Matematicamente

sabato 15 agosto 2015

Tre Rettangoli Aurei In Un Icosaedro Regolare

Ragazzi, con questo post approfondiremo la conoscenza dell'icosaedro regolare, uno dei cinque solidi platonici che già conoscete.
Sapete già che questo particolare poliedro regolare è formato da 20 triangoli equilateri congruenti, ha inoltre 30 spigoli, ovviamente congruenti, e 12 vertici.

Non sapete, invece, che i 12 vertici dell'icosaedro regolare possono essere ottenuti intersecando tre rettangoli aurei reciprocamente ortogonali.

Ma vediamo prima che cos'è un rettangolo aureo.

In geometria, un rettangolo aureo è un rettangolo le cui lunghezze dei lati sono tra di essi nel rapporto aureo 1: (1 + sqrt (5))/2, cioè 1: φ (la lettera greca phi), dove φ vale approssimativamente 1.618.

Nella figura (a + b) / a = a/ b = 1, 618 = φ


Rettangolo aureo


Un rettangolo aureo può essere costruito con soli riga e compasso, in quattro semplici passaggi:

1. costruire un quadrato.
2. Tracciare una linea dal punto medio di un lato del quadrato ad un vertice opposto.
3. Usare quella linea come il raggio per disegnare un arco, che definisce l'altezza del rettangolo.

4. Completare il rettangolo aureo.

Nella costruzione, il quadrato è delineato in rosso, le dimensioni risultanti sono nel rapporto aureo.



Consideriamo, adesso, tre rettangoli aurei ed intersechiamoli ortogonalmente, come nella figura seguente.



Unendo i vertici liberi (che sono 12) dei tre rettangoli aurei con dei segmenti, si otterranno i 30 spigoli, e i 20 triangoli congruenti di un icosaedro regolare.

Nel widget seguente, che presenta un mio post su G+, si può osservare una gif animata riguardante la costruzione prima descritta.



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Le immagini sono prese da Wikipedia en.

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