Matematicamente

martedì 21 maggio 2013

Congettura Dei Numeri Primi Gemelli: Svolta Verso La Sua Comprensione

Crivello di Eratostene. Fonte: Wikimedia Commons.
Il 17 aprile scorso arrivava nella casella di posta degli Annals of Mathematics un documento scritto da un matematico praticamente sconosciuto agli esperti nel suo campo, docente presso l'Università del New Hampshire di nome Yitang Zhang. Nel documento veniva indicato un importante progresso, addirittura una svolta, nella comprensione di uno dei più antichi problemi della matematica, la congettura dei numeri primi gemelli, proposta per la prima volta da Euclide nel 300 a.C.

Naturalmente, la notizia ha avuto una grande eco all'interno della comunità matematica: un risultato eccezionale, conseguito in solitudine da un ricercatore il cui talento era stato trascurato a tal punto che, dopo il conseguimento del dottorato nel 1992, aveva trovato difficoltà ad ottenere un lavoro accademico e che aveva  lavorato per diversi anni come ragioniere anche in un negozio di panini della metropolitana! La cosa non mi stupisce affatto. Di tali situazioni è piena la letteratura...non solo di casa nostra.
Zhang
Zhang ha presentato la sua ricerca Bounded gaps between primes”, il 13 maggio alla Harvard University di Cambridge, Massachusetts, dove è stato invitato in fretta e furia a tenere una conferenza, e il fatto che il lavoro sembra utilizzare tecniche matematiche standard ha portato alcuni a chiedersi se Zhang possa essere davvero riuscito dove altri hanno fallito.
Il documento non è ancora disponibile al pubblico, ma, secondo le notizie diffuse, sembra che sia tutto a posto.

Ma vediamo di cosa si tratta! I numeri primi sono numeri affascinanti su cui si è focalizzato lo studio di molti matematici nel corso degli anni. Come si sa, essi sono quei numeri divisibili soltanto per se stessi e per 1, e sono tutti dispari fatta eccezione per il più piccolo di essi, il 2.


Considerando p1, p2, ... numeri primi in ordine crescente, sappiamo che tale elenco è un infinito numerabile (L’insieme infinito dei numeri interi è il primo livello di infinito, definito da Cantor ‘aleph-zero’, o Infinito Numerabile). Un intervallo tra numeri primi è rappresentato da un intero pn +1- pn. Il Teorema dei numeri primi afferma che pn +1- pn è circa il ln(n) per n che tende all'infinito.

Veniamo ai numeri primi gemelli, definiti come due numeri primi che differiscono tra loro di 2. Alcuni esempi di coppie di primi gemelli sono (5 e 7), (11 e 13), (41 e 43), (821 e 823).

La congettura dei numeri primi gemelli, che costituisce da anni uno dei più grandi problemi aperti della Teoria dei numeri, afferma che:

lim inf(pn +1- pn) = 2
n → ∞
vale a dire che ci sono infinite coppie di numeri primi gemelli che differiscono soltanto di 2 unità.

Una generalizzazione della citata congettura, attribuita ad Alphonse de Polignac, afferma che, per ogni numero intero positivo k, esistono infinite coppie di numeri primi che differiscono di 2k. Il caso k = 1 è la congettura dei primi gemelli.

Vi è anche una versione più forte, la congettura di Hardy-Littlewood, che postula una legge sulla distribuzione dei primi gemelli analoga al teorema dei numeri primi.


La  domanda fondamentale è se esiste una costante C in modo che pn +1- pn<C per un numero infinito di volte. Ora, per la prima volta, sappiamo che la risposta è affermativa...ovvero quando C = 7 × 10^7.

Il 13 maggio 2013, Yitang  Zhang ha annunciato, infatti, la sua prova in base alla quale risulta che ci sono infinite coppie di numeri primi distanti l'uno dall'altro meno di 70 milioni, una distanza che secondo il ricercatore può essere ulteriormente ridotta.

Certamente il valore di 70 milioni è molto lontano dal 2 della Congettura dei numeri primi gemelli e per alcuni matematici come Daniel Goldstone il valore trovato da Zhang non potrà essere ridotto a 2. Per altri matematici più ottimisti si tratta invece di raffinare ed ottimizzare i calcoli, pensando che arrivare a 2 è solo una questione di tempo. Chi vivrà vedrà!

70 milioni e  2, lo ribadisco, sono numeri molto diversi, ma il lavoro di Zhang  dimostra che c'è un limite alla distanza tra due numeri primi all'interno dell'infinità dei numeri primi, e questo non era mai stato provato prima. Inoltre, il limite di 70 milioni sembra enorme, ma, considerando che il più grande numero primo conosciuto è formato da 17 milioni di cifre, tale distanza non è poi così grande, in termini di numeri con cui i matematici hanno a che fare.

Un bel colpo quello messo a segno da Zhang, insomma!


_______________________________________________

FONTI CONSULTATE:

http://www.nature.com/news/first-proof-that-infinitely-many-prime-numbers-come-in-pairs-1.12989

http://simonsfoundation.org/features/science-news/unheralded-mathematician-bridges-the-prime-gap/

http://phys.org/news/2013-05-mathematician-infinitely-pairs-prime-million.html

31 commenti:

  1. Ciao prof, questa è proprio una bella e interessante scoperta!!!!!

    RispondiElimina
  2. Davvero molto interessante,nonostante ne avessimo già parlato in mattinata.Non ci ho capito molto in alcuni passaggi...Comunque anche se non mi sente complimenti vivissimi a Zhang che ha fatto un calcolo(e non tanto semplice :) dato che si potrebbe rivelare una Rivoluzione in campo matematico) tutto con carta e penna,che sarà sostituita dai computer ma rimane e rimarrà sempre irraggiungibile..
    Ciao e a Domani prof,con la verifica!:)

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Mica solo un calcolo, Luca! Zhang è stato geniale. E' ovvio che tu non abbia compreso tutti i passaggi, ma possiamo riparlarne a scuola;)

      Elimina
  3. Ne ho letto in giro, ma come spesso accade, qui da te gli argomenti si fanno sempre più chiari.
    E' giustissimo che tu faccia notare la differenza apparentemente enorme tra 2 e 70 milioni, ma è altrettanto corretto inquadrare (come tu fai) questa differenza all'interno di un insieme di numeri comprovatamente infiniti. Zhang non avrà risolto la congettura dei numeri primi gemelli, ma intanto è riuscito a trovare un limite che a quanto sembra potrà sicuramente essere diminuito. Non si tratta di primi gemelli, chiamiamoli "pro-pro-pro...parenti", ma comunque, quello che è importante di questa scoperta è aver trovato una prima connessione/parentela, aver trovato un limite alla distanza tra due numeri primi all'interno dell'infinità dei numeri primi. Da qui in poi si può solo proseguire e sperare.

    A proposito di sperare, quando sento notizie come queste che in qualche modo aprono verso una possibile soluzione dell'enigma dei numeri primi, la mia reazione è doppia e contrastante:
    da un lato non posso che gioire per gli sviluppi della scienza, dall'altro (nel caso dei NP in particolare) sono preoccupato. Sappiamo bene quale ruolo fondamentale hanno i numeri primi soprattutto nel campo della crittografia e tutto quello che questo comporta. Possiamo quindi immaginare l'enorme sconvolgimento (economico/sociale) che porterebbe riuscire a risolvere l'enigma dei NP. Siamo pronti a questo? Abbiamo pronte alternative adeguate per la crittografia e dintorni?

    Ma la scienza deve sempre e comunque andare avanti, magari distruggendo "miti" e creandone di nuovi, sempre e comunque nell'interesse della collettività e non di pochi, si spera. Io rimango fiducioso.

    Un salutone
    Marco


    RispondiElimina
    Risposte
    1. Comprendo perfettamente la tua doppia e contrastante reazione. La preoccupazione per l'ambito della crittografia è realistica, ma confido nelle risorse umane.

      Intanto, godiamoci questo incredibile progresso per quanto riguarda la comprensione della congettura dei numeri primi gemelli, grazie al risultato conseguito da Zhang.

      Grazie del commento.
      Un salutone
      Annarita

      Elimina
  4. Prof il post è veramente interessantissimo e chiaro anche se non non so riuscita a capire tutto quanto. A domani! :)

    RispondiElimina
  5. Questo post è molto interessante, come ci aveva detto in classe è proprio una scoperta molto utile per la matematica. Questo Zhang è veramente molto inelligente, complimenti a lui!!!! Però non sono riuscita a capire tutte le cose...
    A domani prof!! :)

    RispondiElimina
  6. Anche secondo me il post è molto interessante ed è sorprendente che un uomo per niente conosciuto ha fatto un calcolo così grande. Non vedo l'ora di vedere se si riusciranno a trovare dei numeri primi gemelli con milioni di cifre.
    A domani

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Il genio non appartiene necessariamente a personaggi noti. In ogni caso, adesso Zhang (noto) lo è diventato.

      Elimina
  7. Tampi, Bea, è comprensibile che non siate riuscite a comprendere a fondo la questione. Come ho già scritto a Luca, possiamo parlarne a scuola:)

    RispondiElimina
  8. Molto interessante adesso i numeri primi li ho un po capiti

    RispondiElimina
  9. Non so cosa dire.
    Sorprendente, davvero interessante

    RispondiElimina
  10. Unmoved mover1 giugno 2013 20:16

    Il testo però è errato nella sua parte finale, forse per dare più rilevanza del giusto alla notizia.
    È corretto quanto scritto inizialmente, cioè che la differenza fra due primi consecutivi è minore di 70 milioni FREQUENTEMENTE, un numero infinito di volte da un certo punto in poi, ma non sempre. 70 milioni non è un limite per la distanza fra due primi successivi. Ad esempio gli interi appartenenti all'intervallo [(7*10^7+2)!+2,(7*10^7+2)!+7*10^7+2] sono esattamente 70 000 001, nessuno dei quali è primo.

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Non c'è proprio nulla di errato nel testo, nè all'inizio né durante né alla fine. La tua argomentazione non prova niente. La peer review al paper di Ytang Zhang la stanno svolgendo quelli degli Annals of Mathematics.

      Leggi cosa scrive chi ne sa sicuramente molto in materia.

      Una cortesia: ci si presenta sempre quando si lascia un commento a casa di altri

      Elimina
    2. Letto il bellissimo articolo di Roberto Natalini dove già si parlava di un abbassamento del limite da 70 milioni a 59.470.640.
      Oggi Maurizio Codogno scrive che il limite si è ulteriormente abbassato a 5 milioni.
      Come scrive lo stesso Mau: "Una volta che qualcuno trova una nuova strada, poi migliorarla è (relativamente) semplice."
      Non rimane che aspettare, ma visto il ritmo, c'è la speranza di nuove sorprese.
      Un salutone
      Marco

      Elimina
    3. Già, Marco! Maurizio afferma il giusto. Non resta che aspettare.

      Un salutone.
      Annarita

      Elimina
  11. Unmoved mover4 giugno 2013 23:23

    ...?
    mi state dicendo che i matematici ipotizzano che i numeri dispari siano tutti primi?

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Allora, o c'è l'intenzione di polemizzare a tutti i costi o non si vuole capire...

      Unmoved mover, o si presenta o non sarà pubblicata una sua eventuale replica!

      Mi sono stancata di discutere con chi vuole fare lo gnorri!

      Elimina
    2. comunque non trovo giusto che la mia replica non sia stata pubblicata. ho già chiesto cosa si intende per "presentarsi" e non ho ricevuto risposta. se possibile, mi "presenterò" senz'altro, purché ne abbia la possibilità.

      Elimina
    3. Non so di quale replica si stia parlando. L'unica replica che è arrivata è quella che ho appena pubblicato. Blogger a volte fagocita qualche commento. Non sarebbe la prima volta a succedere.

      Può quindi riscriverla se lo ritiene opportuno, ovviamente presentandosi con nome e cognome. Non è corretto interloquire da anomini con persone che invece ci mettono la faccia.

      Io mi chiamo Annarita Ruberto, sono laureata in fisica ed insegno in una scuola media della provincia di Ravenna. Mi aspetto che lei faccia altrettanto.

      Un saluto
      Annarita Ruberto

      Elimina
    4. Mi chiamo Rachele Ceccacci, non sono laureata ma mi interesso occasionalmente di matematica.

      Ribadisco la mia tesi: non è corretto parlare di limite per la distanza di due numeri primi(formalmente è corretto dire limite inferiore). Al di là dei formalismi ritengo che la parola "limite" sia fuorviante e porti a credere che la distanza fra due numeri primi non possa essere maggiore di un certo numero, i commenti quassù confermano che il malinteso è facile.

      Elimina
    5. Bene, Rachele Ceccacci. La ringrazio di essersi presentata. Penso di aver compreso la sua tesi. Apettiamo i risultati della peer review per riparlarne.

      Grazie del contributo.

      Elimina
  12. Effettivamente una frase nella parte finale può essere fraintesa: "c'è un limite alla distanza tra due numeri primi all'interno dell'infinità dei numeri primi". Il fatto che esistano infinite coppie di numeri primi distanti meno di 7*10^7 non significa che TUTTE le coppie siano meno distanti di tale cifra.
    A occhio mi sembra anche corretto l'esempio di intervallo che propone.

    Martino Sorbaro, studente.

    RispondiElimina
    Risposte
    1. @Martino Sorbaro: il significato è quello esplicitato. Dice che la frase potrebbe essere fraintesa? Eppure affermare che ci sono infinite coppie di numeri primi distanti meno di 7*10^7 (nel frattempo tale valore si è abbassato) dovrebbe avere un significato chiaro.

      Non piace il termine "limite"?...è quello utilizzato dai matematici di professione che hanno pubblicato articoli in merito all'evento.

      Consiglio la lettura dei tre articoli in lingua inglese, linkati alla fine del post.

      Grazie anche a lei del contributo.

      Elimina
  13. Solo per dire la mia (per quello che vale) riguardo all'uso del termine "limite". Intanto, quando parlo di cose che conosco in modo poco approfondito, tendo sempre ad affidarmi a chi ne sa sicuramente di più di me. Voglio dire: se nel paper e negli studi che seguono viene usato il termine "limite" ci sarà un motivo ben preciso che magari noi "non-professionisti" non riusciamo a comprendere. Siamo liberi di pensare che il termine adottato possa essere fuorviante; si poteva usare ad esempio "distanza massima" o altro, ma disquisire sulla terminologia porta poco lontano. Vogliamo disquisire lo stesso? Bohn! Io, da pro-pro-pro-profano, penso che sia stato adottato il termine "limite" sin dall'inizio perché consapevoli, una volta conosciuto e padroneggiato il "metodo", che il limite di 70 milioni potesse essere abbassato facilmente. Infatti il termine "limite" fa ben intendere e ben si adatta ad un "tetto" che può essere di volta in volta "abbassato".
    Ma la mia è un'ipotesi, una disquisizione fine a se stessa che non porta contributi e, anzi, rischia di allontanare l'attenzione da quello che è il FATTO, la scoperta scientifica.
    Qualche volta è più saggio saper ascoltare/leggere, avere l'umiltà e la pazienza di aspettare, non avere la presunzione di essere in grado di comprendere tutto.
    Io leggo molto (davvero mooolto) ma non sempre capisco tutto! Sarà che forse mi manca qualcosa?

    RispondiElimina
    Risposte
    1. A te non manca proprio niente, Marco;)

      Grazie del commento.

      Un salutone
      Annarita

      Elimina
  14. Aggiornamento:
    sempre .mau segnala che oggi il limite è sceso a 12.006 (cioè ci sono infinite coppie di primi a distanza non superiore a 12.006 tra di loro), con una possibile riduzione a 10.206.
    Si può anche seguire il wiki con la cronologia delle diverse ed ulteriori riduzioni del limite/distanza.

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Grazie dell'informazione, Marco. Ho appena finito di leggere. Ci si è messo pure Tao, a quanto pare. Bella corsa alla riduzione della differenza minima! Sicuramente ne farò un post più avanti.

      Un salutone
      Annarita

      Elimina
  15. Zhang però non ci convince del tutto. Segnaliamo ai lettori interessati le nostre osservazioni, riportate nel nostro lavoro: "OSSERVAZIONI SULL' ENUNCIATO DI ZHANG"

    link nardelli.xoom.it/.../OSSERVAZIONI%20SULL'%20ENUNCIATO%20D...
    Grazie per l'attenzione, e buona lettura! Francesco

    RispondiElimina

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...