sabato 23 aprile 2011

Problema Dell'Asciugacapelli: La Soluzione

Pubblico con ritardo la soluzione del problema contenuto nel post "Fori Di Ventilazione Di Un Asciugacapelli E Successioni Numeriche", risolto dai miei primini.

Riporto per comodità di consultazione il testo del problema e l'immagine di riferimento.



problema dell'asciugacapelli
L'immagine mostra i fori di ventilazione di un asciugacapelli.



Osservando bene l'immagine, constaterai che ci sono 9 fori nel primo cerchio e 12 in quello successivo.

Come continua lo schema dei fori nei cerchi successivi?



Prova a dare una risposta prima di contare i fori nell'immagine.

Prova a determinare il numero totale dei fori senza contarli.



Puoi  ricorrere a schemi e altre rappresentazioni grafiche, ma non devi contare i fori.

I più grandi posso provare a determinare la funzione generatrice della successione numerica, che permette il calcolo di qualsiasi n-esimo termine della serie.

 



SOLUZIONE
 



I ragazzi hanno realizzato  dei disegni con l'immagine dell'asciugacapelli, su cui hanno elaborato il loro ragionamento.

Riporto per tutti il disegno di Chiara T.


disegno di chiara t



I ragazzi hanno individuato 8 cerchi concentrici, escludendo il nono che è diverso dai precedenti, e riconosciuto  tre settori circolari ampi 120° ciascuno. Nel disegno Chiara ha colorato in rosso i tre raggi che delimitano i tre settori.

Alla domanda: "Come continua lo schema dei fori nei cerchi successivi?"

I ragazzi, considerato che il primo cerchio contiene 9 fori e il secondo 12, sono giunti facilmente alla conclusione che in ogni cerchio il numero dei fori aumenta di tre rispetto al precedente perchè l'asciugacapelli è suddiviso in tre settori, in ciascuno dei quali il numero di fori aumenta di 1. A questi si aggiungono i tre fori fissi rossi, uno per ciscuno dei tre raggi.

La successione individuata è pertanto la seguente:



9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30
 



Per determinare il numero totale dei fori, hanno sommato i fori degli 8 cerchi, ottenendo 156.

Leonardo ha calcolato il numero totale dei fori, risolvendo un'espressione organizzata da lui:

9 x 8 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) x 3 =

72 + 28 x 3 =

72 + 84 = 156



Questo il suo ragionamento:

8 sono i cerchi. Il primo cerchio contiene 3 fori rossi + sei (due per ciascun settore), in tutto 9 fori. Questi 9 fori li ritroviamo sugli otto cerchi, da cui 9 x 8. Sui  7 cerchi successivi al primo, il numero dei fori aumenta di uno per ciascuno dei 3 settori e tale numero, in totale, deve essere sommato a 9 x 8.

Beh, penso che possiamo accettare il suo ragionamento!

I ragazzi si sono spinti sino a formalizzare la relazione per determinare il termine n-esimo della successione, trovando:



a(n) = 3 + 3 x (n + 1)
 



dove n è il numero del cerchio all'interno della successione.

La relazione funziona! Bravi ragazzi!

Infatti

a(1)= 3 + 3 x ( 1 + 1)= 9
.
.
a(4) = 3 + 3 x (4 + 1) = 18


ecc.

Riporto di seguito, in formato pdf,  il contributo del nostro amico Marco (2° liceo scientifico).

Consultate e scaricate il file pdf da Google Docs.


Marco ha anche elaborato uno schema grafico della successione, con GeoGebra.

Cliccare per avviare l'applet.

 

4 commenti:

  1. Aspettavo la soluzione. Finalmente! Direi che i ragazzi sono stati bravi. Molto interessante anche il contributo di Marco.

    Vedrò di proporre il problema ai miei alunni delle tre classi.

    Passerò a farti gli auguri domani.

    Un salutone.
    Arte.

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  2. Un caro saluto, Arte. A domani

    annarita

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  3. Volevo fare i complimenti a tutti i tuoi ragazzi per essersi cimentati nella risoluzione del problema.
    Non era semplicissimo, ma da quello che tu ci dici i ragazzi sono stati davvero molto bravi.
    Faccio i complimenti a Chiara T. per il suo bel disegno e per la chiarezza con cui lo ha presentato.
    Riguardo al ragionamento di Leonardo ed all'espressione da lui organizzata, devo dire che non fa assolutamente una piega; bravissimo Leonardo.
    Non mi resta che che salutare tutti
    Marco


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  4. Caro Marco, ti ringrazio molto per avere espresso il tuo apprezzamneto circa il lavoro dei ragazzi. Ne hanno bisogno perché, ultimamente, stanno attraversando un periodo un po' sotto tono.

    Un salutone.

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