Matematicamente

mercoledì 6 febbraio 2013

Scoperto il 48esimo Numero Primo Di Mersenne

Forma dei numeri
 primi di Mersenne

E' ufficiale! Il 25 gennaio 2013 è stato scoperto il 48esimo numero primo di Mersenne!

Qui il comunicato stampa che ne annuncia la scoperta: http://mersenne.org/various/57885161.htm

Volete vedere come si scrive questo mitico numero? Eccolo: 

257.885.161-1

Volete vederlo per intero? Badate bene che è formato da 17.425.170 cifre, il numero più grande dell'Universo! Cliccate qui per visualizzarlo: 

http://www.isthe.com/chongo/tech/math/digit/m57885161/prime-c.html

Il nuovo numero primo schiaccia, letteralmente e di fatto, il precedente numero primo di Mersenne, il 47esimo, scoperto nel 2008, che è formato soltanto (si fa per dire) da 12.978.189 cifre.

Il numero - 2 elevato alla potenza 57.885.161 meno 1 - è stato scoperto dal matematico  Curtis Cooper dell'University of Central Missouri. Da solooooo? Certo che no!


La ricerca dei primi di Mersenne è svolta da un gigantesca rete di computer volontari sul tipo del progetto SETI @ Home, che scarica e analizza i dati forniti dai radiotelescopi all'interno del Progetto SETI (Search for Extraterrestrial Intelligence).
La rete di computer, denominata Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), comprende circa 360.000 processori operanti a 150 trilioni di calcoli al secondo. Questo è il terzo numero primo scoperto da Cooper.

Ma che cosa sono i numeri primi di Mersenne? Si tratta di una rara classe di numeri primi che assumono la forma di due elevato alla potenza di un numero primo meno 1. 

Come sapete tutti, ragazzi, i "normali" numeri primi sono quei numeri divisibili soltanto per se stessi e per 1:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19;...

Essi sono infiniti: Euclide ci ha lasciato una elegante dimostrazione dell'infinità dei numeri primi nei suoi Elementi (libro IX, proposizione 20). Non è però l'unica dimostrazione perché ce ne sono molte altre, che utilizzano diverse tecniche.
Per citarne alcune famose, ricordo quella di Eulero che la ricavò dalla divergenza della serie armonica e dalla possibilità di scrivere ogni numero come prodotto di numeri primi; Christian Goldbach utilizzò i numeri di FermatHarry Furstenberg ne ideò una che ricorre ai metodi della topologia.

Potete consultare la dimostrazione di Euclide e quella di Eulero su Wikipedia

Tutto questo giro per rimarcare che i numeri primi sono infiniti...mentre i primi di Mersenne? Nessuno lo sa! Me lo immagino cosa state pensando! Oh beh, se i numeri primi sono infiniti perché non lo sono anche i primi di Mersenne?

Facciamo un esempio: 11 è un numero primo, ma (2^11) -1 = 2047 non lo è perché, oltre ai divisori banali 1 e 2047, ha anche i divisori propri: 23 e 89!

E' chiaro, adesso?

Perché si chiamano numeri primi di Mersenne? Mi pongo da sola le domande che so mi rivolgereste in presenza.

Il monaco o teologo francese Marin Mersenne (1588-1648) iniziò nel XVII secolo la ricerca di questi particolari primi, teorizzandone la formula che è la seguente:

M(n) = (2^n) – 1

Ne calcolò per i valori di n = 2; 3; 5; 7; 13; 17; 19; 31; 67; 127; 257. 
La sua lista conteneva però alcuni errori: includeva, infatti, M(67) e M(257)(che non sono primi), mentre non includeva M(61), M(89) e M(107) (che sono primi).

I contemporanei di Mersenne non erano sprovveduti e sapevano bene di non poter verificare la correttezza della teoria di Mersenne e delle proprie, ma provarono a verificarne ugualmente la veridicità.

Nel 1603, il matematico bolognese  Pietro Cataldi  verificò correttamente che (2^17)-1 e  (2^19-1) erano entrambi primi, ma poi erroneamente affermò che (2^n)-1  era primo per 23, 29, 31 e 37.
Nel 1640, Fermat dimostrò che Cataldi  si era sbagliato per 23 e 37; in seguito Eulero, nel 1738, dimostrò che Cataldi si era sbagliato anche per il 29, ma qualche tempo dopo dimostrò che l'affermazione di Cataldi era corretta per quanto riguarda il 31.

Oggi il GIMPS utilizza il test di primalità di Lucas - Lehmer per verificare se un numero è un primo di Mersenne.

I primi di Mersenne sono diventati un categoria a parte: “i gioielli della teoria dei numeri”, li definisce Chris Caldwell, matematico della University of Tennessee, sul cui sito web potete trovare la storia dei numeri primi, i teoremi e le congetture e altro ancora.

Secondo Caldwell, la difficoltà di provare la primalità dei numeri di Mersenne è legata alla difficoltà di svolgere delle moltiplicazioni in cui sono interessati numeri della lunghezza di milioni di cifre.

Il problema è stato brillantemente risolto dal programmatore e appassionato di matematica George Woltman, fondando il Gimps e creando un programma, utilizzato dai volontari aderenti alla sua rete per collegare i propri PC ai computer che lavorano alla scoperta dei Mersenne.


18 commenti:

  1. E quasi nessuno e' al corrente che, tra le 160.000 CPU presenti nel progetto GIMPS, il Team_Italia e' al 19mo posto assoluto in quanto a risorse di calcolo utilizzate con oltre 70.000 GHz/days.

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    1. Veramente nella Press Release si parla di 360000 CPU e non di 160000.

      Mi fa piacere che il Team_Italia si faccia onore. Il fatto che quasi nessuno sia al corrente del suo ruolo all'interno del progetto internazionale dipende dalla sua diffusione. Il web è grande e le notizie per emergere necessitano di condivisione capillare.

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  2. Molto interessante il post evvai! sono
    venuta a conoscenza di una nuova scoperta.

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    1. Già, Valeria! Ogni giorno ce n'è una, vero?;)

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  3. Ciao prof il post è molto interessante
    grazie per postare questi articoli che ci fanno scoprire sempre cose nuove!

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    1. Ciao Matilde. Sono contenta di vederti da queste parti. Il commento è arrivato finalmente.

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  4. Potenza del calcolo distribuito. Il merito va prima di tutto a Woltman per aver creato Gimps e poi a tutti coloro che mettono a disposizione parte della potenza di calcolo dei propri PC. A Cooper la soddisfazione che sia stato il suo PC a trovare il "mostro".
    Sui numeri primi si son scritte pagine e pagine e l'obbiettivo primario rimane la funzione Z di Rieman, ma va bene così, intanto accontentiamoci del 48° Mersenne: l'RSA ha nuovi "primoni" su cui poggiare la sicurezza dei dati digitali.
    Un salutone
    Marco

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    1. Già, accontentiamoci del 48° Mersenne! La funzione Z di Riemann ha risvolti e fondamenti diversi.

      Un salutone a te.
      Annarita

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  5. è bello e molto interessante. Imparare cose nuove sulla matematica ci insegna.
    MARWA 1B

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    1. Eh sì, Marwua! La Matematica insegna sempre qualcosa di nuovo:)

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  6. grazie prof molto bello e interessante imparare cose nuove.
    A DOMANI PROF.

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  7. Complimenti a Curtis Cooper ma anche a tutti gli altri che ne hanno fatto parte!!!!
    A domani prof!!!:):)

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  8. Rkia, Sara, brave per aver letto ed apprezzato. A domani:)

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  9. Buon giorno prof. molto bello e interessante il post, anche se molto complesso. Complimenti soprattutto a Curtis Cooper per la sua grande invenzione e i miei più cari complimenti vanno a lei prof. che ci dedica tutto questo tempo.
    A dopo prof.
    Nicolò

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  10. Il 49° numero di Mersenne potrebbe avere, secondo nostre recenti stime approssimative (articolo in corso di preparazione entro l'anno) usando la serie di Fibonacci e altro, circa 21 milioni di cifre, con l'esponente n attorno a circa 69 741 000, milione più milione meno
    (Provare per credere! Naturalmente scherzo, la cosa è possibile solo a GIMPS!)Per chi volesse comunque vincere il premio 200 000 dollari,per il numero primo di Mersenne da un miliardo di cifre, invece dovrebbe partire da un esponente n a partire da 332 miliardi, e lo troverà quasi certamente prima di 664 miliardi...! Seguiteci sul nostro sito http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/ con molti articoli sui numeri primi e loro problemi già risolti o in via di soluzione. Francesco

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    1. Benvenuto Francesco. Lieta di conoscere un nuovo sito.

      A presto!
      Annarita

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  11. A Marco, direi che non sarebbe prudente, per la RSA, usare i numeri primi di Mersenne,di qualsiasi grandezza, perchè qualche hacker, conoscendoli, potrebbe provare a fattorizare una chiave pubblica che ne avrebbe uno (o entrambi!)come fattori, riuscendoci rapidamente. La possibilità è remota, ma realistica.
    I futuri computer quantistici fattorizzeranno in breve tempo numeri anche di circa mille cifre , come per es. i numeri RSA- 2048 e simili; e solo per battere tali computer occorrerebbero numeri primi enormi, del tipo 48° numero di Mersenne, come grandezza; ma sarebbe sempre meglio evitare in ogni caso i numeri primi di Mersenne, per quanto prima detto. Meglio numeri primi vicini, più sicuri, poichè gli eventuali hacker dovrebbero cercarseli da soli. Francesco

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    1. Hai ragione Francesco, la mia frase "l'RSA ha nuovi "primoni" su cui poggiare la sicurezza dei dati digitali" è imprecisa. L'RSA non dovrebbe poggiare direttamente sui numeri primi di Mersenne per le ragioni logiche che tu hai indicato. Però chi ci dice con certezza che almeno in una delle chiavi (o in parte di essa) non ne faccia utilizzo?
      Quei numeri "primi vicini" più sicuri (come tu li hai definiti) hanno un costo: per gli hacker in ordine di tempo, per le società che sviluppano su algoritmi basati su RSA, un costo economico. Nessuno ci garantisce che, per abbassare i costi, in alcune particolari situazioni o periodi, si usino anche i numeri primi di Mersenne. Si fa di tutto per il dio denaro.

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