Matematicamente

domenica 31 agosto 2008

DIDAMATICA 2008 E La Conferenza Internazionale ED-L2L

Cari lettori,


riprendo brevemente la segnalazione del Convegno DIDAMATICA 2008, svoltosi a Taranto dal 28 al 30 Aprile 2008 e promosso annualmente dall'AICA (Associazione Italiana per l’Informatica ed il Calcolo Automatico), che si propone di fornire un quadro ampio ed approfondito delle ricerche, degli sviluppi innovativi e delle esperienze in atto nel settore dell’Informatica applicata alla Didattica, nei diversi domini e nei molteplici contesti di apprendimento.


Richiamo DIDAMATICA , dicevo, per segnalare che l'edizione 2008 è collegata alla Conferenza internazionale ED-L2L, Learning to live in the knowledge society, nell’ambito del 20th World Computer Congress (WCC2008), organizzato dalla IFIP (International Federation for Information Processing) che si terrà a Milano dal 7 al 10 Settembre 2008.


Le due manifestazioni hanno lo scopo comune di creare occasioni di confronto e discussione sul valore aggiunto che le tecnologie informatiche possono apportare nei processi educativi se opportunamente integrate. DIDAMATICA 2008, in particolare, realizza un ponte di comunicazione tra il mondo della scuola e il mondo della ricerca proponendo e incentivando un uso consapevole delle tecnologie informatiche.

Potete reperire maggiori informazioni dal sito da cui ho riportato la notizia, via kwout. 


http://didamatica2008.di.uniba.it/



venerdì 29 agosto 2008

Il Cubo Di Rubik: Un Video Tutoriale Per Risolverlo

Cito testualmente da Wikipedia:

Il Cubo di Rubik, o Cubo magico (Rubik-kocka in ungherese) è un celebre gioco di logica  e rompicapo inventato dal professore di architettura e scultore ungherese Ernő Rubik nel 1974. Chiamato originariamente Magic Cube (Cubo magico) dal suo inventore, il rompicapo fu rinominato in Rubik's Cube (Cubo di Rubik) dalla Ideal Toys nel 1980 e nello stesso anno vinse il premio Spiel des Jahres (Gioco dell'anno) in Germania come miglior rompicapo. È il giocattolo più venduto della storia, con circa 300 milioni di pezzi venduti, considerando anche le imitazioni.

Il Cubo di Rubik presenta 9 quadrati su ogni faccia, per un totale di 54 quadrati. Solitamente i quadrati differiscono tra loro per il colore, con un totale di 6 colori differenti. Quando il Cubo di Rubik è risolto, ogni faccia ha solo quadrati dello stesso colore. Il rompicapo ha celebrato il 25esimo anniversario nel 2005, anno nel quale è stata presentata una versione speciale del cubo, con il logo ufficiale - Rubik's Cube 1980-2005 - stampato su un quadrato di colore bianco."

Continuare a leggere il resto su Wikipedia, dove sono reperibili diversi metodi risolutivi.

Di seguito, vi presento un video tutorial, reperito in rete, che guida alla risoluzione. La sua difficoltà è media. Perciò, provate, se ne avete voglia! 



A questo link, troverete la seconda parte del tutorial.

mercoledì 27 agosto 2008

La Divisione Canadese: Una Divisione Per Sottrazioni Progressive


Cari ragazzi e lettori,



vi propongo di seguito la divisione canadese, un algoritmo basato su sottrazioni progressive, dove la somma dei quozienti parziali costituisce il risultato. La proposta scaturisce in parte dalle keyword  con cui Google fa accedere gli utenti a questo blog e in parte dalle richieste dirette di colleghi e conoscenti.



Per far apprendere con facilità ai ragazzi il suddetto algoritmo, è consigliabile introdurre delle simulazioni concrete come quella esemplificata di seguito.



SIMULAZIONE



Andrea invita a casa sua 5 amici per  regalare loro il contenuto di una raccolta di 19 francobolli, come concordato in precedenza.



• Dopo averli fatti accomodare nella sua stanza, prende l’album e ne stacca 5, distribuendone uno a testa agli amici.
Sono stati tolti 5 francobolli dai 19 della raccolta e ne sono rimasti 14.
Ogni amico ha ricevuto 1 francobollo.



• Successivamente, Andrea ne stacca altri 5 e ne distribuisce di nuovo uno a testa.
Dai 14 francobolli ne sono stati tolti 5 e ne sono rimasti 9.
Ogni amico ha ricevuto finora 2 francobolli.



• Per la terza volta, Andrea stacca 5 francobolli dall’album e li regala agli amici uno a testa.
Sono stati tolti 5 francobolli dai 9 avanzati e ne sono rimasti 4.
Ogni amico ha ricevuto 3  francobolli.



Come si deduce facilmente, dalla raccolta di 19 francobolli se ne tolgono 5 (un francobollo per ciascun amico) per tre volte ( 19 – 5 – 5 – 5).
Concludiamo che il 5 sta 3 volte nel 19, con resto 4.



disegno_div_canad



Affinché possano comprendere il meccanismo della divisione canadese, occorre che i ragazzi svolgano simulazioni analoghe a quella illustrata, che consentono loro di effettuare concretamente le operazioni e riflettere su di esse. Soltanto successivamente si passerà alla fase simbolica dell’esecuzione.



div_canad_algorit




L’algoritmo della divisione canadese sembrerebbe richiedere molto tempo nell’esecuzione, in realtà sono possibili delle abbreviazioni che lo semplificano.



alg_div_can_abbreviato



NOTA: il quoto della divisione 540 : 9 è ovviamente 60 e non 6. Lo zero è stato risucchiato dalla riduzione dell'immagine nel cerchietto!

Una modalità
  di  svolgimento ancora più semplice dal punto di vista grafico/simbolico è la seguente.



Ad esempio, se dobbiamo  dividere 5827 per 25, possiamo sottrarre prima 25x10, poi 25x40 e così via, organizzando lo svolgimento come illustrato di seguito.



abbreviaz_finale
LINK UTILI



- Divisioni da baby-flash



- Classe terza primaria schede operative da lannaronca



- Divisione da Wikipedia



- Alla scoperta della divisione  software scaricabile dal Quadernone blu



- Divisioni con le tabelline da SplashScuola



Post correlato su questo blog



- La Moltiplicazione Araba o Graticola o Gelosia

sabato 16 agosto 2008

La Straordinaria Storia Dello Zero - 2° Parte: Lo Zero Dei Maya

Cari ragazzi e cari lettori, ricordate il post  "La straordinaria storia dello zero - 1° Parte?"


Ebbene, l'amico Gaetano ci offre con questo post  la 2° parte "La storia ancora più straordinaria dello zero dei Maya".


***


LA STORIA ANCORA PIÙ STRAORDINARIA DELLO ZERO DEI MAYA



out4


In modo assolutamente indipendente dall'invenzione dello zero avvenuta nella Valle dell'Indo, e diverse centinaia di anni prima, la straordinaria civiltà dei Maya usava il disegno di una conchiglia per indicare lo zero in un sistema di notazione posizionale. I Maya usavano due segni, il punto per «1» e la linea orizzontale per il «5».
Nel loro sistema di conteggio ordinario vigesimale (in base 20) essi usavano questi simboli per i multipli di 20^0 (=1), di 20^1 (=20), 20^2 (=400), e così via. A differenza dei nostri simboli numerici, le posizioni erano ordinate dal basso verso l'alto invece che da sinistra verso destra.


[Adattato da Sharer (1)]



Che cosa succede quando uno di questi pezzi del mosaico manca? Il cervello matematico ha ciò nondimeno il concetto di insieme vuoto che tenta di rappresentare in una notazione numerica? Gli antichi Maya dell'America centrale svilupparono una cultura e una civiltà complesse da circa il 1000 a.C. fino al 1500 d.C., quando furono annientati dalla conquista spagnola. Costruirono grandi città ed ebbero una vasta attività commerciale con i loro vicini. Intorno al 500 a.C., avevano sviluppato una scrittura geroglifica che non è stata ancora decifrata completamente. Molti testi, se non tutti, furono distrutti dai preti spagnoli. Uno di loro scrisse: «trovammo un gran numero di libri in questi caratteri [geroglifici] e, poiché non contenevano nulla in cui non vi fossero da vedere superstizione e menzogne del demonio, li bruciammo tutti, cosa della quale si dispiacquero in modo sorprendente e che causò loro molta afflizione». (2)


Come i loro discendenti moderni, e di fatto come accade in gran parte delle lingue degli Indiani d'America, i Maya contavano servendosi di un sistema di numerazione in base 20, più specificamente in base 5-20, che derivava probabilmente dal conteggio sulle dita delle mani e dei piedi. Avevano vocaboli per esprimere le potenze di 20, come 400 e 8.000, e avevano un'ossessione per i conteggi, in particolare per quello dei giorni, per il quale usavano un periodo di 18 giorni, di modo che il loro anno il tun, contava 20 x 18 = 360 giorni. Naturalmente sapevano che ci sono 365 giorni in un anno, e il loro «anno impreciso», chiamato haab, aveva 18 periodi di 20 giorni più un periodo di 5. C'era anche un anno sacro di 260 giorni, usato per scopi rituali. l testi sopravvissuti, noti come codici, sono spesso dedicati all'astronomia, e in essi gli eventi sono registrati cronologicamente in sequenze di anni e almanacchi; anche molte delle iscrizioni sugli edifici hanno un contenuto numerico.


I Maya avevano persino parole o frasi per esprimere numeri molto grandi, come 20 kichiltuns: 18 x 20^7 ossia 23.040.000.000 giorni!


I Maya, così come i loro vicini, almeno dal 400 a. C. usavano una notazione posizionale senza lo zero. Era un sistema di punti per rappresentare l e di barre per il 5. (3) Ciò potrebbe aver costituito un modello per gli sviluppi successivi in modo simile a quello in cui i matematici indiani usarono il modello babilonese, precedente al loro.


Sembra anche che i Maya usassero tavolette per contare, e modi particolari di disporre ciottoli e semi di cacao per comporre numeri, forse in una maniera equivalente a quella indiana. Dunque i Maya possedevano vocaboli numerici che usavano un sistema con base, avevano un'attività di commercio, estese pratiche di conteggio - compresi strumenti come le tavolette – e un sistema scritto. Ma erano in grado di rappresentare l'insieme vuoto in modo sistematico, con uno zero, quando altre culture analogamente dotate, come quelle degli antichi Greci e degli Egizi, non ci erano evidentemente riuscite? La risposta è facile. Erano in grado di farlo. Inoltre oggi sappiamo che il loro sistema precedette quello indiano di almeno 250 anni e forse addirittura di 65O. Il sistema si avvale per lo zero di un segno a forma di conchiglia, che significa più o meno «completezza» ed è mostrato sopra in figura.


Tratto dal libro Intelligenza matematica” di Brian Butterwhort – Edizione Rizzoli



Consulta i link:


- la pagina dedicata allo zero su wikipedia.


- La storia del nulla


- La storia dello zero


- L'affascinante storia del numero Zero


- L'affascinante numero Zero



***


 


1 - Sharer (1994), p.558.
2 - Citato in Sharer (1994), p.599.
3 - Sharer (1997) comunicazione personale.

lunedì 11 agosto 2008

Ipotesi Di Riemann: A Un passo Dalla Soluzione?

Cari ragazzi e cari lettori, ecco a voi un'altra segnalazione, questa volta relativa alla suggestiva Ipotesi di Riemann. L'articolo, dell'amico Paolo Bee, era troppo ghiotto per lasciarmelo sfuggire...


Riporto di seguito una parte del citato articolo:


"I numeri primi (ossia quei numeri divisibili solo per se stessi e per l’unità) rappresentano le entità più misteriose dell’intera branca dell’aritmetica. I matematici sono costantemente impegnati nella ricerca di categorie e strutture all’interno dell’infinito universo dei numeri, ma i numeri primi si sottraggono proprio a questo genere di ordinamento. Non c’è infatti un ordine prevedibile nella serie dei numeri primi, una regola per stabilire ad esempio quale sarà il duecentesimo numero primo. I numeri primi sembrano dunque susseguirsi con un ritmo apparentemente illogico, proprio come nel gioco del Lotto non è possibile prevedere il numero che verrà estratto.


Questa totale imprevedibilità procura ai matematici notti insonni!!!


Nonostante tutto, Riemann ha formulato, ai suoi tempi, una ripartizione dei numeri primi descrivendo una “magica armonia” tra questi ultimi e gli altri numeri. Tutti avranno sentito parlare della famosa “Ipotesi di Riemann” nota anche come il problema del millennio (Ipotesi proprio perchè deve essere ancora dimostrata.)..."


Continuate la lettura cliccando sull'url dello screenshoot! 


sabato 9 agosto 2008

Emma Castelnuovo: Quando La Matematica E' Nel DNA

Cari ragazzi (e lettori), vi segnalo un post dell'amico Mauro Piadi dedicato alla straordinaria figura di Emma Castelnuovo, una donna "destinata" alla Matematica, come comprenderete dalla lettura dell'articolo citato.

Segue un estratto dall'originale:

emma_castelnuovo"Emma Castelnuovo (Roma, 1913) è una matematica e pedagoga italiana.

Figlia di Guido Castelnuovo (cui è intitolato l'Istituto di matematica alla Sapienza) e nipote di Federigo Enriques, due tra i maggiori matematici italiani del secolo scorso, si può dire che abbia veramente la matematica nel sangue. Si laurea a Roma nel 1936 con una tesi in Geometria algebrica. Al termine degli studi lavora come bibliotecaria nello stesso Istituto.Nel 1938 risulta vincitrice del concorso per insegnare nella scuola secondaria, ma non ottiene la cattedra a causa delle leggi razziali vigenti durante il periodo fascista. Per lo stesso motivo perde il posto di bibliotecaria.

Racconta Emma: "Nel 1938 fu proibito in Italia, ai bambini, ai ragazzi, ai giovani ebrei di frequentare le scuole pubbliche e l’università. E fu proibito, naturalmente, ai professori ebrei di insegnare. Nelle grandi città come Roma, Milano... fu organizzata una scuola ebraica elementare e secondaria. Gli insegnanti erano di ruolo, allontanati dalle scuole pubbliche; io ero fra questi: avevo vinto il concorso nell’agosto del ’38, e avevo perso il posto pochi giorni dopo."

Segue uno screenshot della pagina.



http://mauropiadi.splinder.com/post/17892533/Emma+Castelnuovo,+la+matematic



***

POST CORRELATI

Consultare il tag "grandi matematici"

giovedì 7 agosto 2008

Creare Un Grafico Con Excel [Tutoriale]

Cari lettori, data la richiesta delle parole chiave, ho deciso di dedicare una serie di tutoriali alla creazione di grafici e al calcolo degli indici statistici con Excel. Una delle applicazioni più importanti di un foglio elettronico è, infatti, la possibilità di rappresentare in forma grafica i dati statistici. La procedura per la realizzazione di un grafico è completamente guidata da una serie di finestre che ne facilitano la costruzione e permettono di scegliere tra diverse opzioni. Ogni rappresentazione proposta viene visualizzata come anteprima in una parte della  finestra di dialogo.


Prima di iniziare la procedura di costruzione di un grafico è importante sistemare correttamente i dati all’interno delle celle del foglio.


I dati sono solitamente inseriti tramite una tabella composta da due o più colonne:
• la prima colonna contiene le descrizioni testuali;
• la seconda colonna contiene i valori numerici;
• ulteriori colonne possono contenere altri valori numerici.


Per realizzare un grafico si deve:
• selezionare le celle dei dati da rappresentare, compresi i titoli (1);
• fare clic sull’icona Creazione guidata Grafico (2).


ATTENZIONE:Selezionare anche i titoli delle colonne se si vuole che siano evidenziati nel grafico.


A questo punto si apre una finestra di dialogo, composta da quattro passaggi, ognuno dei quali permette l’inserimento dei vari elementi di cui si compone il grafico. Analizziamo singolarmente i quattro passaggi.


Il primo passaggio consente la scelta del tipo di grafico, nel nostro caso si deve:
• fare clic sul termine Istogramma (3);
• fare clic su una tra le Scelte disponibili (4);
• fare clic sul bottone Avanti per andare allo step successivo (5).


primo_passaggio


Il secondo passaggio (Dati di origine) è praticamente strutturato, quindi si deve:
• fare clic sul bottone Avanti per andare allo step successivo (6).


ATTENZIONE: Nella parte superiore della schermata è presente un’anteprima del grafico.


secondo_passaggio
Il terzo passaggio (Opzioni del grafico) permette di intervenire per definire le modalità di presentazione del grafico come la visualizzazione degli assi, della griglia quadrettata, delle indicazioni dei titoli ed altro.


Per proseguire, si deve:
• fare clic sul bottone Avanti (7).


terzo_passaggio


Il quarto passaggio (Posizione grafico) richiede se deve essere creato un nuovo foglio di lavoro che contenga il grafico appena realizzato oppure se quest’ultimo va inserito nel foglio di lavoro aperto.


Per inserire il grafico nel foglio di lavoro aperto si deve:
• fare clic sulla casella Come oggetto in (8);
• fare clic sul bottone  Fine (9).


quarto passaggio


Alla fine, il grafico realizzato è il seguente:


ATTENZIONE: se si cambia un valore della serie di dati, il grafico si aggiorna automaticamente.


grafico_finale


Il  prossimo tutoriale sarà dedicato alla costruzione di grafici personalizzati.


***



POST CORRELATI


- La "macchina dei divisori" con Excel


- L'uso di Excel per la Statistica


- Frazioni e risorse Excel


- Le Quattro Operazioni Con Excel [Esercitazione]


- Tabelle E Grafici Con Excel [Esercitazione Di Cecilia]


- Calcolo Di Un’Espressione Aritmetica Con Excel


mercoledì 6 agosto 2008

Matematica E Musica Attraverso L'Arte: Il Settimo Gradino

Cari ragazzi e cari lettori, vi presento l’ennesimo, originale, saggio dell’amico Gaetano, che ha per tema dei nessi incredibili tra Arte, Musica e Matematica!


Partendo dalle considerazioni sulla simmetria nascosta della natura nelle Maroon Belles, stupende montagne del Colorado, Gaetano ci fa riflettere sulla simmetria nascosta della natura nei frattali e di qui sulla musica che deriva dai loro colori! Gaetano che fantasia!!!


Ma non è finita…La fantasia e la creatività del nostro amico si spingono ben più in là, nel tentativo di dare compiutezza al settimo gradino incompiuto dell’Arco di Costantino (ricordate il saggio “Il pentagramma dell’Arco di Costantino"?).


Ed ecco chiamati a supporto Armonia (figlia della dea dell’amore e del dio della guerra) e il tetracordo di Filolao: emerge sorprendentemente un nesso intimo tra due pentagrammi, quello della geometria e quello della musica.


***


IL SETTIMO GRADINO


A cura di Gaetano Barbella


maroon_belles_colorado


Simmetria nascosta della natura: Maroon Belles (Colorado)


Un'idea strana di buon mattino, aspettando per la colazione


Deformazione professionale”, direbbe l'esperto di cose del “genio architetto” in noi. Sembra che egli si voglia far ammirare per le sue specialità matematiche. «Ecco – egli dice – non vedete anche voi due iperboli contrapposte con i rispettivi fuochi in cima al monte e a quello riflesso? Un monte allo specchio in cui, osservando attentamente (in orizzontale), si intravede un viso col braccio destro sotto il mento (con un po' di sforzo, naturalmente), in atto meditativo».


Per riflettere sulle cose della matematica, a volte, occorre uno sforzo considerevole! Però ci vuole una fervida fantasia per pensare a simili cose! Miracoli della scienza, ma non senza la poesia che i due amanti, del monte appena innevato e della limpida acqua in basso, sembrano suggerire.


Quel mattino era l'1 marzo 2008 e oggi per la stessa immagine, quello stesso “genio architetto” in me mi ricorda la sua lezione sui frattali e la musica. «I frattali : la simmetria nascosta della natura! Di qui la musica che dai suoi colori vi deriva.». E lui continua, provocandomi: «Ma dove la realtà, e dove l'illusione che mortifica? L'immagine delle montagne di Maroon Belles del Colorado, sopra in bella vista, sembrano persuasive, almeno per capire di mitigare le emozioni e rivalersi delle cose della matematica, altrimenti è il mitico Narciso a comandare.
Dal mito di Narciso, che troviamo nelle Metamorfosi di Ovidio, sappiamo la risposta. Si tratta dell'eterno tema psicologico, “l’amore per sé”.


La chiave di lettura del mito è il “rischio del fallimento”. Un fallimento genera nell’individuo un sentimento di dolore, che istintivamente egli debella rifiutando di correre questo rischio: c’è il rifiuto della sofferenza, che esclude a priori la possibilità di avere un successo, per non rischiare il fallimento... E la Natura non può correre questo rischio!».
E poi, relativizzando le suddette riflessioni sui frattali, a complicare le cose della comprensione di   questi paradossi cogliamo una riflessione di Focault: «Quello che mi colpisce, è il fatto che nella nostra società l’arte sia diventata qualcosa che è in relazione soltanto con gli oggetti, e non con gli individui, o con la vita. E che l’arte sia un qualcosa di specializzato, e che sia fatta da quegli esperti che sono gli artisti. Ma perché la vita di tutti i giorni non potrebbe diventare un’opera d’arte? Perché una lampada o una casa potrebbero essere un’opera d’arte, ma non la nostra vita?».


Il settimo gradino dell'Arco di Costantino


Con il mio saggio «Il pentagramma dell'Arco di Costantino», attraverso quattro «gradini», dal secondo al quinto, si sono delineate altrettante geometrie auree intravedibili nei due prospetti frontali dell'Arco di Costantino dei Fori Imperiali di Roma. Il «sesto gradino» riguarda l'interpretazione geometrica della pianta strutturata con quattro elementi portanti. Qui si delinea la concezione unitaria del tutto conforme a un intreccio nodale con ricorrenti triangoli equilateri. Il «quinto gradino», che più ci interessa come si vedrà, porta alla rappresentazione del pentagramma, cosa che, insieme ad una parte del resto, è una novità, non essendo stato mai immaginato così dagli studiosi che si sono occupati dell'Arco in questione.


Per il «settimo gradino», e qui è il fatto saliente, ho detto che mi sarebbe piaciuto poter disporre di precisi disegni dell'Arco di Costantino, invece mi sono dovuto accontentare di una foto e di un disegno d'insieme, entrambi racimolati su internet. Nondimeno mi compiaccio con me stesso per essere giunto a dei risultati sorprendenti.
Certo con i dati precisi del monumento avrei avuto la convalida di ogni cosa supposta, particolarmente sulle congetture relativo al sesto gradino. Ma sono comunque soddisfatto di essere giunto a questo gradino, procedendo con l'unica mia dote, quella di essere un buon “geometra”, ovvero sufficientemente abile nell'uso di “riga e compasso”.
In realtà, io credo che non ci sia un «settimo gradino» se non salendovi nell'unità mediante chi, per esempio, può verificare queste mie teorie, potendo disporre di disegni abbastanza fedeli alle effettive proporzioni dell'Arco di Costantino.


Oggi, con l'impatto del presente nuovo saggio, con mia sorpresa si è delineata la giusta risposta per permettermi di procedere su questo «gradino», ed è bastato solo un casuale input di una persona amica che mi chiedeva di parlarle di matematica e musica.
Così nel procedere per questo intento, che mi è piaciuto attuare subito, è come si fosse aperta una porta per farmi vedere le cose che ho scritto fin qui ed è stato un tutt'uno raccontare. E poi la mia attenzione si è soffermata a lungo su ciò che costituiva lo scopo finale del «settimo gradino» incompiuto.
Mancava la “sposa” per l'Uomo del pentagramma dell'Arco di Costantino, magnificamente eretto, ma ancora inconscio di sé stesso, come l'Adamo biblico appena creato, e già preso da solitudine. Ed ecco che mi si è presentata la memoria di Armonia mitica e del tetracordo di Filolao.


«L’intero monumento è scandito dalla proporzione armonica...» viene rilevato, tra l'altro, dall'esimio Prof. Maurizio Nicosia, dell'Accademia di belle Arti di Bologna, nel suo sito Zenit Geometria Simbolica, nell'esporre le sue deduzioni sull'Arco di Costantino. Interessa sapere da lui perciò sull'armonia, cosa che riporto di seguito.


Qual è la cosa più bella? L’armonia – rispondeva un pitagorico (Giamblico, Vita pitagorica).
Figlia del dio della guerra e della dea dell’amore, Armonia ha suscitato tre dei più penetranti frammenti di Eraclito. Il filosofo efesino dapprima coglie l’essenza delle sue origini mitiche: «Ciò che contrasta concorre e da elementi che discordano si ha la più bella armonia». Armonia deriva dal verbo greco harmózo, cioè “congiungo, compongo”, dal calco harmós, “giuntura”. Ciò che è sottaciuto nell’etimologia riaffiora nel mito: attraverso le origini mitiche di Armonia, Eraclito addita una pratica conoscitiva che nel disgiungere e nel congiungere ha il suo asse cardinale. Toccherà a Platone insistervi nel Fedro.
Anche nel secondo frammento eracliteo permane lo scenario mitico: «Armonia che da un estremo ritorna all’altro estremo come è nell’arco e nella lira». Alle nozze di Armonia con Cadmo sono presenti le dodici divinità olimpiche, a testimoniare l’intero ciclo del corso solare: sono nozze cosmiche. Armonia riceve in dono da Ermete una lira, da Atena una veste aurea e la madre di Giasone la inizia ai misteri eleusini. Eraclito allude con gli «estremi» ai poli del tempo, principio e fine, del cosmo, i solstizî, e dell’esistenza, vita e morte. L’armonia, ritornando all’altro estremo, trascende dunque la sfera umana e la stessa temporalità.


Della narrazione mitica Eraclito trattiene il motivo della lira, aggiungendovi l’attributo d’Apollo, l’arco. A partire da questi elementi, va letto il terzo frammento, caro agli architetti e ai musici di tutti i tempi: «armonia invisibile della visibile è migliore». Se è legittimo leggervi un analogo della dottrina pitagorica dell’armonia delle sfere, allora l’armonia visibile si darebbe nel mondo fenomenico, l’invisibile potrebbe essere còlto solo nei rapporti intelligibili che determinano il visibile. Mediante la lira è forse possibile restituire parte del senso a questo frammento: di per sé visibile, la sua forma cela gl'intimi rapporti che correlano gli accordi fra le sue corde.


Filolao, pitagorico cotoniate, celebre e per la sua scienza armonica e per aver ceduto a Platone i famosi libri di Pitagora, è il primo a precisare i rapporti numerici corrispondenti agli intervalli fra le quattro corde della lira, le cui lunghezze sono pari a sei, otto, nove e dodici unità.

filolaoIl tetracordo di Filolao e i rapporti armonici basati sulle tre consonanze in accordo d’ottava, o diapason (6 : 12 = 1 : 2), quinta, o diapente (6 : 9, 8 : 12 = 2 : 3) e quarta, o diatessaron (6 : 8, 9 : 12 = 3 : 4).



Fra la prima e l’ultima il rapporto è pari a un mezzo, o diapason (ottava); fra la prima e la terza, nonché fra la seconda e la quarta gl’intervalli sono equivalenti a due terzi, o diapente (quinta); fra la prima e la seconda, fra la terza e la quarta, infine, i rapporti sono di tre quarti, o diatessaron (quarta). Nella Roma del terzo e quarto secolo sarà Porfirio, in Armonia tolemaica, a descrivere natura e qualità delle consonanze armoniche.
L’armonia «invisibile» si fonda dunque sulle tre consonanze insite nei primi quattro numeri. Nella disciplina pitagorico platonica ciò comporta implicazioni metafisiche e cosmogoniche. Il diapason, o 1 : 2, manifesta il rapporto tra il principio immobile o «deus absconditus» e la «diade infinita», ovvero tra l’Uno e il molteplice o, scolasticamente, tra spirito e materia. In esso sono già implicite le altre due consonanze e perciò costituisce l’armonia perfetta secondo Filolao (6 : 12 = 6 : 8 + 8 : 12 o 6 : 9 + 9 : 12). Nel diapente, o 2 : 3, la materia, o archetipo femminile, è correlata al tre, principio manifesto corrispondente al nous, o intellectus, e all’archetipo maschile. Nel diatessaron, o 3 : 4, il principio manifesto s’accorda con la materia «formata», la forma entra in relazione con il solido. Le tre consonanze quindi descrivono nel loro sviluppo geometrico e musicale l’emanazione che dall’Uno procede sino al molteplice. Sono il canto d’un organismo vivente, il canto dell’universo.


Ecco Armonia, la mitica sposa, che per “sincronia” o, forse meglio, per «la simmetria nascosta della natura» sui frattali, accennata all'inizio di questo saggio, ma a maggior ragione per la riflessione di Focault che vi ha fatto seguito; il mio pensiero mi porta a Salomone biblico e il suo Cantico dei Cantici con la contemplazione della sposa:


«Volgiti, volgiti Sulammita,
Volgiti, volgiti:
vogliamo ammirarti»
«Che ammirate nella Sulammita
nella danza a due schiere?»
«Come son belli i tuoi piedi
nei sandali, figlia di principe!
Le curve dei tuoi fianchi sono come monili,
opera di mano d'artista...


Le nozze


Ed è ora un frenetico daffare del “matematico architetto” in me, che mi spinge ad allestire un nuovo  scenario dell'Arco di Costantino, una “pietra” ritenuta “filosofale” come presa da tristezza fino ad oggi, per la sua incompiutezza.


Quella «strana idea del mattino» in relazione allo scenario delle montagne di Maroon Belles, l'immagine iniziale, mi suggerisce, con la persuasione di un lampo abbagliante, come far salire sull'altare i due sposi congiunti. E se non tramite i due pentagrammi, quello della geometria e della musica col tetracordo di Filolao?
Ecco, si potrebbe dire che sia il mitico Narciso, qui come rinato. Egli si compiace con sé stesso e senza alcuna tristezza, perché non c'è “rischio di fallimento” con un matematico in lui di eccezionale statura preso dalla sublime armonia musicale del riflesso di sé.


arco_costantino***



POST CORRELATI


Consulta il tag "musica"



lunedì 4 agosto 2008

Risolvi Il Puzzle "Card Trick: Hard"

Cari ragazzi e cari lettori, vi propongo un puzzle da risolvere. Lasciate la vostra soluzione, con un commento al post. .


Ecco in cosa consiste!


***


joker-card-puzzle


SITUAZIONE
Io sono un croupier che ha tre carte in fila (a faccia in giù) su un tavolo. Due di esse  sono assi e una è un jolly, di cui non conosci l’ordine.


PROBLEMA
Determinare con assoluta certezza quale delle tre carte è un asso, con una domanda che prevede un semplice “” o “no” come risposta.


La questione non è così facile:
- se si sceglie uno dei due assi, la risposta sarà sempre “vero”;
- se si sceglie il jolly, ci sarà il 50% di possibilità che la risposta sia “vero” e il 50% che la risposta sia “falso”.


***



POST CORRELATI


- Semi-Circle Geometry Puzzle: Risolvi Il Puzzle Geometrico Di Pasqua


- Semi-Circle Geometry Puzzle: La Soluzione


venerdì 1 agosto 2008

La Geometria Della Musica E Le Curve Di Lissajous

Cari ragazzi e cari lettori, continuo il filone relativo ai nessi e alle relazioni tra Matematica e Musica, che ha riscosso il vostro interesse, in passato, dedicando questo post alla Geometria della Musica e alle bellissime curve di Lissajous.


Il sommo filosofo e matematico Leibnitz scrisse un giorno: <<La musica è un occulto esercizio aritmetico dell’anima nostra inconsapevole di numerare>>.


Il legame tra la musica e la matematica in generale, infatti, è molto intimo. Vi basti sapere, per ora, che ad ogni nota misicale corrisponde un ben determinato numero: il numero delle vibrazioni al secondo, cioè la frequenza, del corpo che emette quel Accordo2suono;  ad ogni accordo (insieme di due note, che dà una sensazione gradevole) corrisponde un ben determinato rapporto numerico: il rapporto delle frequenze di quelle due note.


Accordo4


Ma la musica non è solo aritmetica. Essa è anche geometria!


diapasonI diapason sono dei semplici strumenti, a forma di U, che, vibrando, emettono una nota musicale. Consideriamone ora due, disposti uno orizzontalmente e l’altro verticalmente, su ciascuno dei quali è attaccato uno specchietto e facciamo in modo che un raggio luminoso si rifletta successivamente sui due specchietti e vada poi a colpire uno schermo, formando un punto luminoso se i due diapason non emettono alcun suono e quindi non vibrano.



Se i due diapason  emettono una stessa nota (cioè hanno uguali le frequenze, il cui rapporto è quindi 1 : 1), sullo schermo si forma, a seconda  che siano o meno verificate altre particolari condizioni, una circonferenza luminosa, oppure una ellisse, che può essere sempre più schiacciata, fino a diventare un segmento.



Se i due diapason emettono due note il rapporto delle cui frequenze sia 1 : 2, si 117px-LissajousCurve1by2hanno figure come quella a lato.


Altre ancora se ne possono ottenere considerando altri valori di quel rapporto.



117px-LissajousCurve3by2117px-LissajousCurve3by4117px-LissajousCurve5by4117px-LissajousCurve5by6117px-LissajousCurve9by8


Queste bellissime curve, di cui solo alcune fra le più semplici sono state rappresentate sopra, si chiamano curve di Lissajous, dal nome del fisico francese che se ne occupò. Esse possono ben considerarsi l’espressione geometrica dell’armonia musicale.


E adesso alcuni link utili sulle figure di Lissajous:



  • Lissajous Curve in MathWorld

  • Animated Lissajous figures in Java

  • About the Australian Broadcasting Corporation logo

  • About the MIT Lincoln Laboratory logo

  • QLiss3D software libero per la mostra delle figure di Lissajous in 3 dimensioni

  • COURBE DE LISSAJOUS nella Encyclopédie des formes mathématiques remarquables

  • Coppia di diapason per la composizione e la comparazione delle vibrazioni coi metodi di Lissajous

  •  


    ***



    POST CORRELATI


    - Pitagora ascoltò la musica dei pianeti


    - Tra Musica e Matematica: Le Variazioni Goldberg


    Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...
    Template e Layout by Adelebox