Scoperto il 48esimo Numero Primo Di Mersenne

Forma dei numeri
 primi di Mersenne

E' ufficiale! Il 25 gennaio 2013 è stato scoperto il 48esimo numero primo di Mersenne!

Qui il comunicato stampa che ne annuncia la scoperta: http://mersenne.org/various/57885161.htm

Volete vedere come si scrive questo mitico numero? Eccolo: 

2^57.885.161-1

Volete vederlo per intero? Badate bene che è formato da 17.425.170 cifre, il numero più grande dell'Universo! Cliccate qui per visualizzarlo: 

http://www.isthe.com/chongo/tech/math/digit/m57885161/prime-c.html

Il nuovo numero primo schiaccia, letteralmente e di fatto, il precedente numero primo di Mersenne, il 47esimo, scoperto nel 2008, che è formato soltanto (si fa per dire) da 12.978.189 cifre.

Il numero - 2 elevato alla potenza 57.885.161 meno 1 - è stato scoperto dal matematico  Curtis Cooper dell'University of Central Missouri. Da solooooo? Certo che no!


La ricerca dei primi di Mersenne è svolta da un gigantesca rete di computer volontari sul tipo del progetto SETI @ Home, che scarica e analizza i dati forniti dai radiotelescopi all'interno del Progetto SETI (Search for Extraterrestrial Intelligence).
La rete di computer, denominata Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), comprende circa 360.000 processori operanti a 150 trilioni di calcoli al secondo. Questo è il terzo numero primo scoperto da Cooper.

Ma che cosa sono i numeri primi di Mersenne? Si tratta di una rara classe di numeri primi che assumono la forma di due elevato alla potenza di un numero primo meno 1. 

Come sapete tutti, ragazzi, i "normali" numeri primi sono quei numeri divisibili soltanto per se stessi e per 1:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19;...

Essi sono infiniti: Euclide ci ha lasciato una elegante dimostrazione dell'infinità dei numeri primi nei suoi Elementi (libro IX, proposizione 20). Non è però l'unica dimostrazione perché ce ne sono molte altre, che utilizzano diverse tecniche.
Per citarne alcune famose, ricordo quella di Eulero che la ricavò dalla divergenza della serie armonica e dalla possibilità di scrivere ogni numero come prodotto di numeri primi; Christian Goldbach utilizzò i numeri di Fermat; Harry Furstenberg ne ideò una che ricorre ai metodi della topologia.

Potete consultare la dimostrazione di Euclide e quella di Eulero su Wikipedia. 

Tutto questo giro per rimarcare che i numeri primi sono infiniti...mentre i primi di Mersenne? Nessuno lo sa! Me lo immagino cosa state pensando! Oh beh, se i numeri primi sono infiniti perché non lo sono anche i primi di Mersenne?

Facciamo un esempio: 11 è un numero primo, ma (2^11) -1 = 2047 non lo è perché, oltre ai divisori banali 1 e 2047, ha anche i divisori propri: 23 e 89!

E' chiaro, adesso?

Perché si chiamano numeri primi di Mersenne? Mi pongo da sola le domande che so mi rivolgereste in presenza.

Il monaco o teologo francese Marin Mersenne (1588-1648) iniziò nel XVII secolo la ricerca di questi particolari primi, teorizzandone la formula che è la seguente:

M(n) = (2^n) – 1

Ne calcolò per i valori di n = 2; 3; 5; 7; 13; 17; 19; 31; 67; 127; 257. 

La sua lista conteneva però alcuni errori: includeva, infatti, M(67) e M(257)(che non sono primi), mentre non includeva M(61), M(89) e M(107) (che sono primi).

I contemporanei di Mersenne non erano sprovveduti e sapevano bene di non poter verificare la correttezza della teoria di Mersenne e delle proprie, ma provarono a verificarne ugualmente la veridicità.

Nel 1603, il matematico bolognese  Pietro Cataldi  verificò correttamente che (2^17)-1 e  (2^19-1) erano entrambi primi, ma poi erroneamente affermò che (2^n)-1  era primo per 23, 29, 31 e 37.
Nel 1640, Fermat dimostrò che Cataldi  si era sbagliato per 23 e 37; in seguito Eulero, nel 1738, dimostrò che Cataldi si era sbagliato anche per il 29, ma qualche tempo dopo dimostrò che l'affermazione di Cataldi era corretta per quanto riguarda il 31.

Oggi il GIMPS utilizza il test di primalità di Lucas - Lehmer per verificare se un numero è un primo di Mersenne.

I primi di Mersenne sono diventati un categoria a parte: “i gioielli della teoria dei numeri”, li definisce Chris Caldwell, matematico della University of Tennessee, sul cui sito web potete trovare la storia dei numeri primi, i teoremi e le congetture e altro ancora.

Secondo Caldwell, la difficoltà di provare la primalità dei numeri di Mersenne è legata alla difficoltà di svolgere delle moltiplicazioni in cui sono interessati numeri della lunghezza di milioni di cifre.

Il problema è stato brillantemente risolto dal programmatore e appassionato di matematica George Woltman, fondando il Gimps e creando un programma, utilizzato dai volontari aderenti alla sua rete per collegare i propri PC ai computer che lavorano alla scoperta dei Mersenne.