Matematicamente

venerdì 30 luglio 2010

La Tavola Pitagorica E I Numeri Quadrati

Cari ragazzi e cari lettori,

riporto di seguito un interessantissimo articolo che il caro amico Bruno Berselli (al quale chiedo scusa) mi inviò parecchio tempo fa, e che io colpevolmente avevo dimenticato!

Scrive Bruno:

La Tavola pitagorica,  di solito,  viene  presentata come uno schema quadrato di 10x10 o 12x12.

Può allora essere interessante chiedersi (e io me lo sono chiesto) se abbia qualche caratteristica non ovvia legata ai numeri quadrati.

Ne esiste una, in effetti, pur non essendo l’unica. Vediamola insieme.


Qui sotto abbiamo una tabellina di  12 x 12 :


Tracciamo al suo interno un quadrato seguendo le linee delle righe e delle colonne:


E ora calcoliamo la somma di tutti i numeri di questo quadrato. Tenendo presente il principio generatore della tabella, possiamo scrivere:

7·(2+3+4+5+6)+8·(2+3+4+5+6)+9·(2+3+4+5+6)+
 +10·(2+3+4+5+6)+11·(2+3+4+5+6)=(7+8+9+10+11)(2+3+4+5+6)= 900= 30².

Ma guarda! Questo forse significa che qualsiasi altro quadrato tracciato nella Tavola pitagorica fornisca sempre per somma un quadrato perfetto? Purtroppo no. Quando ciò si verifica, allora?

C'è una regola e possiamo enunciarla così:

La somma dei termini di una porzione quadrata della Tavola pitagorica  è un numero quadrato quando il termine della casella centrale (o la somma dei termini delle quattro caselle centrali) è un quadrato.


Naturalmente, la porzione quadrata presenta una sola casella centrale quando ha un numero dispari di righe e colonne, altrimenti ha quattro caselle. Nell'uno e nell'altro caso, in pratica, ci interessa solo il valore corrispondente e pertanto lo possiamo chiamare valore centrale della porzione quadrata.

Vediamo adesso alcune animazioni.

Ci siamo! I risultati sono sempre quadrati.


Anche qui ci siamo: i risultati son tutti quadrati!


Qui no, invece: i risultati non corrispondono mai a dei quadrati.


Dunque, nei quadrati con valore centrale  441 = 21²  (non importa quante caselle consideriamo) la somma di tutti i termini è un quadrato. Nei quadrati con valore centrale  56 = 7 x 8,  invece,  no.

E' una proprietà carina, vero?  Ma ora bisogna dimostrarla.

Per far questo possiamo determinare, innanzitutto, la somma dei termini di una generica porzione rettangolare della Tavola pitagorica.

Consideriamo lo schema:

Una generica porzione rettangolare delle Tavola pitagorica

Come abbiamo fatto più sopra, scriviamo la somma da  qp  a  (q+n)(p+m):

S = [p+(p+1)+(p+2)+...+(p+m)][q+(q+1)+(q+2)+(q+3)+...+(q+n)]

vale a dire:

S = [p(m+1)+m(m+1)/2][q(n+1)+n(n+1)/2]

Il termine m+1 corrisponde al numero delle colonne che compongono il riquadro, mentre n+1 indica il numero delle righe.

Se m = n,  la porzione della Tavola pitagorica è un quadrato e perciò possiamo porre, in maniera equivalente:

S = (p+½m)(q+½m)(m+1)² = (2p+m)(2q+m)¼(m+1)²,

in cui distinguiamo i due casi, riferiti alla prima e alla seconda forma scritta:

- se m è pari (p+½m)(q+½m)  è il termine della casella centrale del quadrato,

- se m è dispari,  (2p+m)(2q+m) = {[p+½(m-1)]+[p+½(m+1)]}{[q+½(m-1)]+[q+½(m+1)]} è la somma dei termini delle quattro caselle centrali del quadrato.

Si vede subito, inoltre, che sia  (p+½m)(q+½m)  che  (2p+m)(2q+m)  risultano moltiplicati per un quadrato.  Pertanto, affinché la nostra somma  S  sia un quadrato occorre  e  basta che siano quadrati anche  (p+½m)(q+½m)  e  (2p+m)(2q+m).

Ecco fatto, abbiamo visto perché la regola è corretta! 


Un caso particolare.

Se  p = q,  allora  (p+½m)(q+½m) = (p+½m)²  ed è anche  (2p+m)(2q+m) = (2p+m)² :

questo vuol dire che in qualsiasi quadrato con il centro sulla diagonale (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...), indipendentemente dal numero delle caselle che lo compongono, la somma dei termini è sempre un quadrato perfetto.

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10 commenti:

  1. Cara Maria, sono pienamente d'accordo con te sull'utilizzo didattico dell'articolo di Bruno.

    Lo richiamerò sicuramente più avanti, facendo una specie di elenco storico di risorse utilizzabili nella didattica.

    Bruno è un drago! Il suo intuito e la sua competenza matematica sono formidabili.

    Ma...ma dove hai visto che è carino? Sono curiosissima perché io non ho mai visto una sua foto o altra immagine.

    Bacioni.

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  2. Da nessuna parte! Io me lo sono immaginato...così!!
    Difficilmente mi sbaglio!
    Un bacione
    maria I.

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  3. Rosaria: Visto che non capisco nulla di numeri 
    Visto che i matematici non sbagliano mai
    specie se sono donne 
    Visto che non c'è due senza tre 
    Anche io dico che Bruno 
    è carino, anche perchè 
    l'intuito femminile è una matematica a parte...
    Bravo a Bruno
    Brava  Annarita e brava Maria,
    che con i suoi dettagliati commenti 
    mi aiuta a capire un pochino, ma solo un pochino.
    Grazie 
    Un bacione grande alle due matematiche.





     

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  4. La tanto aborrita  tavola pitagorica assume finalmente un aspetto invitante, quasi gradito con questa caratteristica proprietà, così chiaramente esposta da Berselli, che come al solito dimostra grandissima competenza ed eccezionale intuizione.

    Che le signore Annarita e Maria si sbaglino a me poco importa. In caso contrario...buon per lui: vuol dire che ha anche un'altra bella dote!
    Un caro saluto.
    Enzo

    RispondiElimina

  5. E' molto divertente questa proprietà che lega i quadrati alle tabelline, di solito poco gradite soprattutto ai piccoli. Presentata come un gioco essa può funzionare didatticamente per migliorare l'approccio dei bambini alla tavola pitagorica, evidentemente tralasciando la bella dimostrazione dell'autore adatta ad alunni più grandicelli.
    Complimenti per questo bel post!
    Un caro saluto
    Adele

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  6. @lisetta, Adele, Rosaria, Francesco, Enzo, Elisa: vi riongrazio molto dell'apprezzamento nei confronti del lavoro di Bruno e per essere stati carini e spiritosi.

    Un caro saluto.
    annarita

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  7. Toccata e fuga....al mare!
    Belle queste tavole pitagoriche...animate! Notevole questa proprietà dei quadrati dei numeri legata alle tabelline, dimostrata pure in modo puntuale dall'autore, a cui vanno i miei complimenti.
    Trovo sempre cose molto carine ed originali in questo blog!
    Complimenti e..buone vacanze a tutti!
    ciao
    alex

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  8. Grazie mille dell'apprezzamneto, Alex. Sei molto gentile.

    Ricambio l'augurio.

    A presto!

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  9. Hai ragione, Bruno. E' passato proprio tanto tempo da quando mi avevi inviato l'articolo, al punto che, tra le mie tante cose, lo avevo dimenticato anch'io,...ma per una associazione di idee mi è tornato alla mente all'improvviso...ed eccolo qui.

    Sai quanto apprezzi i tuoi contributi per la loro originalità e valenza didattica, facilmente spendibile a scuola.

    Quando ne hai voglia, lo sai che i miei blog sono casa tua, vero?

    Ricordati quel che ti ho scritto per i  prossimi Carnevali che ospiterò, d'accordo? Di tempo ne hai per entrambi (ottobre fisica e dicembre matematica).

    Scegli di fidarti del "nostro fiuto" dici? Vuol dire che ci abbiamo azzeccato e che sei proprio carino, allora!

    Bene, bene. Non è fondamentale, ma non guasta per nulla.

    Bacione e abbraccione.

    RispondiElimina

  10. Solo per oggi, Bruno? Se hai deciso di fidarti del nostro fiuto, deve essere una cosa definitva, ahahahahah!

    Bacioni. A presto:)

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