze e parabole: oggi le coniche" che non sono le comiche, ma sono comunque divertenti!
3. MADDMATHS
Roberto Natalini, a nome della Redazione del favoloso MADDMATHS!, ci delizia con due contributi:
- Storia di una congettura
Dal 1904, la congettura di Poincaré non ha mai trovato una conferma fino alla comparsa, sulla scena matematica internazionale, di un bizzarro scienziato russo che non crede nel denaro e che dovrà decidere se accettare il milione di dollari di premio del Clay Institute.
Storia di una congettura
Lo scorso 18 marzo 2010 si è compiuto un importante atto di una storia che negli ultimi anni ha appassionato la comunità matematica. L'istituto Clay di Boston ha deciso di attribuire al matematico russo Grigory Perelman il premio di un milione di dollari per la dimostrazione della congettura di Poincaré, un fondamentale problema di topologia proposto nel 1904 e rimasto aperto da allora.
- Poincaré: prodigi e arance
E’ ora di rivelare al mondo i retroscena della storia della congettura di Poincaré
Poincaré: prodigi e arance
Jules Henri Poincaré (Nancy, 29 aprile 1854 – Parigi, 17 luglio 1912) è stato un matematico, un fisico teorico e un filosofo naturale francese. Fu uomo estremamente attivo, genio prodigioso e prolifico in svariati settori della scienza e della filosofia. La sua attività scientifica, veramente prodigiosa, è testimoniata da più di 30 volumi e circa 500 memorie prodigiose, sparse in tutti i periodici scientifici più prodigiosi del mondo.
4. MATEMATICAMENTE
Antonio Bernardo, autore del glorioso portale, segnala Il progetto Matematica C3 per un Manuale di Matematica per la scuola secondaria di 2° grado scritto in forma collaborativa e con licenza Creative Commons vuole sperimentare un nuovo modo di produrre manuali scolastici e un nuovo modo di fruirli.
5. IN PUNTA DI PIEDI
La generosa M. Rosaria Di Lella ci propone "Renato Caccioppoli - Un Matematico Ribelle". La partecipazione di Rosaria è un mio personale punto di orgoglio perché questa gentile e carissima amica non è quel che si dice propriamente un'amante della Matematica. Ciò nonostante ha accettato la sfida di "trattare" un personaggio non certo facile come il geniale e sregolato Caccioppoli...e il risultato giudicatelo da voi!
6. SOFFIA IL VENTO DELL'EST
L'esploratore di paesi esotici Enrico Bo ci parla di una certa "Lettera dalla Kampuchea 4: Diamo i numeri". Che cosa ci riserverà?
Direi che oggi dobbiamo buttarci nel mercato (psar in cambogiano) , intanto perchè come sempre è uno dei posti più interessanti per vedere la vita di un paese e poi per l'innegabile divertimento che procura la scelta e la gioia di scoprire qualcosa di irrinunciabilmente inutile da portarsi a casa. In realtà tutti sappiamo che la parte più divertente sarà rappresentata dalla fase di contrattazione, che aumenta il piacere del contatto e della conoscenza maggiore della gente con cui veniamo in relazione. Questo sarà di spunto al tema di oggi.
7. KNEDLIKY
Il gentilissimo Palmiro Poltronieri ci fa conoscere la relazione tra numeri e biologia nell'articolo "Numeri in Biologia", informandoci sul fatto che in biologia è importante la precisione delle misurazioni, la ripetibilità dei dati e l'aplicazione di operazioni statistiche per avvalorare il significato dei risultati.
I numeri sono alla base dei dati biologici, ma anche della comprensione dei dati. Grazie alla matematica statistica è possibile capire meglio quello che ci viene comunicato dai media. Nel post vengono fatti esempi di come mettere in evidenza un dato rispetto ad un gruppo di popolazione.
8. COGITO ERGO SUM
Il sagace toscanaccio Paolo ci presenta una congettura sui numeri primi "Primi per caso....la congettura del Pasquini".
In matematica, un numero primo (in breve anche primo) è un numero naturale maggiore di 1 che sia divisibile solamente per 1 e per sé stesso; al contrario, un numero maggiore di 1 che abbia più di due divisori è detto composto. Ad esempio, 2, 3 e 5 sono primi, mentre 4 e 6 non lo sono perché sono divisibili rispettivamente anche per 2 e per 2 e 3. L'unico numero pari primo è 2, in quanto tutti gli altri sono divisibili per 2.
Ciò premesso:
Esiste una legge che ci faccia sapere quali sono i numeri primi, ad esempio, tra 400 e 800?
La risposta è no. Non possiamo conoscere a priori la distribuzione dei numeri primi lungo l'asse X.
9. POPINGA
L'originale e creativo Marco Fulvio Barozzi ci intrattiene con due appetitosi contributi:
Ten Weary, Footsore Travellers (Dieci stanchi viandanti)- Un paradosso in versi, di autore anonimo, comparso nell’aprile del 1889, che presento con il mio adattamento italiano. La poesia nasconde un grosso errore, che i lettori sapranno trovare.
La matematica di FoxTrot- FoxTrot è un fumetto americano di Bill Amend, che è laureato in fisica e trasferisce spesso le sue conoscenze matematiche nelle storie che disegna, soprattutto quelle con protagonista Jason, il piccolo nerd della famiglia Fox.
10. BOLOGNA QUASI
Bruno Berselli, artista, matematico non accademico di talento (Oeis docet!), e raffinato narratore, ci incanta con una delicatissima storia "IL NUMERO".
11. NON SOLO MATEMATICA
Mauro Piadi, bravissimo matematico, scrittore, e poeta, ci offre la biografia di "Carl Friedrich Gauss", ma non la solita biografia perché questa di Mauretto è pepata per numerosi e intriganti aneddoti, che troverete irresistibili!
12. GLI STUDENTI DI OGGI
Roberto Zanasi, matematico doc, invia, per il nostro piacere, una consistente lista di link, riguardante l'algoritmo RSA. Guardate un po' che cosa è riuscito a partorire! Impressionante...anche la sudata (piacevole) per inserire i link manualmente!
- Esercizi - Calcoli con i moduli: come fare conti apparentemente impossibili
- Un piccolo teorema - Il piccolo teorema di Fermat
- Un teorema un po' più grande- Il teorema di Eulero (uno dei tanti, questo riguarda l'aritmetica modulare)
- La funzione toziente - La funzione toziente, che compare nel teorema di Eulero
- Il meraviglioso mondo dei numeri primi- Fattorizzare un numero non è semplice
- Test di primalità - Come stabilire (con probabilità vicina a 1 quanto si vuole) se un numero è primo senza fattorizzarlo
- PRIMES is in P- Esistono test di primalità deterministici
- L'algoritmo di Euclide- Come funziona l'algoritmo di Euclide per il calcolo del M.C.D.
- Lucchetti pubblici e chiavi private- La crittografia a chiave pubblica
- RSA- Il sistema RSA
- Perché Eva non riesce a decrittare- Su cosa si basa la sicurezza del sistema RSA
- La radice discreta - Siamo proprio sicuri che RSA sia sicuro?
- modpow- Un metodo per calcolare velocemente potenze gigantesche
nell'aritmetica modulare
- THE MAGIC WORDS ARE SQUEAMISH OSSIFRAGE- Uno dei primi cifrari RSA forzati (e la storia di come è stato forzato)
- Zero Knowledge- Conoscenza zero: come faccio a dimostrare di sapere una cosa senza dirla?
- Perché non si può giocare a mental poker- La dimostrazione di impossibilità della realizzazione del mental poker
- Come si può giocare a mental poker- La presentazione di un algoritmo per giocare a mental poker (sì, in
contraddizione con l'affermazione precedente, ma c'è un perché...)
Arf, arf, arf! Gliel'ho fatta!
13. LA SCUOLA DEL SAPERE
Rosa Maria Mistretta ci presenta "Il Teorema dei Quattro Colori: il rinnovamento del concetto di dimostrazione matematica", introducendo il contributo come segue.
"Le dimostrazioni matematiche non sempre sono rapide e per alcune la complessità è tale da mettere a dura prova le menti più creative e i computer più sofisticati. Il problema ora proposto è apparentemente semplice, ma in realtà è un vero rompicapo che ha afflitto gli studiosi per più di cento anni.
Si tratta del Teorema dei Quattro Colori, dove si vuole vedere se è possibile colorare i Paesi di una carta geografica politica con quattro colori in modo che due paesi con un confine in comune siano sempre di un colore diverso. Elementare, potrebbe sembrare! Occorrono solo quattro pennarelli di colori differenti e via! Il problema è risolto. Invece..."
14. MATEM@TICAMENTE
Asia e Letizia N. due mie alunne di 1°B hanno voluto partecipare all'evento con un breve contributo "LE FRAZIONI". Grazie, piccole!
15. MARIA INTAGLIATA
La cara collega Maria Intagliata presenta "Buon compleanno, Daniel!". L'articolo, che è un coinvolgente omaggio al ricordo del giovane e compianto matematico Daniel "Danny" Lewin, scomparso prematuramente all'età di 31 anni, comprende una bellissima lirica di Maria, "Passione", a conferma di come Matematica e Poesia vadano a braccetto.
16. LIM E CDD
Un altro caro collega Giusepe Auletta partecipa con alcuni contributi a risorse interessanti.
Il problema di matematica:Troisi spiega qual è il vero problema all'interno dei problemi di matematica.
Il piccolo Pitagora:è possibile eseguire, partendo dagli "Insiemi", una serie di esercizi, scaricabili in formato PDFe utili per l'apprendimento elementare dell'aritmetica
Girandola delle tabelline: brevetto per utilizzare od imparare le tabelline
Le tabelline:una clip tratta dal film "Nuovo Cinema Paradiso" di Tornatore
UbiMath: eserciziari di matematica, test e attività online e per la LIM
17. CRESCERE CREATIVAMENTE
L'infaticabile Maestra Rosalba ci fa vedere come "L'origine dei numeri spiegata ai bambini: dalle tacche ai primi simboli" possa essere un'occasione per svolgere una didattica coinvolgente e per nulla scontata, assolutamente al servizio dell'apprendimento dei piccoli alunni. Come? Leggete il post, a cominciare dall'intrigante incipit!
"Vi siete mai chiesti cari bambini, da quanto tempo l'uomo ha cominciato a contare e perchè?
The Ishango Bone
Queste sono due domande difficili al quale da tempo gli studiosi hanno cercato di trovare una risposta. Come? Cercando nelle tracce del passato.
L'avventura del contare ha inizio nella lontana preistoria come ci mostra l'immagine."
18. VOCE SCUOLA
Il caro collega Michele Maffucci propone "Realizziamo una calcolatrice che risolve equazioni di 2° grado con Lego Mindstorms NXT" un articolo di didattica concreta ed efficace, in cui spiega come realizzare una calcolatrice con i Lego Mindstorms NXT per la risoluzione di equazioni di 2° grado: un modo diverso per spiegare in un unico istante matematica, informatica ed elettronica. Vi pare poco?
19. SPLASH RAGAZZI
Il Carnevale della Matematica non sarebbe stato lo stesso senza Maestra Renata e i suoi lavori con GeoGebra! Renata, che è un vero drago (beh, una signora draghessa...) nell'uso di questo magico software, ci lascia a bocca aperta con un "Caleidoscopio con GeoGebra".
20. ASTRONOMICAMENTIS
Il carissimo Corrado Ruscica ci invia cinque affascinanti contributi con cui ci ammalia, toccando argomenti che spaziano dalla gravità alle lenti gravitazionali, alla relatività, alll'Universo,...e in cui ci sono tanti numeri grandi.
Si tratta di un esperimento sul redshift gravitazionale le cui misure sono state ottenute con una accuratezza migliore di una parte su cento milioni.
Misurare la curvatura dello spaziotempo non è facile e per far questo gli scienziati hanno utilizzato un metodo di interferometria che si basa sull'utilizzo di un insieme di radiotelescopi continental
Una vera e propria corsa nello spazio tra raggi gamma di diversa lunghezza d'onda si è consumata dopo l'esplosione di una stella distante 7,3 miliardi di anni-luce. Gli astronomi hanno dichiarato che questo evento è stato di fondamentale importanza per verificare uno dei principi fondamentali della teoria della relatività speciale secondo la quale la velocità della luce è costante e indipendente dalla sua lunghezza d'onda, o dalla sua energia e/o dalla direzione.
Gli astronomi hanno utilizzato da sempre il metodo della lente gravitazionale per determinare la dimensione delle stelle, cercare esopianeti e studiare la distribuzione della materia scura nelle galassie distanti. Da un po' di anni, la lente gravitazionale viene utilizzata per stimare l'età e la dimensione dell'Universo. I ricercatori affermano che il metodo fornisce delle misure accurate che ci permettono di conoscere quanto rapidamente si sta espandendo lo spazio. Le misure forniscono un valore per la costante di Hubble che conferma la sua età di 13,7 miliardi di anni, con un errore di 170 milioni di anni. Queste misure confermano inoltre l'esistenza di una componente misteriosa, l'energia scura, che sarebbe responsabile dell'espansione accelerata dell'Universo.
Sebbene siano state fatte tante scoperte che riguardano la storia dell'Universo negli ultimi 13,7 miliardi di anni tuttavia molti misteri rimangono ancora senza risposte. Ad esempio, non sappiamo cosa è successo esattamente durante il Big-Bang o quali sono stati i processi fisici che hanno portato alla formazione delle strutture che vediamo oggi come stelle, galassie o ammass