venerdì 3 dicembre 2010

L'Idea Del Piccolo Gauss "Scoperta" Dai Ragazzi

Ricordate che, in chiusura del post del 27/11, vi invitavo a rimanere sintonizzati perché c'era ancora altro su cui riflettere? Ebbene, oggi con i primini abbiamo ripreso il discorso sulla somma dei primi n numeri naturali dispari e, per chiarire meglio, abbiamo costruito la seguente tabella.



N

Somma dei primi n numeri dispari


2

1 + 3

4

3

(1 + 3) + 5

9

4

(1 + 3 + 5) + 7

16

5

(1 + 3 + 5 + 7) + 9

25

6

(1 + 3 + 5 + 7 + 9) + 11

36

7

(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11) + 13

49

8

(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) + 15

64

9

(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15) + 17

81

10

(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17) + 19

100

11

(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19) + 21

121

12

(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21) + 23

144

13

(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23) + 25

169

.....



n

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25......2n+1




A questo punto, ho chiesto ai ragazzi se notavano comportamenti particolari nelle sequenze numeriche in tabella.

Dopo alcuni minuti di silenziosa riflessione, Leonardo notava che, nella quinta sequenza, la somma dei termini equidistanti da 5 dava 10:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

1 + 9 = 10

3 + 7 = 10

Immediatamente, molti notavano il medesimo comportamento nelle sequenze 7, 9, 11, 13.


1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49

1 + 13 = 14

3 + 11 = 14

5 + 9 = 14


1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81

1 + 17 = 18

3 + 15 = 18

5 + 13 = 18

7 + 11 = 18


1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 = 121

1 + 21 = 22

3 + 19 = 22

5 + 17 = 22

7 + 15 = 22

9 + 13 = 22


1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 = 169


1 + 25 = 26

3 + 23 = 26

5 + 21 = 26

7 + 19 = 26

9 + 17 = 26

11 + 15 = 26


Bravissimi, ragazzi!

Siamo giunti alla conclusione che nelle successioni di n numeri dispari (aventi una quantità dispari di termini) la somma dei termini equidistanti dal termine centrale è costante! (Idea del piccolo Gauss)

Riccardo notava, inoltre, che le somme delle coppie numeriche sono esattamente il doppio del numero centrale della successione.

Non male, ragazzi, non male!

L'ora è finita,...ma non le osservazioni che continueranno ancora. I ragazzi dovranno perfezionare quanto svolto in classe e trovare altro. I loro risultati saranno pubblicati appena pronti.

Ragazzi mi state dando grandi soddisfazioni...

Quel monello di Riccardo mi "spara"  all'improvviso: "Prof. ricorda la scommessa di inizio d'anno?"

Io: "Quale?"

R: "Di riuscire a farci piacere la matematica, alla fine dell'anno scolastico!"

Io: "Sì, ricordo!"

R: "Beh, la scommessa l'ha già vinta!"


Un po' di commozione...la mia. Non convinta chiedo: "Siete d'accordo tutti con Riccardo?". Le venti testoline fanno un cenno di assenso.

Io: "Robert, sei d'accordo pure tu? Ma la matematica non ti faceva venire fame tanto ti riusciva insopportabile?"

Robert:"Adesso non più. Mi piace (la matematica) così e così".

Io:"Beh, siamo sulla strada giusta!"

A lunedì, ragazzi.



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14 commenti:

  1. Mi sono commossa a leggere questo post
    La commozione non viene dai numeri..
    ma dalle parole dei ragazzi e dalla tua
    commozione Annarita.
    Auguro a loro e a te 
    un anno ricco di soddisfazioni.
    Come si dice..
    =chi inizia bene sta a metà dell'opera=
    e qui è iniziato
    non bene ma benessimo!
    A Lunedi ragazzi 
    Un abbraccio a te Annarita.
     

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  2. Grazie, Rosaria. I mieie primini sono in gamba e sono sicura che diventeranno ancora più bravi.

    Un abbraccio.

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  3. Questo racconto a puntate sulla somma dei numeri primi (n) numeri naturali dispari, mi sta davvero appassionando.

    Ho provato ad immaginarmi nella tua classe, fermo a guardare la tabella insieme ai tuoi ragazzi:

    " Ho capito!... Ma Leonardo mi ha fregato, è arrivato prima di me.
    Bravissimo Leonardo (Gauss sarebbe stato contento)

    OK! Adesso tocca a me scoprire qualche altra cosa, e invece no!
    Ecco che arriva Riccardo con la sua somma delle coppie numeriche uguale al doppio del numero centrale. Bravissimo anche Riccardo

    Ma prof.... Così non vale, questi primini sono troppo bravi !!!
    Anche io avevo il braccio alzato... solo che questi sono troppo veloci ...
    "

    Eh! ...   Mi piacerebbe davvero essere lì con voi ragazzi ed assistere a queste bellissime lezioni.
    Vuol dire che mi accontenterò dei racconti che la vostra prof così gentilmente ci "elargisce" e continuerò ad immaginare lo stupendo clima che si crea durante le lezioni della mitica prof Annarita.

    Ma quanto ci piace questa matematica ?...

    Un salutone
    Marco

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  4. Ma quanto ci piace questa matematica ?

    Beh, ai primini sembra abbastanza...per fortuna!

    Grazie di tutto, Marco.

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  5. bellisimi ancora ma marco te scrivi sempre troppo ci metto 2 minuti solo a leggere i tuoi commenti

    un salutone stefano p

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  6. Lo spero anch'io, caro Aldo.

    Grazie del supporto e dell'incoraggiamento.

    Un salutone.

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  7. Hai proprio ragione, carissimo Stefano! Il nostro mitico Marco è un grande chiacchierone...ma lui è adorabile e le sue chiacchiere sono straordinariamente sensate...e tu e i tuoi compagnetti siete BRAVISSIMIIIII!!!!!!!!!!!
    Un bacione da una  prof. di matematica! Un abbraccione alla vostra bellissima e bravissima Prof. 
    maria I.

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  8. Troppo buona, Maria, troppo buona con me.

    Ben ritrovata.

    Un abbraccio.

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  9. prof è bellisssssssimo lei è mitica. un abbraccio da beatrice1b

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  10. ciao prof! sono alessandro rubicondo avevamo notato altre cose oltre a qelle che ha scritto lei

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  11. Bravissimi questi ragazzi. A loro dedico un pensiero affettuoso e... il post per il Carnevale della Matematica che ho appena realizzato. Un abbraccio, Fabio

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  12. grazie di tutto marco e anche a te prof

    stefano p

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  13. Sono i momenti più belli del nostro lavoro...

    Le tue lezioni di matematica sono davvero spettacolari, riesci a ottenere tantissimo da semplici osservazioni di sequenze. Io leggo ed apprendo, cara Annarita, raccontaci ancora di queste pillole che fanno bene al cuore!

    Elena

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  14. @ Stefano:  No, carissimo e bravissimo Stefano, va benissimo solo Maria e puoi darmi tranquillamente del tu, che mi fa sentire...più giovane!
    Un bacione!

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